非線性結(jié)構(gòu)周期解共振峰值的優(yōu)化方法

非線性結(jié)構(gòu)周期解共振峰值的優(yōu)化方法

非線性模態(tài)性質(zhì)的求解方法工程中非線性結(jié)構(gòu)的循環(huán)解算方法大致可分為兩類：時間間隔方法（如射擊法）和頻率范圍方法（如波形平衡法及其變體）。除了周期解的求解方法研究外,周期解的穩(wěn)定性分析是很重要的當(dāng)非線性結(jié)構(gòu)某個參數(shù)連續(xù)變化時,連續(xù)延拓方法通常用于跟蹤周期解。最近,文獻(xiàn)[4]采用打靶法和偽弧長連續(xù)方法研究非線性系統(tǒng)的非線性模態(tài)性質(zhì)。在漸近方法(AsymptoticNumericalMeth-od)框架內(nèi),文獻(xiàn)[5]提出了一種結(jié)合諧波平衡法和HILL法的連續(xù)方法。在文獻(xiàn)[6]中,諧波平衡法和偽弧長方法被用于分析幾何非線性葉盤結(jié)構(gòu)的自由和強(qiáng)迫振動特性。研究確定非線性結(jié)構(gòu)共振峰值的方法是很有必要的。例如,Petrov應(yīng)用諧波平衡法計(jì)算包括摩擦阻尼影響的失諧葉盤結(jié)構(gòu)最壞振動情形為了克服重復(fù)求根計(jì)算和處理參數(shù)不確定問題,本文提出了一種非線性結(jié)構(gòu)共振峰值求解方法。下面首先介紹確定非線性結(jié)構(gòu)共振峰值的新方法,然后通過典型Duffing振子算例驗(yàn)證本文方法并通過幾何非線性葉盤結(jié)構(gòu)數(shù)值算例演示本文方法的優(yōu)點(diǎn),最后給出相關(guān)結(jié)論。1非線性系統(tǒng)周期說本節(jié)提出了確定非線性結(jié)構(gòu)共振極值的方法,將確定非線性結(jié)構(gòu)共振峰值問題轉(zhuǎn)換為非線性約束優(yōu)化問題,首次采用非線性代數(shù)方程組等式約束和穩(wěn)定性不等式約束計(jì)算非線性系統(tǒng)的周期解。下面首先研究基于時域打靶法的非線性等式約束,其次分析基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣穩(wěn)定性分析方法的非線性不等式約束條件,然后綜合非線性等式約束和不等式約束限制條件,給出基于時域打靶法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣穩(wěn)定性分析方法的共振峰值求解方法,最后采用OQNLP多重啟全局優(yōu)化算法求解該非線性約束優(yōu)化問題。1.1剛度運(yùn)動方程采用打靶法求解非線性系統(tǒng)的周期解,考慮具有n個自由度機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動方程式中M,C和K分別表示質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;引入狀態(tài)向量打靶法的實(shí)質(zhì)是求解邊界值問題,該邊界值問題通過如下打靶函數(shù)定義式中打靶法的關(guān)鍵是尋找滿足式(3)所示打靶函數(shù)的初始條件z1.2基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特征乘子求解采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣法來判定周期解的穩(wěn)定性。定義D為導(dǎo)算子,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣式中通過對式(4)在一個周期內(nèi)數(shù)值積分便得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。最終,便可計(jì)算得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在周期T處的N=2n個Floquet特征乘子:ρ其中ρ=[ρ采用Floquet理論,通過解式(4)所示的初始值問題,得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征乘子。最終,式(5)表示的周期解穩(wěn)定性條件便構(gòu)成了非線性約束優(yōu)化問題的非線性不等式約束條件。1.3使用oqnlp多時間節(jié)點(diǎn)計(jì)算本文目標(biāo)是求解非線性結(jié)構(gòu)的共振峰值,所以式(3)表示的非線性代數(shù)方程組和式(5)表示的周期解穩(wěn)定性條件必須聯(lián)立。因而,尋求非線性結(jié)構(gòu)中具有最大振動幅值的周期解可轉(zhuǎn)化為下述非線性約束優(yōu)化問題:式中‖u‖非線性約束優(yōu)化問題式(6)的求解和有效計(jì)算是很重要的問題。在本文研究中,采用文獻(xiàn)[8]的OQNLP多重啟算法求解式(6)。OQNLP多重啟算法優(yōu)化過程分為兩個主要階段。在第一階段計(jì)算所有試點(diǎn)的罰函數(shù),從OptQuest數(shù)據(jù)庫選擇具有最好罰函數(shù)值的試點(diǎn)作為SQP算法的起始點(diǎn)。