數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）2-3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 （第2課時(shí)）（分層作業(yè)）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第2課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·浙江·高一單元測(cè)試）商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷售價(jià)每件可定為（

）A．11元 B．16元C．12元到16元之間 D．13元到15元之間【答案】C【解析】設(shè)銷售價(jià)定為每件元，利潤(rùn)為元，根據(jù)題意可得利潤(rùn)的函數(shù)解析式.由題意可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件銷售價(jià)的范圍.【詳解】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為元，則，由題意可得：，即，所以，解得：，所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間，故選：C2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，每盞的最低售價(jià)為15元，若每盞按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45盞，每盞售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入，可列不等式同時(shí)需要注意最低售價(jià)為15元，即.同時(shí)滿足上述條件，可解得范圍得到答案【詳解】由題意，得，即，∴，解得．又每盞的最低售價(jià)為15元，∴．故選：B．3．（2021·江蘇省黃埭中學(xué)高一階段練習(xí)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長(zhǎng)（單位：m）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形相似列出方程，將矩形的另一邊用表示，再根據(jù)矩形的面積不小于300m2列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為m，則由三角形相似知，，所以，因?yàn)?，所以，即，解?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)限速40的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相撞了.事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過12，乙車的剎車距離略超過10.又知甲?乙兩種車型的剎車距離S與車速x之間分別有如下關(guān)系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．甲車超速 B．乙車超速C．兩車均不超速 D．兩車均超速【答案】ACD【分析】設(shè)甲的速度為,解不等式0.1x1+0.01>12得到甲的速度范圍；設(shè)乙的速度為，解不等式0.05x2+0.005>10得到乙的速度范圍，即得解.【詳解】設(shè)甲的速度為由題得0.1x1+0.01>12，解之得或；設(shè)乙的速度為，由題得0.05x2+0.005>10.解之得x2<-50或x2>40.由于x>0，從而得x1>30km/h，x2>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速.故選：ACD5．（2020·浙江杭州·高一期末）某城市對(duì)一種每件售價(jià)為160元的商品征收附加稅，稅率為（即每銷售100元征稅元），若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則的值可以是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】BCD【解析】根據(jù)題意直接列出不等式，求解的取值范圍，進(jìn)而得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需整理得，解得，即.所以的值可以是.故選：BCD三、填空題6．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x件與售價(jià)P元/件之間的關(guān)系為P＝150－2x，生產(chǎn)x件所需成本為C＝50＋30x元，要使日獲利不少于1300元，則該廠日產(chǎn)量應(yīng)在_________范圍之內(nèi)(件).【答案】15≤x≤45，且x為自然數(shù)【分析】根據(jù)題干信息，可知存在不等關(guān)系，列不等式求解即可【詳解】由題意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1300化簡(jiǎn)得：x2－60x＋675≤0解得：15≤x≤45，且x為自然數(shù)故答案為：15≤x≤45，且x為自然數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式，根據(jù)題意列不等式，并利用一元二次不等式的解法求解7．（2021·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）用一段長(zhǎng)為30的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18，要求菜園的面積不小于216，靠墻的一邊長(zhǎng)為，其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.【答案】【分析】先求得矩形的邊長(zhǎng)，結(jié)合題意列出不等關(guān)系.【詳解】矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，即，根據(jù)已知得.故答案為：8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則x的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則，整理得，又，所以，解得．故x的最小值是3．故答案為：3四、解答題9．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量x件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為元.問：該廠日產(chǎn)量多大時(shí)，日獲利不少于1300元？【答案】20件至45件【分析】由題設(shè)可列不等式并整理，應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集即可.【詳解】由題意，得，化簡(jiǎn)得，解得.∴該廠日產(chǎn)量在20件至45件時(shí)，日獲利不少于1300元.10．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）一家汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)收價(jià)值（元）之間有如下關(guān)系式：．若這家制造廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量應(yīng)滿足什么條件？【答案】.【分析】根據(jù)已知列出一元二次不等式，結(jié)合解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：.11．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）如果某廠擴(kuò)建后計(jì)劃后年的產(chǎn)量不低于今年的2倍，那么明、后兩年每年的平均增長(zhǎng)率至少是多少？【答案】【分析】根據(jù)題中不等關(guān)系列出關(guān)于平均增長(zhǎng)率的不等式，解不等式，即可得到增長(zhǎng)率的范圍.【詳解】設(shè)該廠今年的產(chǎn)量為，明、后兩年每年的平均增長(zhǎng)率至少是，則，即，，所以明、后兩年每年的平均增長(zhǎng)率至少是.12．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）把一塊長(zhǎng)為80mm、寬為60mm的長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無蓋鐵盒．求當(dāng)?shù)酌娣e不小于1500mm2時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)的取值范圍．【答案】小正方形的邊長(zhǎng)不超過15mm.【分析】設(shè)出小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)題意建立不等式，然后解出答案.