高中數(shù)學(xué)必修一 函數(shù)應(yīng)用題賞析

高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)應(yīng)用題賞析函數(shù)應(yīng)用題賞析一、一次分段函數(shù)應(yīng)用題WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)按30元記費(fèi)，超過500分鐘按0.15元/分鐘記費(fèi)。假如上網(wǎng)時(shí)間過短，在1分鐘以下不記費(fèi)，1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘記費(fèi)。WAP手機(jī)上網(wǎng)不收取通話費(fèi)和漫游費(fèi)。問：(1)小周12月份用WAP手機(jī)上網(wǎng)20小時(shí)，他要付多少上網(wǎng)費(fèi)？(2)小周10月份付了90元的上網(wǎng)費(fèi)，那么他這個(gè)月可以用手機(jī)上網(wǎng)多少小時(shí)？(3)你會(huì)選擇WAP手機(jī)上網(wǎng)嗎？你是用哪一種方式上網(wǎng)的？解：設(shè)使用WAP手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間為x分鐘，由已知條件可知，當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間不超過60分鐘時(shí)，以每分鐘0.5元遞增計(jì)費(fèi)；當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過60分鐘但不超過500分鐘時(shí)，一律按30元收費(fèi)；超過500分鐘時(shí)，在30元的基礎(chǔ)上，再增加0.15元/分鐘。當(dāng)1≤x≤60，y=0.5x；當(dāng)60<x≤500，y=30；當(dāng)x>500，y=30+0.15(x-500)。(1)當(dāng)x=20×60=1,200(分鐘)時(shí)，應(yīng)將1,200代入第三段解析式，可得y=135。故小周要付135元上網(wǎng)費(fèi)。(2)90元已經(jīng)超過30元，所以上網(wǎng)時(shí)間超過500分鐘，于是由解析式可得x=900。故小周這個(gè)月可以用手機(jī)上網(wǎng)900分鐘。(3)現(xiàn)在直接用電腦上網(wǎng)一般每月60元，從圖1可以看出，當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間較短時(shí)，用手機(jī)上網(wǎng)較合算，當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，用電腦上網(wǎng)更合算。小結(jié)：這是一個(gè)有關(guān)一次分段函數(shù)的應(yīng)用題，我們首先應(yīng)根據(jù)題目的意思準(zhǔn)確地寫出函數(shù)的解析式，注意判斷自變量在分段函數(shù)的哪一段取值范圍內(nèi)是這個(gè)題的解題關(guān)鍵。其余問題一般直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的自變量、函數(shù)值或不等式問題。二、二次函數(shù)應(yīng)用題隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效。有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420，且a為偶數(shù))，每人每年可創(chuàng)利b萬(wàn)元。據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬(wàn)元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的三分之一。為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？解：設(shè)裁員x人，則可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元，于是有y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=-0.01bx^2+2abx-0.4bx。根據(jù)題意有2a-x≥2a/3，∴0<x≤2a/3。對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，得y'=-0.02bx+2ab-0.4b，令y'=0，得x=(2ab-0.4b)/0.02b=100a-20，由于0<x≤2a/3，所以100a-20≤2a/3，解得a≤2.2，取a=2。代入y中，得y=-0.01x^2+4x，當(dāng)x=20時(shí)，y取得最大值，即該公司應(yīng)該裁員20人。小結(jié)：這是一個(gè)有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用題，我們首先應(yīng)根據(jù)題目的意思準(zhǔn)確地寫出函數(shù)的解析式，然后通過求導(dǎo)數(shù)等方法找到函數(shù)的最值。注意要根據(jù)題目中的限制條件來(lái)確定自變量的取值范圍。由140<2a<420，可得70<a<210。因此，當(dāng)70<a≤140時(shí)，取x=a-70，此時(shí)y取到最大值；當(dāng)140<a<210時(shí)，取x=210-a，此時(shí)y取到最大值。綜上所述，當(dāng)70<a≤140時(shí)，應(yīng)裁員a-70人；當(dāng)140<a<210時(shí)，應(yīng)裁員210-a人。本題是一個(gè)多字母的二次函數(shù)應(yīng)用題，要求考生讀懂題目，建立數(shù)學(xué)模型，分類求解。需要搞清：為什么分類；對(duì)誰(shuí)分類；如何分類。例3通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化。設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t(分鐘)的變化規(guī)律，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知f(t)=-t^2+24t+100(小于等于10)240(大于10小于等于20)-7t+380(大于20小于等于40)(1)當(dāng)小于等于10時(shí)，f(t)=-t^2+24t+100是增函數(shù)，且f(10)=240；當(dāng)大于20小于等于40時(shí)，f(t)=-7t+380是減函數(shù)，且f(20)=240。因此，講課開始后10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘。(2)由于f(5)=195，f(25)=205，所以講課開始后25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘時(shí)更集中。(3)當(dāng)小于等于10時(shí)，由f(t)=-t^2+24t+100=180，得t=4；當(dāng)大于20小于等于40時(shí)，令f(t)=-7t^2+380=180，則t≈28.57。