在主要迭代循環(huán)第二階段,選取滿足位移過濾和績效過濾條件的試點(diǎn)啟動局部搜索算法進(jìn)行優(yōu)化求解。OQNLP多重啟算法的具體原理論述可參考文獻(xiàn)[8]。2計(jì)算值的示例為驗(yàn)證本文方法,并演示其能力,本節(jié)給出2個數(shù)值算例。2.1duffing振子采用Duffing振子作為算例。為驗(yàn)證本文方法并分析其精度,本文方法結(jié)果將與文獻(xiàn)[6]中HBM-ANM-HILL方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較。Duffing振子的運(yùn)動方程為式中μ,β表示阻尼系數(shù)和非線性剛度系數(shù);f表示力幅值。給定f=1.25,μ=0.1和β=1,使用HBM-ANM-HILL方法得到的Duffing振子的頻率響應(yīng)曲線如圖1所示,其中H從圖1中可觀察到典型的骨架曲線。圖1中在激勵頻率ω=2.44時,系統(tǒng)達(dá)到共振峰值2.624,并存在2個分叉點(diǎn)S1和S2。在激勵頻率ω=2存在多解C,D和E,其中D是不穩(wěn)定的周期解。下面研究三種情形以驗(yàn)證本文方法:a找到共振峰值p為搜尋共振峰值P,式(6)中優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置為具有穩(wěn)定周期解的Duffing振子振動幅值最大化。需要確定的未知優(yōu)化變量為初始條件z穩(wěn)定性正則方程對于求解分叉點(diǎn)S1和S2,根據(jù)Floquet理論,分叉點(diǎn)的所有Floquet乘子的模的最大值等于1,考慮到數(shù)值精度,式(6)穩(wěn)定性不等式約束條件更改為|max(|ρ|)-1|<10仿真結(jié)果及分析在計(jì)算多解集合C,D和E時,振動頻率不包括在優(yōu)化變量中,因而在非線性優(yōu)化問題式(6)中只有2個優(yōu)化變量,即初始位移和初始速度。在求解周期解D時,式(6)中周期解穩(wěn)定性條件要改變符號以尋求不穩(wěn)定的周期解。應(yīng)用OQNLP多重啟算法和SQP優(yōu)化算法優(yōu)化求解以上三種情形對應(yīng)的周期解。優(yōu)化算法設(shè)置為:序列二次規(guī)劃方法最大迭代次數(shù)設(shè)置為600。非線性等式約束和非線性不等式約束誤差ε設(shè)置為10在OQNLP多重啟算法優(yōu)化成功后,優(yōu)化結(jié)果示于表1,為與HBM-ANM-HILL比較,表2列出了HBM-ANM-HILL對應(yīng)結(jié)果。通過比較表1和2可知,雖然存在微量差異,本文方法與HBM-ANM-HILL方法得到的結(jié)果是一致的。表3列出了本文方法在這些周期解的非線性等式約束和穩(wěn)定性不等式約束條件。由表3可知,所有打靶函數(shù)值的最大絕對誤差為8.3933×10為與HBM-ANM-HILL方法對比,表4列出了該法得到的這些周期解的Floquet乘子。比較表3和4的Floquet乘子表明本文方法和HBM-ANM-HILL方法的結(jié)果是一致的,差異很小。由表3和4可知,解P,C,E是穩(wěn)定的,因?yàn)镕loquet乘子的模均小于1。對于周期解D,Floquet乘子的模最大值為2.2343。而分叉點(diǎn)S1和S2的Floquet乘子的模的最大值為1.0000。以上說明,通過改變穩(wěn)定性不等式約束條件和優(yōu)化目標(biāo),本文方法能正確地獲取共振峰,分叉點(diǎn)和多解集合,包括不穩(wěn)定周期解。圖2給出了本文方法得到的周期解的時域響應(yīng)及其與時域積分方法的位移絕對誤差。由圖2(b)可知,兩種方法具有較好的一致性。本文方法在振動頻率2.4396rad/s處達(dá)到共振峰值2.6239,通過與圖1所示HBM-ANM-HILL方法相應(yīng)結(jié)果比較可知本文方法正確地得到共振峰值點(diǎn)P。2.2約束響應(yīng)和穩(wěn)定性約束第二個數(shù)值算例研究具有幾何非線性和不確定參數(shù)的葉盤結(jié)構(gòu)振動問題。采用文獻(xiàn)[6]中的典型葉盤結(jié)構(gòu),圖3給出了幾何模型。圖3所示模型共有6個扇區(qū)葉片,每個扇區(qū)葉片根部采用固定支撐邊界條件,該模型運(yùn)動微分方程為式中u=[u采用文獻(xiàn)[6]所示系統(tǒng)參數(shù)仿真值a=8.7662×10采用葉片剛度不確定,模擬形式為式中a(i)表示第i個葉片的剛度,v為考慮參數(shù)不確定對共振峰值的影響,不確定向量v不同階次激勵作用下優(yōu)化解的非線性等式約束和穩(wěn)定性不等式約束條件示于表6。由表6可知,非線性代數(shù)方程組等式約束和穩(wěn)定性不等式條件均得到滿足,優(yōu)化解對應(yīng)的Floquet乘子的模最大值都小于1,因而這些解是穩(wěn)定的。對應(yīng)于不同階次激勵作用下的系統(tǒng)時間歷程響應(yīng)示于圖4。在階次激勵2作用下,2,4和6號葉片相對于其余3個葉片振動強(qiáng)烈。在3階次激勵作用下出現(xiàn)了強(qiáng)烈的振動響應(yīng)局部