【詳解】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則(80－2x)(60－2x)≥1500，即x2－70x＋15×55≥0，解得x≥55或x≤15.因?yàn)?0－2x>0,80－2x>0,x>0，解得0<x<30，所以0<x≤15.答：當(dāng)?shù)酌娣e不小于1500mm2時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)不超過15mm.13．（2021·河南·范縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）國(guó)家原計(jì)劃以2000元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品噸.按規(guī)定，農(nóng)戶向國(guó)家納稅：每收入100元納稅8元（稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%）.為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策.根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低個(gè)百分點(diǎn)，收購量能增加個(gè)百分點(diǎn).試確定的范圍，使稅率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的54%.【答案】【分析】根據(jù)題意列出不等式，進(jìn)而解出不等式即可.【詳解】設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元.y=2000m(1+2x%)·(8-x)%(0<x≤8).依題意，得y≥2000m×8%×54%，即2000m(1+2x%)·(8-x)%≥2000m×8%×54%，整理得x2+42x-184≤0，解得-46≤x≤4.根據(jù)x的實(shí)際意義，知0<x≤8，所以x的范圍為0<x≤4.14．（2021·云南·玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)高一期中）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來每件售價(jià)為元，年銷售萬件．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？【答案】每件定價(jià)最多為元．【分析】設(shè)每件定價(jià)為元，依題可知原收入為萬元，現(xiàn)收入為萬元，即可列出不等式解出．【詳解】設(shè)每件定價(jià)為元，依題意得，整理得，解得：．所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為元．15．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）1.通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市場(chǎng).2021年，該種玻璃售價(jià)為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價(jià)最多提高到多少歐元/平方米？(2)為提高年銷售量，增加市場(chǎng)份額，公司將在2022年對(duì)該種玻璃實(shí)施二次技術(shù)創(chuàng)新和營(yíng)銷策略改革：提高價(jià)格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費(fèi)用，投入500萬歐元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬歐元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達(dá)到多少時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時(shí)的售價(jià).【答案】(1)40(2)該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬平方米時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時(shí)求出此時(shí)的售價(jià)為30歐元.【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，列不等式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意，得到關(guān)于的關(guān)系式，，利用基本不等式進(jìn)行求解（1）設(shè)該種玻璃的售價(jià)提高到x歐元/平方米解得：所以該種玻璃的售價(jià)最多提高到40歐元/平方米（2）整理得：除以得：由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬平方米時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時(shí)求出此時(shí)的售價(jià)為30歐元/平方米.16．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場(chǎng)旁一矩形空地進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．【答案】(1)15米(2)864平方米【分析】（1）根據(jù)“矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米”列不等式，解不等式來求得草坪寬的最大值.（2）求得綠化面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值.(1)設(shè)草坪的寬為x米，長(zhǎng)為y米，由面積為300平方米，得，∵矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米，∴，∴，解得，又，∴，草坪寬的最大值為15米．(2)記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴整個(gè)綠化面積的最小值為864平方米．17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要指標(biāo)．在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了．事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速分別有如下關(guān)系式：，．問：甲、乙兩輛汽車是否有超速現(xiàn)象？【答案】甲種車型沒有超速現(xiàn)象,乙種車型有超速現(xiàn)象.【分析】根據(jù)題意，得到一元二次不等式，結(jié)合解一元二次方程的方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榧追N車型的剎車距離與車速的關(guān)系式：，所以由題意可得：，或舍去，即，當(dāng)時(shí)，，顯然甲種車型沒有超速現(xiàn)象；因?yàn)橐曳N車型的剎車距離與車速的關(guān)系式：，所以由題意可得：，或舍去，即，因此乙種車型有超速現(xiàn)象.18．（2021·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測(cè)，汛期時(shí)水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時(shí)系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)報(bào)警提醒，水庫水量超過最大容量時(shí)，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)報(bào)警．(1)求的值；(2)當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件可建立方程，解出即可；（2）設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得，解出此不等式，然后可得答案.(1)由題意得：，即(2)由（1）得設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)【能力提升】一、多選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某輛汽車以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為，其中為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為，欲使每小時(shí)的油耗不超過，則速度x的值可為（

