排隊(duì)論及應(yīng)用舉例課件

第六章排隊(duì)論關(guān)鍵詞排隊(duì)（Queue）指數(shù)分布（ExponentialDistribution）單通道、單階段（SingleChannel,singlePhase）排隊(duì)系統(tǒng)（QueuingSystem）泊松分布（PoissonDistribution）多通道、多階段（Multichannel,Multiphase）到達(dá)率（ArrivalRate）服務(wù)率（ServiceRate）有限隊(duì)列（FiniteQueue）第六章排隊(duì)論關(guān)鍵詞1一、排隊(duì)問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)含義在日常經(jīng)濟(jì)生活中，經(jīng)常遇到排隊(duì)現(xiàn)象，如：在超市等待結(jié)帳、工廠中等待加工的工件或待修理的機(jī)器、開(kāi)車(chē)上班等，排隊(duì)論是運(yùn)作管理中重要的方法，它是計(jì)劃、工作設(shè)計(jì)、存貨控制以及其他問(wèn)題的基礎(chǔ)。每一個(gè)排隊(duì)事例的核心問(wèn)題就是對(duì)不同因素作權(quán)衡決策，管理者必須衡量為提供更快捷服務(wù)而增加的成本和等待費(fèi)用之間的關(guān)系。一種情況是：直接對(duì)成本進(jìn)行權(quán)衡決策，例如考慮到顧客排隊(duì)等待可以增加設(shè)備，就要權(quán)衡增加設(shè)備的成本與多服務(wù)顧客所帶來(lái)的價(jià)值的大小，決策比較直觀和容易；另一種情況是：排隊(duì)問(wèn)題是對(duì)醫(yī)院床位的需求，可以估算增加床位帶來(lái)的房屋建筑、附加設(shè)備以及增加的維護(hù)費(fèi)用等成本，但衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)什么？因?yàn)橛媒疱X(qián)成本來(lái)度量病人對(duì)病床的需求顯然是徒勞的，盡管可以估計(jì)出醫(yī)院因病床不足會(huì)損失多少收入，但無(wú)法估計(jì)病人因得不到適當(dāng)?shù)尼t(yī)護(hù)所遭受的損失。解決排隊(duì)問(wèn)題的基本目標(biāo)是平衡等待成本與增加資源引起的成本之間的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這意味著若要給顧客創(chuàng)造很短的等待時(shí)間，服務(wù)臺(tái)的利用率將回降低。排隊(duì)問(wèn)題中一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是用什么樣的程序或優(yōu)先規(guī)則來(lái)選擇下一個(gè)產(chǎn)品或顧客作為服務(wù)對(duì)象。一、排隊(duì)問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)含義在日常經(jīng)濟(jì)生活中，經(jīng)常遇到排隊(duì)現(xiàn)象，如2成本效益平衡服務(wù)成本總成本最小值等待成本最佳能力成本＄服務(wù)設(shè)施能力圖6-1服務(wù)成本與等待成本的關(guān)系

如圖6-1所示，是一個(gè)典型（穩(wěn)定）的客運(yùn)問(wèn)題中的權(quán)衡。等待成本隨著服務(wù)能力的增大而減小，可以用負(fù)指數(shù)曲線描述；服務(wù)成本可以簡(jiǎn)單地用線性變化表示；總成本或復(fù)合成本則是U型曲線。所以，理想的最優(yōu)化（最小）成本位于服務(wù)成本曲線和等待成本曲線的交點(diǎn)上。排隊(duì)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用顧客到達(dá)服務(wù)需求量到達(dá)的數(shù)目時(shí)間服務(wù)時(shí)間普通能力時(shí)間圖6-2到達(dá)與服務(wù)的關(guān)系

