【滿分秘訣】2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊期末滿分直通車必練（人教版） 全等三角形（卷2）（解析版）

【滿分秘訣】全等三角形（解析版）1．（2022春?金沙縣期末）如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△OAB：S△OBC：S△OAC的值為（）A．4：3：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】A【解答】解：∵O是△ABC三條角平分線交點，∴點O到AB、AC、BC的距離相等，設(shè)O到AB、AC、BC的距離為h，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（?h?AB）：（?h?BC）：（?h?AC）＝AB：BC：AC＝16：12：8＝4：3：2．故選：A．2．（2022春?鹽湖區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝40米，MA⊥AB于點A，MA＝20米，射線BD⊥AB于B，P點從B點向A運動，每秒走1米，Q點從B點向D運動，每秒走3米，P、Q同時從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）A．8 B．8或10 C．10 D．6或10【答案】C【解答】解：當(dāng)△APC≌△BQP時，AP＝BQ，即40﹣x＝3x，解得：x＝10；當(dāng)△APC≌△BPQ時，AP＝BP＝AB＝20米，此時所用時間x為20，AC＝BQ＝60米，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)20后，在線段MA上有一點C，使△CAP與△PBQ全等．故選：C．3．（2022春?來鳳縣期末）如圖，在正方形OABC中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（1，），則點C的坐標(biāo)是（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）【答案】C【解答】解：如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥x軸于點E，在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，∵∠AOC＝∠CDO＝90°，∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠AOE，在△OCD和△AOE中，，∴△OCD≌△AOE（AAS），∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，∴C（﹣，1）．故選：C．4．（2022春?雁塔區(qū)校級期末）在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計了以下問題給同桌解決：如圖，做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足夠長，PA⊥AB于A，QB⊥AB于點B，點M從B出發(fā)向A運動，同時點N從B出發(fā)向Q運動，使M，N運動的速度之比3：4，當(dāng)兩點運動到某一瞬間同時停止，此時在射線AP上取點C，使△ACM與△BMN全等，則線段AC的長為（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm【答案】C【解答】解：設(shè)：BM＝3xcm，則BN＝4xcm，∵∠A＝∠B＝90°，（1），當(dāng)△ACM≌△BNM時，有BM＝AM，BN＝AC，又AM+BM＝42cm，∴3x+3x＝42，∴x＝7．∴AC＝BN＝4x＝28cm；當(dāng)△ACM≌△BMN時，有AM＝BN，BM＝AC，又AM+BM＝42cm，∴4x+3x＝42，∴x＝6，∴AC＝BM＝18cm；故選：C．5．（2021秋?肥西縣期末）一個三角形的兩邊長分別為5和9，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【答案】D【解答】解：如圖，AB＝5，AC＝9，AD為BC邊的中線，延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE與△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故選：D．6．（2022春?龍華區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于點F，有下列四個結(jié)論：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④【答案】D【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝45°，∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，∵∠ADC和∠AEB不一定相等，∴∠BDC與∠BEC不確定相等；故①錯誤，∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，故④正確；過A點作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如圖，∵△ADC≌△ABE，∴AM＝AN，∴AF平分∠DFE，所以②正確．∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，∴∠BFD＝∠DAB＝90°，∴DC⊥BE，所以③正確；故正確的結(jié)論為②③④．故選：D．7．（2021秋?灤州市期末）如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四個結(jié)論中成立的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【解答】解：過E點作EF⊥AD于F，如圖，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AB＝AE，∠AEB＝∠AEF，∵點E是BC的中點，∴EC＝EB，∴EC＝EF，在Rt△DEC和Rt△DEF中，，∴Rt△DEC≌Rt△DEF（HL），∴DC＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠FDE＝∠CDE，所以②正確；∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠BEF+∠CEF∴∠AED＝90°，所以①正確；∵DE＞EC，而EC＝BE，∴DE＞BE，所以③錯誤；∵AF＝AB，DF＝DC，∴AD＝AF+DF＝AB+CD，所以④正確．故選：D．8．（2021秋?南寧期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，CD⊥AB，則CD長為；（2）如圖2，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，則△ABC的高CD與AE的比是；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），點D，P分別在邊AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分別為點E，F(xiàn)．若BC＝5，求DE+DF的值．【解答】解：（1）如圖1中，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，∴CD＝＝；故答案為：；（2）如圖2中，∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AE∴，∴2CD＝AE，∴CD：AE＝1：2；故答案為：1：2；（3）∵S△ABP＝，，，∵S△ABP＝S△ADP+S△BDP，∴，又∵BP＝AP，∴，即DE+DF＝BC＝5．9．（2022春?周村區(qū)期末）如圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點M．求證：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF；（3）連接AM，求證：MA平分∠EMF．【解答】證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）設(shè)AB與EC的交點為D，∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM，∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，∴EC⊥BF；（3）如圖，作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∵△ABF≌△AEC，∴S△AEC＝S△ABF，∴EC?AP＝BF?AQ，∵EC＝BF，∴AP＝AQ，∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴MA平分∠EMF．10．（2021秋?濟南期末）在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時，點F為∠BAC平分線上的一點，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．11．（2021秋?黔西南州期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時的速度，前進2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【解答】解：問題背景：由題意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案為：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．實際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長AE，BF相交于點C，在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此時兩艦艇之間的距離為320海里．12．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【解答】證明：（1）延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．13．（2021秋?南寧期末）如圖1，分別以△ABC的兩邊AB，AC為邊作△ABD和△ACE，使得AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．（1）求證：BE＝CD；（2）過點A分別作AF⊥CD于點F，AG⊥BE于點G，①如圖2，連接FG，請判斷△AFG的形狀，并說明理由；