）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】ABC【解析】先利用120km/h時(shí)的油耗，計(jì)算出的值，然后根據(jù)題意“油耗不超過”列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由汽車以120km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為，，解得：，故每小時(shí)油耗為，由題意得，解得：，又，故，所以速度的取值范圍為.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用待定系數(shù)法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是先利用120km/h時(shí)的油耗，計(jì)算出的值，然后代入根據(jù)題意解不等式，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題.二、填空題2．（2022·上海虹口·高一期末）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其一邊長(zhǎng)x（單位m）的取值范圍是___________.【答案】[10，30]【分析】設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為，由三角形相似得出x，y的關(guān)系，再根據(jù)矩形的面積公式建立不等式，解之可求得答案.【詳解】解：設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為，由三角形相似得且，所以，又矩形的面積，所以，解得，所以其一邊長(zhǎng)x（單位m）的取值范圍是[10，30].故答案為：[10，30].3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某青年旅社有200張床位，若每床每晚的租金為50元，則可全部出租；若將出租費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10的整數(shù)倍，則出租的床位會(huì)減少10的相應(yīng)倍數(shù)張.若要使該旅社每晚的收入超過1.2萬元，則每個(gè)床位的定價(jià)的取值范圍是___________;【答案】【分析】設(shè)每床每晚的租金提高10的倍，由題意可得，解不等式可得的范圍，再計(jì)算每個(gè)床位的定價(jià)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)每床每晚的租金提高10的倍，即為元，出租的床位會(huì)減少10的倍張，即為張，由題意可得該旅社每晚的收入為，整理可得：解得：，因?yàn)椋?，此時(shí)每個(gè)床位的定價(jià)，所以每個(gè)床位的定價(jià)的取值范圍是，故答案為：.4．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了．事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．這次事故的主要責(zé)任方為________．【答案】乙車【分析】依題意,分別列出一元二次不等式,求出各車的最低速度,即可求解.【詳解】解:由題意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10．分別求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由于x>0，從而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．故答案為:乙車.三、解答題5．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高元（為正整數(shù)），則租出的床位會(huì)相應(yīng)減少張．若要使該旅店某晚的收入超過12600元，則每張床位的出租價(jià)格可定在什么范圍內(nèi)？【答案】每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在70元到180元之間（不包括70元，180元）【分析】由題意可知該旅店某晚的收入為y元，可知，解不等式可求解.【詳解】設(shè)該旅店某晚的收入為y元，則由題意，則即，即，解得：，且所以每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在70元到180元之間（不包括70元，180元）6．（2021·湖北十堰·高一期中）某學(xué)校欲在廣場(chǎng)旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.【答案】(1)10米(2)平方米【分析】（1）設(shè)草坪的寬為米，長(zhǎng)為米，則由題意，列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）求出整個(gè)綠化面的長(zhǎng)為米，寬為米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可．(1)設(shè)草坪的寬為x米，長(zhǎng)為y米，由面積均為200平方米，得，因?yàn)榫匦尾萜旱拈L(zhǎng)比寬至少多10米，所以，又，所以，解得，所以寬的最大值為10米；(2)記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，等號(hào)成立，所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米7．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根據(jù)題意直接列出不等式可求解；（2）由條件可得，，分別利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式即可求解.(1)依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，()解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人；(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件.由技術(shù)人員年人均投入不減少有，解得.由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有，兩邊同除以得，整理得，故有，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值7，所以，，即存在這樣的m滿足條件，其范圍為.8．（2021·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測(cè)算，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系式為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為220噸．（1）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；（2）經(jīng)過評(píng)估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為40萬元，且最大利潤(rùn)不超過1660萬元，由該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最大值應(yīng)為多少？【答案】（1）年產(chǎn)量為200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，最低成本為32萬元；（2）210噸．【分析】（1）平均成本等于總成本除以年產(chǎn)量，得到的式子符合乘積為定值，利用基本不等式求出最小值；（2）表示出利潤(rùn)得到關(guān)于x的二次不等式，求出范圍即可.注意實(shí)際問題下取值范圍的限制.【詳解】解∶（1）設(shè)每噸的平均成本為W，則W=當(dāng)且僅當(dāng)，即x=200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，且最低成本為32萬元．（2）由題意得，，解得，x≥230或x≤210∵0<x≤220∴0<x≤210當(dāng)最大利潤(rùn)不超過1660萬元時(shí)，年產(chǎn)量的最大值應(yīng)為210噸．9．（2021·黑龍江·雙鴨山一中高一階段練習(xí)）某單位在對(duì)一個(gè)長(zhǎng)800m、寬600m的草坪進(jìn)行綠化時(shí)，是這樣想的:中間為矩形綠草坪，四周是等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度的取值范圍是多少?當(dāng)花壇寬度為多少時(shí)，綠草坪面積最小?【答案】當(dāng)花壇的寬度在之間取值時(shí)，綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，花壇寬度為時(shí)，綠草坪面積最小.【分析】設(shè)花壇寬度為，則草坪的長(zhǎng)為，寬為，由題列不等式，解不等式可得的范圍，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】設(shè)花壇寬度為，則草坪的長(zhǎng)為，寬為.