如圖6-2表示的是到達(dá)某一服務(wù)機(jī)構(gòu)（銀行）的人數(shù)和對(duì)這一機(jī)構(gòu)服務(wù)的需求（信貸人員）。在服務(wù)系統(tǒng)營(yíng)業(yè)過(guò)程中，每一小時(shí)到達(dá)系統(tǒng)的顧客人數(shù)是一個(gè)很重要的變量。從提供服務(wù)的觀點(diǎn)來(lái)看，顧客對(duì)于服務(wù)的需求是不斷變化的，而且經(jīng)常超過(guò)正常的服務(wù)能力?？梢酝ㄟ^(guò)不同的方法對(duì)到達(dá)人數(shù)加以控制。如特殊顧客通道、臨時(shí)加班、設(shè)定等待座位數(shù)等。一般服務(wù)時(shí)間受到服務(wù)速度、機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速度的影響，另外，服務(wù)時(shí)間也會(huì)因使用的工具、材料或計(jì)劃的不同而變化。成本效益平衡服務(wù)成本總成本最小值等待成本最佳能力成本＄服務(wù)設(shè)3二、排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)機(jī)構(gòu)等待隊(duì)列離開(kāi)顧客源圖6-3排隊(duì)系統(tǒng)的組成如圖5-3所示，一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)有三個(gè)主要部分組成：一是：顧客源和顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式二是：服務(wù)系統(tǒng)三是：顧客離開(kāi)系統(tǒng)的方式(是否回到顧客源？)顧客到達(dá)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的顧客可以分為兩類：有限總體和無(wú)限總體。1.有限總體。要求服務(wù)的顧客數(shù)是有限的，通常是排成一隊(duì)的。顧客總體中的某一位離開(kāi)其位置（如一臺(tái)設(shè)備停機(jī)待修理），顧客就少一個(gè)，同時(shí)減少了下一次要求服務(wù)的概率。相反，當(dāng)被服務(wù)的顧客回到顧客總體中，總體人數(shù)對(duì)服務(wù)需求的概率也就增加了。2.無(wú)限總體。對(duì)于服務(wù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)顧客數(shù)量足夠大，由于人數(shù)增減而引起的總體規(guī)模的變化不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的概率分布產(chǎn)生顯著的影響。3.顧客到達(dá)的分布。這是一個(gè)到達(dá)率或單位時(shí)間到達(dá)數(shù)的問(wèn)題。固定到達(dá)的分布呈周期性的，即相繼到達(dá)的兩個(gè)顧客之間的時(shí)間間隔幾乎相同。在生產(chǎn)系統(tǒng)中，通常運(yùn)用一些技術(shù)控制顧客在固定的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)。多數(shù)情況下，顧客的到達(dá)呈隨機(jī)分布。

首先，分析相鄰兩個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔是否服從某些統(tǒng)計(jì)分布？通常假定相鄰兩次到達(dá)的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布其次，在設(shè)定時(shí)間長(zhǎng)度為T(mén)，然后確定在時(shí)間T段內(nèi)有多少顧客到達(dá)并進(jìn)入系統(tǒng)？通常假定單位時(shí)間到達(dá)的人數(shù)服從泊松分布。二、排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)機(jī)構(gòu)等待隊(duì)列離開(kāi)顧客源圖6-344.第一種情況：指數(shù)分布。當(dāng)顧客已完全隨機(jī)方式到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)時(shí)，相鄰到達(dá)時(shí)間間隔服從指數(shù)分布。如圖5-4所示。其概率密度函數(shù)為：（6-1）式中代表單位時(shí)間段到達(dá)的顧客數(shù)量。圖5-4中曲線下方的陰影區(qū)域即為函數(shù)5-1在正數(shù)范圍內(nèi)的積分，即。通過(guò)這種方法，就可以計(jì)算出某一特定時(shí)間顧客到達(dá)的概率。例如：在顧客是單個(gè)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)（）時(shí)，可通過(guò)兩種方法得到表5-1。一種是根據(jù)式，另一種可以應(yīng)用負(fù)指數(shù)分布。表的第二欄是下一個(gè)到達(dá)的顧客時(shí)間間隔超過(guò)分鐘的概率；第三欄為下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間小于分鐘的概率。圖6-4指數(shù)分布（1）（2）（3）下一個(gè)顧客將在下一個(gè)顧客將在小于t分鐘大于t分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)到達(dá)的概率到達(dá)的概率(3)=(1)-(2)01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.86期望值方差4.第一種情況：指數(shù)分布。當(dāng)顧客已完全隨機(jī)方式到達(dá)服務(wù)5

