隱函數(shù)存在定理課件

6-8

隱函數(shù)存在定理y=f(x)形式的函數(shù)稱為顯函數(shù).由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=f(x)稱為隱函數(shù).由方程F(x,y,z)=0所確定的二元函數(shù)z=f(x,y)稱為隱函數(shù).可確定隱函數(shù)u=u(x),v=v(x)?6-8隱函數(shù)存在定理y=f(x)形式的函數(shù)稱為顯函數(shù).本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,1.一個(gè)方程的情況定理1設(shè)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義.且滿足下列條件:則在的某個(gè)鄰域內(nèi)存在一個(gè)函數(shù)y=f(x),使得且

并且內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)1.一個(gè)方程的情況定理1設(shè)在一點(diǎn)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)定理2設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù):則在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi),方程唯一確定一個(gè)隱函數(shù)滿足定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:定理2設(shè)在點(diǎn)兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則例2解法1利用公式.令則例2解法1利用公式.令則解法2利用隱函數(shù)求導(dǎo)方程兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)，得方程兩端關(guān)于y求偏導(dǎo)，得說明：利用公式法求偏導(dǎo)時(shí)，將方程F(x,y,z)=0中x,y,z視作獨(dú)立變量；利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，將z視作x,y的函數(shù)：z=z(x,y).解法2利用隱函數(shù)求導(dǎo)方程兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)，得方程兩端關(guān)例3求由方程解設(shè)u=x-y,v=y-z.為了方便起見,引入記號例3求由方程解設(shè)u=x-y,v=y-z.為了方便起見,引2.方程組的情況可確定隱函數(shù)u=u(x),v=v(x)?先介紹線性代數(shù)中的克萊姆法則二元一次方程組2.方程組的情況可確定隱函數(shù)u=u(x),v=v(x)?克萊姆法則告訴我們：二元一次方程組有惟一解u=u(x),v=v(x)

我們的問題相當(dāng)于解方程組方程組有惟一解克萊姆法則告訴我們：二元一次方程組有惟一解u=u(x),v=當(dāng)F及G是一般函數(shù)時(shí)，需要下列條件行列式稱作F,G的雅可比行列式.當(dāng)F及G是一般函數(shù)時(shí)，需要下列條件行列式稱作F,G的雅可比定理3在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一的一對可微函數(shù)使得且滿足方程組的導(dǎo)函數(shù)由下列方程組求出證明略定理3在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一的一對可微函數(shù)定理3的推廣考慮方程組：定理3的推廣考慮方程組：有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)故得同樣可得同樣可得例4由方程組能否確定u,v為x與y的函數(shù)，在能確定隱函數(shù)的條件下，求解方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得例4由方程組能否確定u,v為x與y的函數(shù)，在能確定方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得用克萊姆法則解方程組方程組兩邊對y求導(dǎo)，并移項(xiàng)得解得方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得用克萊姆法則解方程組方程組兩解以為未知數(shù)的方程組，得補(bǔ)例解

注意：明確哪些是自變量，哪些是因變量，是幾元的.解以為未知數(shù)的方程組，得補(bǔ)例解注意：內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式思考與練習(xí)設(shè)求內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)提示:

提示