根據(jù)題意得，整理得，解不等式得(舍去)或，因此.故當(dāng)花壇的寬度在之間取值時(shí)，綠草坪的面積不小于總面積的二分之一.綠草坪的面積，對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)花壇寬度為時(shí)，綠草坪面積最小.10．（2021·江蘇·徐州市第七中學(xué)高一期中）2020年11月23日，貴州宣布最后9個(gè)深度貧困縣退出貧困縣序列，這不僅標(biāo)志著貴州省66個(gè)貧困縣實(shí)現(xiàn)整體脫貧，這也標(biāo)志著國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的全國(guó)832個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，全國(guó)脫貧攻堅(jiān)目標(biāo)任務(wù)已經(jīng)完成.在脫貧攻堅(jiān)過程中，某地縣鄉(xiāng)村三級(jí)干部在幫扶走訪中得知某貧困戶的實(shí)際情況后，為他家量身定制了脫貧計(jì)劃，政府無息貸款10萬元給該農(nóng)戶種養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤(rùn)0.15萬元.若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元?jiǎng)?chuàng)造的利潤(rùn)變?yōu)樵瓉淼谋?現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的萬元全部投資網(wǎng)店，進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元?jiǎng)?chuàng)造的利潤(rùn)為萬元，其中.（1）若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤(rùn)不低于原來養(yǎng)羊的利潤(rùn)，求的取值范圍；（2）若網(wǎng)店銷售的利潤(rùn)始終不高于技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤(rùn)，求的最大值.【答案】（1）的取值范圍為；（2）的最大值為．【解析】（1）由題意得，解不等式可得結(jié)果；（2）由題意得恒成立，分離出參數(shù)得恒成立，只要利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】解：（1）由題意，得，整理得，解得，又，故．（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤(rùn)為萬元，技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的利潤(rùn)為萬元，則恒成立，又，∴恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即的最大值為．答：（1）的取值范圍為；（2）的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查不等式的解法，第2問解題的關(guān)鍵是由恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用基本不等式求的最小值即可，屬于中檔題11．（2021·江蘇·高一）科技創(chuàng)新是企業(yè)發(fā)展的源動(dòng)力，是一個(gè)企業(yè)能夠?qū)崿F(xiàn)健康持續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．某科技企業(yè)最新研發(fā)了一款大型電子設(shè)備，并投入生產(chǎn)應(yīng)用．經(jīng)調(diào)研，該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備獲得的月利潤(rùn)（單位：萬元）與投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)（，單位：萬元）有關(guān)：當(dāng)投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于36萬元時(shí)，；當(dāng)投入月研發(fā)經(jīng)費(fèi)高于36萬元時(shí)，．對(duì)于企業(yè)而言，研發(fā)利潤(rùn)率，是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據(jù)之一，越大，研發(fā)利潤(rùn)率越高，反之越小．（1）求該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率的最大值以及相應(yīng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的值；（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率不低于190%，求月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍．【答案】（1）30萬元，最大值200%；（2）.【解析】（1）分別寫出與時(shí)研發(fā)利潤(rùn)率關(guān)于月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的函數(shù)，再由基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求最值，取最大值中的最大者得結(jié)論；（2）由（1）可得應(yīng)付利潤(rùn)率關(guān)于研發(fā)經(jīng)費(fèi)的解析式，列不等式求解的范圍即可【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以．因?yàn)椋援?dāng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)為30萬元時(shí)，研發(fā)利潤(rùn)率取得最大值200%．（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率不低于190%，由（1）可知，此時(shí)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)．于是，令，整理得，解得．因此，當(dāng)研發(fā)利潤(rùn)率不小于190%時(shí)，月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.12．（2020·湖北·高一期中）經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：．（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量最大？（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為12千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）千米/小時(shí)；（2）應(yīng)控制在20千米/小時(shí)到50千米/小時(shí)范圍內(nèi)．【分析】（1）利用基本不等式等號(hào)成立的條件求得取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.（2）解一元二次不等式求得汽車的平均速度的控制范圍.【詳解】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)汽車的平均速度千米/小時(shí)時(shí)車流量最大．（2）令，則可化為，即，解得.汽車的平均速度應(yīng)控制在20千米/小時(shí)到50千米/小時(shí)范圍內(nèi)．【點(diǎn)睛】本小題主要考查基本不等式、一元二次不等式.13．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的管理，實(shí)行征收附加稅政策．現(xiàn)在某種酒每瓶70元，不征收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶；若政府征收附加稅，每銷售100元征收R元(叫做稅率為R%)，則每年產(chǎn)銷量將減少10R萬瓶．要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收附加稅不少于112萬元，R應(yīng)怎樣確定？【答案】.【分析】設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收附加稅為70x·R%萬元，并且x＝100－10R，由題意得70(100－10R)·R%≥112，解不等式即得解.【詳解】設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收附加稅為70x·R%萬元，并且x＝100－10R，由題意，得70(100－1