5.第二種情況:泊松分布。主要針對(duì)某一時(shí)段T內(nèi)有n人到達(dá)的概率，到達(dá)過(guò)程是隨機(jī)的，則服從泊宋分布。如圖5-5所示。計(jì)算公式為：（6-2）式5-2表示在T時(shí)間內(nèi)有n個(gè)顧客到達(dá)的概率。例如，如果一個(gè)系統(tǒng)的平均到達(dá)率是每分鐘有3個(gè)顧客到達(dá)（），要求1分鐘內(nèi)有5個(gè)人到達(dá)的概率為：.149.168.224.102.050.224.20.10.05期望值方差平滑曲線12345681012時(shí)間T內(nèi)有n人到達(dá)的概率到達(dá)人數(shù)n圖6-5泊松分布（）0這就是說(shuō)，在任何一分鐘的間隔期內(nèi)有5人到達(dá)的概率是10.1%。泊松分布是一類離散型的分布，但通常用一條平滑曲線來(lái)表示（n越大，曲線越平滑）。在這個(gè)實(shí)例中，n指的是到達(dá)系統(tǒng)的人熟，因而該分布是離散的，且必須為整數(shù)。5.第二種情況:泊松分布。主要針對(duì)某一時(shí)段T內(nèi)有n人到6排隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)列考慮的因素：隊(duì)長(zhǎng)、隊(duì)列數(shù)、排隊(duì)規(guī)則隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限隊(duì)列：即指相對(duì)于服務(wù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是相當(dāng)長(zhǎng)的隊(duì)列。如：堵塞在立交橋上的車(chē)輛、繞這街道排列成隊(duì)購(gòu)買(mǎi)商品的顧客等。有限隊(duì)列：是指由于法律或?qū)嶋H空間特點(diǎn)制約，排隊(duì)等待服務(wù)的隊(duì)長(zhǎng)受到限制。如：停車(chē)廠、加油站等，但是有可能出現(xiàn)到達(dá)后離開(kāi)，過(guò)一會(huì)有可能再來(lái)或到其他地方尋求服務(wù)。這是有限總體條件下的兩種不同表現(xiàn)。隊(duì)列數(shù)單列隊(duì)是指只有一個(gè)隊(duì)列。多列隊(duì)指排在兩個(gè)或兩個(gè)以上服務(wù)臺(tái)前的多個(gè)單列隊(duì)，或者指在中間某點(diǎn)匯集的多個(gè)單列隊(duì)。多列隊(duì)的缺點(diǎn)是如果前面的幾個(gè)服務(wù)時(shí)間短或者那些在其他隊(duì)的顧客需要短服務(wù)時(shí)間時(shí)，到達(dá)的顧客將會(huì)挪動(dòng)隊(duì)列。排隊(duì)規(guī)劃是指決定隊(duì)列中顧客接受服務(wù)次序的一個(gè)或一系列優(yōu)先法則。直接影響著隊(duì)列中顧客人數(shù)、平均等待時(shí)間、等待時(shí)間變化范圍以及服務(wù)設(shè)施的效率等。在使用任何優(yōu)先法則時(shí)，兩大現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：一是確保顧客了解并遵守法則；二是保證有一個(gè)能使雇員對(duì)隊(duì)列進(jìn)行管理的系統(tǒng)。排隊(duì)規(guī)則先來(lái)先服務(wù)最短過(guò)程時(shí)間預(yù)訂優(yōu)先緊急優(yōu)先最優(yōu)顧客優(yōu)先其他最大需求優(yōu)先最大盈利優(yōu)先服務(wù)時(shí)間分布在排隊(duì)問(wèn)題中，服務(wù)率通常是指單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)臺(tái)完成服務(wù)的顧客數(shù)，而不是指每位顧客的服務(wù)時(shí)間。固定服務(wù)時(shí)間是指每次服務(wù)的時(shí)間完全相同，這僅限于機(jī)器受控運(yùn)作。當(dāng)服務(wù)時(shí)間比較隨機(jī)時(shí)，則近似指數(shù)分布，一般用作為每時(shí)間段內(nèi)被服務(wù)的平均顧客數(shù)。排隊(duì)系統(tǒng)在使用任何優(yōu)先法則時(shí)，兩大現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：排隊(duì)規(guī)則先來(lái)先服7隊(duì)列結(jié)構(gòu)——見(jiàn)圖5-6所示單通道、單階段：最簡(jiǎn)單的隊(duì)列結(jié)構(gòu)形式。用簡(jiǎn)單的公式可以解決到達(dá)人數(shù)和服務(wù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)分布問(wèn)題。如單人理發(fā)店。單通道、多階段：由一系列以非常標(biāo)準(zhǔn)的順序進(jìn)行的服務(wù)構(gòu)成。如：洗車(chē)服務(wù)的吸塵、打濕、沖洗、晾干、洗車(chē)窗和停車(chē)。重要的因素是該服務(wù)由多少個(gè)步驟組成，在各個(gè)不同步驟中又分別形成了隊(duì)列。多通道、單階段：如：銀行的出納窗口、大型商場(chǎng)的收銀臺(tái)等。每個(gè)顧客不均勻的服務(wù)時(shí)間會(huì)引起隊(duì)列流動(dòng)不均勻，導(dǎo)致某些顧客先于早到的顧客接受服務(wù)，一定程度上影響顧客挪動(dòng)隊(duì)列。為了保證顧客按到達(dá)時(shí)間順序接受服務(wù)，則要排成一個(gè)單隊(duì)，當(dāng)一個(gè)服務(wù)臺(tái)空出來(lái)時(shí)，隊(duì)列最前面的顧客就可以去接受服務(wù)，如銀行自動(dòng)抽號(hào)排隊(duì)。最大的問(wèn)題在于需要對(duì)隊(duì)列進(jìn)行刻板的控制以維持秩序和引導(dǎo)顧客到空閑的服務(wù)臺(tái)。多通道、多階段：服務(wù)由多個(gè)步驟組成，完成每個(gè)服務(wù)步驟有兩個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)，一般可有多個(gè)顧客同時(shí)被服務(wù)。如：醫(yī)院里接待病人的系統(tǒng)：掛號(hào)（有多個(gè)窗口，病歷上填寫(xiě)病人信息）、就診（同一科室有多位大夫）、化驗(yàn)、檢查（同一化驗(yàn)、檢查有多個(gè)窗口和設(shè)施）、回復(fù)就診（同一科室有多位大夫）、處方劃價(jià)（多個(gè)窗口）、繳費(fèi)（多個(gè)窗口）、取藥（多個(gè)窗口）?；旌闲停簝煞N情況：1）多通道—單通道結(jié)構(gòu)；2）交錯(cuò)通道結(jié)構(gòu)。考慮到階段問(wèn)題，如：?jiǎn)坞A段服務(wù)的多通道變成了單通道（如過(guò)橋時(shí)多隊(duì)變成一隊(duì)）；多階段服務(wù)的多通道變成了單通道（如多條子裝配線匯成一條主裝配線）上述形式的選擇，一方面依賴于被服務(wù)顧客數(shù)；另一方面，依賴于服務(wù)順序的特殊要求。隊(duì)列結(jié)構(gòu)——見(jiàn)圖5-6所示上述形式的選擇，一方面依賴于被服8隊(duì)列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階段從多通道到單通道交錯(cuò)通道圖5-6隊(duì)列結(jié)構(gòu)隊(duì)列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階段從多通道到單通道交錯(cuò)通道圖6-6隊(duì)列結(jié)構(gòu)隊(duì)列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階9顧客離開(kāi)“經(jīng)常發(fā)生事件（recurring-common-coldcase）”：顧客回到顧客源，馬上成為一名新的顧客要求服務(wù)。如：機(jī)器例行修理后重新使用，可能再次出現(xiàn)故障而需要修理?！爸话l(fā)生一次事件（appendectomy-onlyoncecase）”：顧客重新要求服務(wù)的可能性極小，即不可能重新要求服務(wù)。如：機(jī)器進(jìn)行徹底檢查和修理后，在一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)重新維修。顧客接受服務(wù)后，離開(kāi)的情況可能有兩種顧客源有限時(shí)，對(duì)回頭客服務(wù)的任何改變都會(huì)改變顧客到達(dá)率，引起排隊(duì)問(wèn)題的特征的改變。三、排隊(duì)模型問(wèn)題一：顧客等待。