因此，學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間28.57-4=24.57＞24。經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目。本題是一個(gè)二次分段函數(shù)的應(yīng)用題，要求考生依據(jù)題中的條件進(jìn)行完整的分類討論。絕對(duì)值函數(shù)應(yīng)用題就不在此列舉了。格式錯(cuò)誤已被修正，刪除了明顯有問題的段落，以下是改寫后的文章：在數(shù)學(xué)中，對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)重要的概念，它在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用。下面我們來(lái)看兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題。例1：某種病毒細(xì)胞的數(shù)量隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)。已知第一次注射藥物后，經(jīng)過8天，病毒細(xì)胞的數(shù)量不能超過10個(gè)。如果每次注射藥物后，病毒細(xì)胞的數(shù)量會(huì)減少50%，那么請(qǐng)問，再經(jīng)過多少天必須注射藥物？解：設(shè)病毒細(xì)胞的初始數(shù)量為x個(gè)，經(jīng)過t天后數(shù)量為N個(gè)，則有N=x*2^(t/2)（每次注射藥物后數(shù)量減少50%相當(dāng)于每次數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半，即乘以1/2，兩次注射藥物后數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的1/4，即乘以1/2*1/2=1/4，以此類推）。由題意可得：N≤10，即x*2^(t/2)≤10，兩邊取對(duì)數(shù)得：(t/2)log2≤log10-logx，即t≤2(log10-logx)/log2。又因?yàn)槊看巫⑸渌幬锖?，需要?jīng)過6天才能使病毒細(xì)胞的數(shù)量減半，即t=6時(shí)，N=x*2^(6/2)=4x，所以經(jīng)過6天后，病毒細(xì)胞的數(shù)量為x個(gè)的一半，即2x個(gè)。因此，再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物。小結(jié)：本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的。例2：有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合。用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱其為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)。已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式：g(t)=g(0)-(p/r)*(1-e^(-rt))其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。解：當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，即g(t)=k（k為常數(shù)），代入上式得：k=g(0)-(p/r)因此，湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)為g(0)=k+p/r。(2)求證：當(dāng)g(0)<p/r時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重。解：我們易證得當(dāng)0<t1<t2時(shí)，g(t1)-g(t2)=(g(0)-p/r)*(e^(-rt1)-e^(-rt2))。因?yàn)間(0)-p/r<0，t1<t2，e^(-rt1)>e^(-rt2)，所以g(t1)<g(t2)。因此，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來(lái)越嚴(yán)重。(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？解：污染停止即p=0，g(t)=g(0)*e^(-rt)。設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平的5%，即g(t)=0.05g(0)，即e^(-rt)=0.05。因此，需要經(jīng)過t=ln(0.05)/(-r)天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%。小結(jié)：函數(shù)應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外，估測(cè)計(jì)算型和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用也是常見的。在解題過程中，我們需要結(jié)合實(shí)際情況，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。信息遷移型在數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題中也時(shí)有出現(xiàn)。這類問題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸顯了學(xué)科綜合的特色，是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線。函數(shù)應(yīng)用問題也是一個(gè)創(chuàng)新的領(lǐng)域。例如，在現(xiàn)代社會(huì)中，破譯密文的難度要求越來(lái)越高。一種加密方式是將英文明文按照兩個(gè)字母一組分組，最后不足一組的用任意字母補(bǔ)齊。然后將每組字母轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的自然數(shù)，通過一個(gè)變換公式將明文轉(zhuǎn)換為密文。具體來(lái)說，對(duì)于每組字母(x,y)，應(yīng)用以下變換公式：x'=x+2y,y'=3x+4y。最后將得到的密文轉(zhuǎn)換回字母即可。舉個(gè)例子，明文"star"可以分為"st"和"ar"兩組，對(duì)應(yīng)的自然數(shù)數(shù)組為(19,20)和(1,18)。將這兩組數(shù)組分別代入變換公式，得到(59,96)和(23,83)，再將這兩組數(shù)轉(zhuǎn)換回字母，得到密文"ggkw"。當(dāng)然，對(duì)于密文"kcwi"，我們也可以通過逆向操作，將其轉(zhuǎn)換回明文。首先將"kcwi"分為"k"、"c"、"w"、"i"四組，對(duì)應(yīng)的自然數(shù)數(shù)組為(11,2)、(2,3)、(23,9)、(9,18)。將這四組數(shù)組分別代入變換公式的逆運(yùn)算，得到