2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專題（人教版） 平方差公式的幾何背景（三大類型）（解析版）

平方差公式的幾何背景（三大類型）【典例1】（2022秋?永春縣期中）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵左圖陰影的面積是a2﹣b2，右圖的陰影的面積是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：D．【變式1-1】（2022春?市中區(qū)校級(jí)月考）如圖，從邊長(zhǎng)為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則矩形的面積為（）A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2【答案】C【解答】解：（a+4）2﹣（a+2）2＝a2+8a+16﹣（a2+4a+4），＝（4a+12）2cm2，故選：C．【變式1-2】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【答案】A【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（a+b）（a﹣b），圖乙中①、②的總面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【典例2】（2022春?天橋區(qū)校級(jí)期中）從邊長(zhǎng)為a的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）圖1陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2是長(zhǎng)為a+b，寬為a﹣b的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖1、圖2陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）∵x2﹣9y2＝12，即（x+3y）（x﹣3y）＝12，而x+3y＝4，∴x﹣3y＝12÷4＝3，答：x﹣3y的值為3；（3）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【變式2】（2022春?咸陽(yáng)月考）如圖，圖1為邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝；（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？請(qǐng)寫出這個(gè)乘法公式；（3）運(yùn)用（2）中得到的公式，計(jì)算：20222﹣2021×2023．【解答】解：（1）由題意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）題結(jié)果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1【典例3】（2022春?寶安區(qū)期末）初中數(shù)學(xué)的一些代數(shù)公式可以通過幾何圖形的面積來推導(dǎo)和驗(yàn)證．如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪，然后拼成一個(gè)矩形（如圖②）．（1）通過計(jì)算圖①和圖②中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的公式是：＝．（2）小明在計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）時(shí)利用了（1）中的公式：（2+1）（22﹣1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝．（請(qǐng)你將以上過程補(bǔ)充完整．）（3）利用以上的結(jié)論和方法、計(jì)算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．【解答】解：（1）圖①中陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②是長(zhǎng)為a+b，寬為a﹣b的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖①、圖②面積相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（2﹣1）?（2+1）（22+1）（24+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1，故答案為：28﹣1；（3）原式＝+（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（38﹣1）（38+1）（316+1）＝+（316﹣1）（316+1）＝+（332﹣1）＝+﹣＝．【變式3】（2021春?高明區(qū)期末）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝，S2＝；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：（用式子表達(dá)）．（2）應(yīng)用公式計(jì)算：．（3）應(yīng)用公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為大正方形與小正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2中陰影部分是長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖1和圖2中陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．1．（2022春?普陀區(qū)期末）某廠原來生產(chǎn)一種邊長(zhǎng)為a厘米的正方形地磚，現(xiàn)將地磚的一邊擴(kuò)大2厘米，另一邊縮短2厘米，改成生產(chǎn)長(zhǎng)方形地磚，若材料的成本價(jià)為每平方厘米b元，則這種長(zhǎng)方形地磚每塊的材料成本價(jià)與正方形地磚相比（）A．增加了4b元 B．增加了2ab元 C．減少了4b元 D．減少了2ab元【答案】C【解答】解：正方形地磚的面積為a2平方厘米，長(zhǎng)方形地磚面積為（a+2）（a﹣2）＝（a2﹣4）平方厘米，長(zhǎng)方形面積比正方形減少了4平方厘米，因此這種長(zhǎng)方形地磚每塊的材料成本價(jià)與正方形地磚相比減少了4b元，故選：C．2．（2022秋?閔行區(qū)期中）如圖，正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差是6，求陰影部分的面積．【解答】解：設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別為a和b，由題意得：b2﹣a2＝6．由圖形可得：S陰＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故陰影部分的面積為3．3．（2022春?西安期末）探究活動(dòng)：（1）將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成圖②一個(gè)長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)表示為，寬為．（2）則圖2中陰影部分周長(zhǎng)表示為．知識(shí)應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題（3）計(jì)算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，則圖2中陰影部分周長(zhǎng)是多少？【解答】解：（1）由題意可得：圖2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：a+b，寬為：a﹣b，故答案為：a+b，a﹣b；（2）圖2中陰影部分周長(zhǎng)表示為：2（a+b+a﹣b）＝4a，故答案為：4a；（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．∴陰影部分周長(zhǎng)是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n．4．（2022春?