銀行希望知道有多少顧客在等待其服務(wù)到車(chē)（drive-in）出納員的服務(wù)？出納員的效率是多少？如果要求在95%的時(shí)間內(nèi)，任一時(shí)刻系統(tǒng)中不超過(guò)三輛車(chē)，則其服務(wù)率應(yīng)達(dá)到什么水平？問(wèn)題二：設(shè)備選擇。

公司有三中不同的設(shè)備可以提供同一種服務(wù)，設(shè)備功率越大，成本也越高，但服務(wù)速度越快。因此作決策時(shí)，成本與收入是緊密相聯(lián)的。問(wèn)題三：服務(wù)人數(shù)決策。

經(jīng)銷(xiāo)公司的一個(gè)銷(xiāo)售部門(mén)必須決定一個(gè)柜臺(tái)雇傭多少職員。職員越多，成本也越高，但服務(wù)等待時(shí)間的減少能帶來(lái)部分成本的節(jié)約。問(wèn)題四：有限總體。

前述都是無(wú)限總體，而對(duì)于有限顧客總體，如：車(chē)間有若干臺(tái)設(shè)備，一名維修工負(fù)責(zé)4臺(tái)設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)，在充分考慮設(shè)備閑置成本和維修工的服務(wù)成本的基礎(chǔ)上，決定應(yīng)該雇傭多少名維修工？四種典型的問(wèn)題顧客離開(kāi)“經(jīng)常發(fā)生事件（recurring-common-c10模型分布服務(wù)階段顧客源到達(dá)人數(shù)分布排隊(duì)規(guī)則服務(wù)時(shí)間分布允許的隊(duì)列長(zhǎng)度典型例子1單通道單一無(wú)限泊松先來(lái)先服務(wù)指數(shù)無(wú)限銀行出納員服務(wù)系統(tǒng)；單道收費(fèi)橋系統(tǒng)2單通道單一無(wú)限泊松先來(lái)先服務(wù)常數(shù)無(wú)限自動(dòng)洗車(chē)服務(wù)；游樂(lè)園的滑行鐵道系統(tǒng)3多通道單一無(wú)限泊松先來(lái)先服務(wù)指數(shù)無(wú)限汽車(chē)經(jīng)銷(xiāo)公司零件柜臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)4單通道單一有限泊松先來(lái)先服務(wù)指數(shù)無(wú)限工廠里故障機(jī)器的維修服務(wù)表6-1特殊隊(duì)列模型特征在研究上述問(wèn)題時(shí)，給出四種排隊(duì)模型及其求解公式。但一個(gè)基本假設(shè)是：所研究的過(guò)程是持續(xù)穩(wěn)定的。如果在一個(gè)問(wèn)題中，其服務(wù)率或者到達(dá)率隨時(shí)間而改變的話，運(yùn)用公式得出的結(jié)果將不很精確。模型分布服務(wù)顧客源到達(dá)人排隊(duì)規(guī)則服務(wù)時(shí)允許的典型例子1單通道11

四種隊(duì)列問(wèn)題的求解公式：模型1：（6-3）模型2：（6-4）模型3：給出P與M值，查表可得（6-5）是有限排隊(duì)問(wèn)題，可以通過(guò)有限表來(lái)解決。模型4：（6-6）HLn+=四種隊(duì)列問(wèn)題的求解公式：模型1：（6-3）模型2：（6-412公式6-3、4、5、6中符號(hào)注釋無(wú)限排隊(duì)模型（1-3）有限排隊(duì)模型4公式6-3、4、5、6中符號(hào)注釋無(wú)限排隊(duì)模型（1-3）13四、應(yīng)用舉例

例1：顧客等待西部開(kāi)發(fā)銀行正在考慮開(kāi)設(shè)一個(gè)服務(wù)到車(chē)的窗口。管理者估計(jì)顧客將以每小時(shí)15人的速度到達(dá)，出納員的服務(wù)速率是每3分鐘服務(wù)一位顧客。第一部分假設(shè)到達(dá)人數(shù)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，求：1）出納員的利用率；2）平均等待顧客數(shù)；3）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)；4）平均等待時(shí)間；5）顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間，包括服務(wù)時(shí)間。解：四、應(yīng)用舉例例1：顧客等待西部開(kāi)發(fā)銀行14

第二部分由于空間的限制及對(duì)服務(wù)水平的要求，假如銀行經(jīng)理希望能保證以95%的置信度，在任一時(shí)刻系統(tǒng)中的車(chē)輛數(shù)不超過(guò)3輛。那么，在3輛車(chē)限制下，服務(wù)水平應(yīng)為多高？出納員的利用率應(yīng)達(dá)到什么水平？為保證95%的服務(wù)水平，出納員的服務(wù)率應(yīng)為多少？解：3輛車(chē)或更少時(shí)的服務(wù)水平是指系統(tǒng)中車(chē)輛數(shù)分別為0、1、2或3時(shí)的概率。根據(jù)模型1和式（6-3），可得：0.685或68.5%系統(tǒng)中車(chē)輛數(shù)大于3的概率為：1.0-0.685=0.315要求系統(tǒng)中不多于3輛車(chē)的服務(wù)水平為95%，即應(yīng)該使我們可以用試算法來(lái)解這個(gè)方程0.685或68.5%系統(tǒng)中車(chē)輛數(shù)大于3的概率為：1.0-0.685=0.315要求系統(tǒng)中不多于3輛車(chē)的服務(wù)水平為95%，即應(yīng)該使第二部分由于空間的限制及對(duì)服務(wù)水平的15這就是說(shuō)，出納員必須以95%的置信度每小時(shí)為32人服務(wù)，這樣才能使系統(tǒng)中的車(chē)輛數(shù)不超過(guò)3輛。也許通過(guò)調(diào)整服務(wù)方式，增加另一個(gè)出納員或者限制營(yíng)業(yè)種類，服務(wù)速率可以大大提高。另外，在95%的置信度下保證系統(tǒng)中不多于3輛車(chē)時(shí)，出納員將有53%的閑暇時(shí)間。

例2：設(shè)備選擇在美國(guó)有一個(gè)機(jī)器人公司被特許將加油業(yè)務(wù)和汽車(chē)沖洗業(yè)務(wù)合并在一起。機(jī)器人公司對(duì)加滿油的車(chē)輛提供免費(fèi)沖洗，對(duì)于不加油只沖洗的車(chē)收取0.5美元。以往的經(jīng)驗(yàn)表明：加油并洗車(chē)的顧客數(shù)與單獨(dú)洗車(chē)的顧客數(shù)大致相等。平均家一次油可以盈利0.7美元，洗一次車(chē)的成本是0.1美元，機(jī)器人每天運(yùn)轉(zhuǎn)14小時(shí)。機(jī)器人有三檔功率和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，該特許專營(yíng)店必須先對(duì)著三檔功率作出選擇。A檔可以每5分鐘洗一輛車(chē)，每天成本為12美元；B檔可以每4分鐘洗一輛車(chē)，每天成本為16美元；C檔可以每3分鐘洗一輛車(chē)，每天成本為22美元。該專營(yíng)店估計(jì)，每個(gè)顧客洗一輛車(chē)不愿等待時(shí)間超過(guò)5分鐘，若等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，公司將會(huì)失去顧客。若估計(jì)每小時(shí)有10名顧客來(lái)洗車(chē)，那么該選擇哪檔功率？這就是說(shuō)，出納員必須以95%的置信度每小時(shí)為16解：選擇功率A時(shí)，根據(jù)模型2的公式可以計(jì)算出顧客的平均等待時(shí)間。

如果等待時(shí)間是唯一標(biāo)準(zhǔn)，則應(yīng)該選擇功率B，但是在做最終決策結(jié)論之前，還必須比較兩者的利潤(rùn)。對(duì)于功率A，由于等待時(shí)間為12.5分鐘，部分顧客會(huì)放棄接受服務(wù)。可以估計(jì)出選擇功率A時(shí)營(yíng)業(yè)額的減少量?？赏ㄟ^(guò)增加t1=5分鐘或1/12小時(shí)（平均顧客等待時(shí)間），從中解得到達(dá)率，這將是最有效的顧客到達(dá)率。