天橋區(qū)期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形，如圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖1陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請(qǐng)直接用含a，b的式子表示S1＝，S2＝，寫出上述過程中所揭示的乘法公式；（2）直接應(yīng)用，利用這個(gè)公式計(jì)算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個(gè)公式求下面代數(shù)式的結(jié)果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），∵S1＝S2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+1，＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）÷2+1，＝[（31024）2﹣12]÷2+1，＝（32048﹣1）÷2+1，＝5．（2021秋?大連期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是；如圖2，陰影部分的面積是；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式；（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼圖可知，圖形1的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖形2的陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，由圖形1，圖形2的面積相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．6．（2021秋?黔西南州期末）如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請(qǐng)應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計(jì)算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【解答】解：（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝4，故答案為：4，②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+...+4+3+2+1＝×（200+1）×200＝20100．7．（2022春?章丘區(qū)期末）“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁為簡(jiǎn)，巧妙解題．請(qǐng)閱讀并解決下列問題：?jiǎn)栴}一：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），（1）則A＝，B＝；（2）計(jì)算：（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）；問題二：已知x2+y2＝（x+y）2﹣P＝（x﹣y）2+Q，（1）則P＝，Q＝；（2）已知長(zhǎng)和寬分別為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，如圖所示，求a2+b2+ab的值．【解答】解：?jiǎn)栴}一：（1）因?yàn)椋▁+y﹣z）（x﹣y+z）＝[x+（y﹣z）][x﹣（y﹣z）]＝（A+B）（A﹣B），所以A＝x，B＝y(tǒng)﹣z，故答案為：x，y﹣z；（2）（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）＝[2a﹣（b﹣3）][2a+（b﹣3）]＝4a2﹣（b﹣3）2＝4a2﹣b2+6b﹣9；問題二：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x﹣y）2+2xy，∴P＝2xy，Q＝2xy，故答案為：2xy，2xy，（2）由題意得：a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2+ab＝a2+b2+2ab﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝49﹣10＝39．8．（2021秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長(zhǎng)為a的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個(gè)長(zhǎng)方形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．9．（2021春?南海區(qū)月考）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2x，寬2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀將其均分為4塊小正方形，然后按照?qǐng)D2的形狀拼成1塊正方形．（1）用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖2中的陰影部分面積：方法一：；方法二：；（2）觀察圖2，請(qǐng)你直接寫出代數(shù)式（x+n）2，（x﹣n）2，xn之間的等量關(guān)系式．（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若p﹣q＝﹣3，p?q＝，則（p+q）2＝．（4）根據(jù)（2）中的結(jié)論，如果（a﹣2020）（a﹣2022）＝16，計(jì)算（2a﹣4042）2．【解答】解：（1）方法一：圖2中陰影部分是邊長(zhǎng)為x﹣n的正方形，因此面積為（x﹣n）2，方法二：圖2中陰影部分面積可以看作從大正方形的面積中減去其余四塊長(zhǎng)方形面積，即（x+n）2﹣4xn，故答案為：（x﹣n）2，（x+n）2﹣4xn；（2）由（1）可得（x﹣n）2＝（x+n）2﹣4xn，答：（x﹣n）2＝（x+n）2﹣4xn；（3）由（2）可得（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，∵p﹣q＝﹣3，p?q＝，∴（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq＝9+9＝18，故答案為：18；（4）設(shè)a﹣2020＝m，a﹣2022＝n，則m﹣n＝2，由于（a﹣2020）（a﹣2022）＝mn＝16，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+64＝68＝（2a﹣4042）2，答：（2a﹣4042）2＝68．10．（2021?蕪湖模擬）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計(jì)算：13+23+33+…+n3＝？【規(guī)律探究】觀察如圖表示幾何圖形面積的方法；【解決問題】請(qǐng)用圖中表示幾何圖形面積的方法寫出13+23+33+…+n3＝＝（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計(jì)算：23+43+63+…+（2n）3的結(jié)果為．【解答】解：【規(guī)律探究】由題意可得13+23+33＝（1+2+3）2＝62；【解決問題】由13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2＝[]2＝，故答案為：；【拓展應(yīng)用】由題意得23+43+63+…+（2n）3＝23×13+23×23+23×33+…+23×n3＝23×（13+23+33+…+n3）＝8×[]＝2n2（n+1）2或2n4+4n3+2n2，故答案為：2n2（n+1）2或2n4+4n3+2n2．11．（2021春?昌平區(qū)期末）用紙片拼圖時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種紙片（邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形和長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形）各若干，可以拼出一些長(zhǎng)方形來解釋某些等式，比如圖2可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（1）圖3可以解釋為等式：；（2）要拼出一個(gè)兩邊長(zhǎng)為a+b，3a+b的長(zhǎng)方形，先回答需要以下三種紙片各多少塊，再用畫圖或整式乘法驗(yàn)證你的結(jié)論．（3）如圖4，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若用x，y（x＞y）表示四個(gè)相同小長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)，以下關(guān)系式正確的是．（填序號(hào)）①x+y＝m；②2xy＝m2﹣n2；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝m2+n2．【解答】解：（1）圖3的面積可以（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有（a+