因此，既然λ的最初估計(jì)值是10人/小時(shí)，則每小時(shí)將失去2名顧客，損失為：2×14小時(shí)×1/2（0.7加油效益+0.4洗車(chē)效益）=15.40＄/天。因?yàn)檫x擇功率B，成本只增加4＄/天，顯然，選擇功率A所損失的15.40＄的效益能保證功率B的啟動(dòng)。功率B能滿足最初設(shè)定的5分鐘等待最大限度，因此功率C可以不予考慮，除非到達(dá)率有較大的增長(zhǎng)。解：選擇功率A時(shí)，根據(jù)模型2的公式可以計(jì)算出顧客的平均等待時(shí)17例3：關(guān)于服務(wù)臺(tái)的決策海爾公司住西安售后服務(wù)部門(mén)，維修工要為空調(diào)修理或服務(wù)而準(zhǔn)備零件。他的這種需求以表的形式遞交到零件服務(wù)柜臺(tái)，由柜臺(tái)職員填表，而此時(shí)維修工處于等待狀態(tài)。維修工的到達(dá)呈泊松分布，到達(dá)率為40人/小時(shí)，職員填表的速率為20份/小時(shí)，且處理時(shí)間服從指數(shù)分布。如果柜臺(tái)職員的工資為￥6元/小時(shí)，維修工的工資為￥12元/小時(shí)。請(qǐng)決定柜臺(tái)職員的最佳數(shù)。由于到達(dá)率很大，所以假設(shè)顧客源是無(wú)限的。解：首先假定服務(wù)柜臺(tái)安排3名職員，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)或兩個(gè)職員將產(chǎn)生無(wú)限長(zhǎng)的隊(duì)列，原因是：在這里將用到模型3的公式（6-5）。根據(jù)表計(jì)算隊(duì)列中平均顧客數(shù)。由此可看出，每天隊(duì)列中平均等待數(shù)為0.8888，按一天8小時(shí)，每小時(shí)￥12元計(jì)算，維修工等待所付出的代價(jià)=0.8888×12×8=￥85.32元。假定增加一個(gè)柜臺(tái)職員，重新計(jì)算維修工的等待時(shí)間，比較增加一個(gè)柜臺(tái)職員的成本與維修工因此而節(jié)約時(shí)間所帶來(lái)的效益兩者之間的大小。維修工等待成本：0.1730×12×8=￥16.61（元/天）減少維修工等待時(shí)間可節(jié)約：85.32-16.61=￥68.71（元/天）增加一名柜臺(tái)職員的成本：8×6=￥48（元/天）柜臺(tái)職員由3名增加到4名，可節(jié)約成本68.71-48=￥20.71（元/天）所以柜臺(tái)職員的最佳數(shù)是4名。該問(wèn)題可以引伸為由運(yùn)送員向維修工運(yùn)送零件的情況，此時(shí)解決該問(wèn)題需要決定運(yùn)送員的最佳人數(shù)。但是，必須考慮由于傳遞錯(cuò)誤引起時(shí)間耽誤帶來(lái)的費(fèi)用。因?yàn)榫S修工直接到柜臺(tái)領(lǐng)取零件可以立即糾正零件提取錯(cuò)誤。例3：關(guān)于服務(wù)臺(tái)的決策海爾公司住西安售后服18例4：有限顧客源某紡織公司對(duì)一個(gè)車(chē)間的一排紡織機(jī)（共4臺(tái)）進(jìn)行研究表明，平均每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)都需要調(diào)整。就目前的這些調(diào)整服務(wù)人員來(lái)說(shuō)，平均一次調(diào)整的時(shí)間為7.5分鐘。假定顧客到達(dá)數(shù)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，每臺(tái)機(jī)器閑置時(shí)每小時(shí)損失￥40元。如果有另外一名調(diào)整服務(wù)人員（其平均一次調(diào)整時(shí)間也是7.5分鐘）。請(qǐng)決定是否以每小時(shí)￥7元的成本雇傭他？解：這是一個(gè)有限排隊(duì)問(wèn)題。需要比較機(jī)器停工成本（包括等待的和被維修的時(shí)間）加上一個(gè)調(diào)整服務(wù)人員的成本與機(jī)器的停工期成本加上兩位調(diào)整服務(wù)的成本之間的大小。所以必須找出在系統(tǒng)中等待的平均機(jī)器數(shù)。設(shè)：N：總體的機(jī)器數(shù)；M：調(diào)整服務(wù)人員數(shù)；T：每臺(tái)機(jī)器的維修；U：在被維修之前，每臺(tái)機(jī)器的平均運(yùn)行時(shí)間；L：隊(duì)列中等待維修的平均機(jī)器數(shù)；X：服務(wù)因子或每臺(tái)機(jī)器維修時(shí)間比率（X=T/(T+U)）；H：被維修的平均機(jī)器數(shù)。需要從有限排隊(duì)表中獲得的值有：D：一臺(tái)需要維修的機(jī)器需等待的概率；F：效率因子，衡量需維修的機(jī)器必須等待的結(jié)果。有限排隊(duì)表是根據(jù)三個(gè)變量來(lái)安排的：N為總體大?。籜為服務(wù)路線數(shù)（在此問(wèn)題中是指維修人員數(shù)）。先找到相應(yīng)的N值的表，查找對(duì)應(yīng)的X值以及D與F值。然后用有限排隊(duì)系統(tǒng)的模型和公式（6-6）計(jì)算其他參數(shù)。表6-24臺(tái)機(jī)器停工成本與維修成本比較表維修人員數(shù)故障機(jī)器數(shù)（H+L）故障機(jī)器每小時(shí)成本（H+L）×40維修人員成本7元/小時(shí)·人每小時(shí)總成本10.59723.887.0030.8820.45118.0414.0032.04例4：有限顧客源某紡織公司對(duì)一個(gè)車(chē)間的一排19

為解決此問(wèn)題，考慮一個(gè)維修人員和兩個(gè)維修人員兩種情況。情況1：一個(gè)維修人員。根據(jù)上述資料可知：N=4，T=7.5分鐘，U=60分鐘，則X=T/（T+U）=7.5/（7.5+60）=0.111通過(guò)有限排隊(duì)表，即N=4的有限表，當(dāng)X=0.111，且M=1時(shí)，可查得F=0.957。隊(duì)列中等待維修的機(jī)器數(shù)為：L=N（1-F）=4×（1-0.957）=0.172臺(tái)機(jī)器被維修的機(jī)器數(shù)為：H=FNX=0.957×4×0.111=0.425臺(tái)機(jī)器表6-2表示的是由于故障機(jī)器停工期和維修人員引起的成本。情況2：兩個(gè)維修人員。根據(jù)上述資料可知：N=4，T=7.5分鐘，U=60分鐘，則X=T/（T+U）=7.5/（7.5+60）=0.111通過(guò)有限排隊(duì)表，即N=4的有限表，當(dāng)X=0.111，且M=2時(shí)，可查得F=0.998。隊(duì)列中等待維修的機(jī)器數(shù)為：L=N（1-F）=4×（1-0.998）=0.008臺(tái)機(jī)器被維修的機(jī)器數(shù)為：H=FNX=0.998×4×0.111=0.433臺(tái)機(jī)器機(jī)器閑置成本與兩個(gè)維修人員的成本顯示在表6-2中。最后一列表明，安排一名調(diào)整維修人員是最佳選擇。四、排隊(duì)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)仿真

一些排隊(duì)問(wèn)題看視簡(jiǎn)單，但真正做起來(lái)非常困難甚至不可能。前面討論了獨(dú)立條件的排隊(duì)問(wèn)題，也就是說(shuō)，無(wú)論是由單階段構(gòu)成的整個(gè)系統(tǒng)還是系列服務(wù)中的一個(gè)，它們都是獨(dú)立的，也就是當(dāng)一個(gè)服務(wù)的輸出發(fā)生在下一個(gè)服務(wù)之前，從實(shí)質(zhì)上說(shuō)，該輸出成為下一個(gè)服務(wù)的輸入。當(dāng)一系列服務(wù)依次進(jìn)行，且前一個(gè)服務(wù)的輸出率是后一個(gè)服務(wù)的輸入率時(shí)，就不能簡(jiǎn)單地運(yùn)用前面介紹的公式；另外，當(dāng)問(wèn)題不滿足前面公式規(guī)定的條件時(shí)，也不能運(yùn)用前面的公式。這時(shí)解決問(wèn)題的最好手段是——計(jì)算機(jī)仿真。為解決此問(wèn)題，考慮一個(gè)維修人員和兩個(gè)維修人員20例：兩階段裝配線

一條裝配線上所組裝的產(chǎn)品的體積是裝配線分析和設(shè)計(jì)所要考慮的重要因素。因?yàn)槊總€(gè)工作站所能存放的產(chǎn)品數(shù)量將會(huì)影響工人的工作。如果產(chǎn)品體積很大，那么相鄰的工作站存在著相互依賴的關(guān)系。如圖6-6，A和B在一個(gè)兩階段裝配線上工作，中間沒(méi)有可以存放半成品的地方，A如果干的慢，B就會(huì)被迫等待；相反如果A干得快或者說(shuō)B完成工作比A用時(shí)要長(zhǎng)，那么A就得等B。工作站1工作站2員工A員工B圖6-6一條裝配線上的兩個(gè)工作站

假設(shè)A是組裝線上的第一個(gè)工人，他能夠在任何時(shí)候拿到需要組裝的半成品進(jìn)行工作。

該問(wèn)題分析研究的重點(diǎn)就是A和B彼此間的相互影響。

研究的目標(biāo)：1）每個(gè)工人的平均完工時(shí)間是多少？2）這條組裝線的生產(chǎn)率是多少？3）A等待B的時(shí)間是多少？4）B等待A的時(shí)間是多少？5）如果兩個(gè)工作站間的空間加大，可以存儲(chǔ)半成品，從而增加工人的獨(dú)立性，那么這對(duì)于生產(chǎn)率、等待時(shí)間等問(wèn)題會(huì)有什么影響？

數(shù)據(jù)的采集：一種方法是將裝配時(shí)間分割開(kāi)，對(duì)每個(gè)工人單獨(dú)觀測(cè)，然后進(jìn)行匯總。

仿真作為一項(xiàng)分析工具，她的動(dòng)態(tài)性決定了它在定量分析方面具有很大的優(yōu)勢(shì)。而解析方法則不同，它表示的是系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)的平均結(jié)果。例：兩階段裝配線工作站1工作站2員工A員工B圖6-6一21秒工人A工人B次數(shù)次數(shù)5~14.994415~24.996525~34.9910635~44.9920745~54.99401055~64.9911865~74.995675~84.994410050表6-3工人觀測(cè)數(shù)據(jù)收集表表6-3是觀測(cè)工人A、B兩人裝配時(shí)間的數(shù)據(jù)收集表。為了簡(jiǎn)化操作，裝配時(shí)間以10秒為區(qū)間進(jìn)行劃分。對(duì)工人A觀測(cè)100次，對(duì)B觀測(cè)了50次。一般地觀測(cè)次數(shù)越多、時(shí)間間隔劃分越小，則研究的準(zhǔn)確性越高。但是投入的時(shí)間和人力就會(huì)越多，編程和仿真模型運(yùn)行的時(shí)間就會(huì)越長(zhǎng)。

隨機(jī)數(shù)區(qū)間分配表6-4是根據(jù)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的相同比率進(jìn)行分配的隨機(jī)數(shù)區(qū)間。例如，工人A在100次操作中有4次在10秒種內(nèi)完成。因此，我們用100個(gè)數(shù)進(jìn)行分配。應(yīng)該分配4個(gè)數(shù)與10秒鐘相對(duì)應(yīng)。這4個(gè)數(shù)可以是任意的4個(gè)數(shù)，例如，42、18、12和93，但是，這樣會(huì)使查找變得非常困難。所以在此，我們分配連續(xù)的數(shù)給他，比如00、01、02和03。我們得到工人B的50個(gè)觀測(cè)值。有兩種辦法分配隨機(jī)數(shù)。第一種：只用50個(gè)數(shù)（如00~49）來(lái)進(jìn)行分配，并在仿真是忽略所有超過(guò)49的數(shù)，這樣將丟棄隨機(jī)數(shù)列中50%的數(shù)，是一種浪費(fèi)。第二種：將頻率次數(shù)加倍。例如，不是將00~03分配給50次觀測(cè)中裝配時(shí)間為10秒的4次觀測(cè)，而是將00~07分配給100次觀測(cè)中的8次觀測(cè)，這樣，觀測(cè)次數(shù)加倍了但比例不變。秒工人A工人B次數(shù)次數(shù)5~14.994415~24.99622秒A的次數(shù)隨機(jī)數(shù)區(qū)間B的次數(shù)隨機(jī)數(shù)區(qū)間10400~03400~0720604~09508~17301010~19618~29402020~39730~43504040~791044~63601180~90864~7970591~95680~9180496~99492~9910050表6-4工人A和B的隨機(jī)數(shù)區(qū)間

簡(jiǎn)單仿真表6-5是工人A和B裝配10件產(chǎn)品的手工仿真結(jié)果。隨機(jī)數(shù)來(lái)自隨機(jī)數(shù)表，從二位數(shù)的第一列開(kāi)始向下取數(shù)。假定從00時(shí)間開(kāi)始，接下來(lái)以秒計(jì)算。第一個(gè)隨機(jī)數(shù)56對(duì)應(yīng)于工人A裝配第一個(gè)工作用時(shí)55秒。這個(gè)工件送給工人B，他的開(kāi)始時(shí)間是50秒。接下來(lái)的隨機(jī)數(shù)是83，根據(jù)表6-4，工人B用70秒完成了工作。同時(shí)，工人A開(kāi)始裝配下一件產(chǎn)品，從第50秒開(kāi)始用時(shí)50秒（因?yàn)榻酉聛?lái)的隨機(jī)數(shù)是55），在第100秒完成。然而，工人A無(wú)法開(kāi)始第三件產(chǎn)品的工作，因?yàn)楣と薆在第120秒才干完一件活。因此，工人A等待了20秒。（如果他們之間有存儲(chǔ)空間，工人A干完的活可以移出工作站，他在第100秒就可以干下一件活。）表6-5中其他數(shù)據(jù)可以用同樣的方法來(lái)