數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）4-3-1 對(duì)數(shù)的概念（學(xué)案）

4.3.1對(duì)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)(重、難點(diǎn)).2.掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程(重點(diǎn)).1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一．對(duì)數(shù)(1)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及有關(guān)概念：(2)底數(shù)a的范圍是.思考1：如何求解3x＝2?二.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)1.常用對(duì)數(shù)：通常我們將以為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為.2.自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記作.三.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)1.負(fù)數(shù)和零對(duì)數(shù).2.loga1＝(a>0，且a≠1).3.logaa＝(a>0，且a≠1).思考2：為什么零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)？四.對(duì)數(shù)恒等式1.aeq\s\up5(logaN)＝(a>0且a≠1，N>0).2.logaab＝(a>0，且a≠1)．思考3：如何推出對(duì)數(shù)恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)嗎？解讀：恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N與logaab＝b的作用1.aeq\s\up5(logaN)＝N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式．2.logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)．【小試牛刀】1.思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)logaN是loga與N的乘積．()(2)(－2)3＝－8可化為log(－2)(－8)＝3.()(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．()(4)在b＝log3(m－1)中，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．()2.若log3x＝3，則x＝()A．1B．3C．9 D．27【經(jīng)典例題】題型一指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化點(diǎn)撥：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路1.指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.2.對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.例1根據(jù)對(duì)數(shù)定義，將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：①3x＝eq\f(1,27)；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；③log16eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)；④ln10＝x.【跟蹤訓(xùn)練】1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)43＝64；(2)lna＝b；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n；(4)lg1000＝3.題型二利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求變量的值點(diǎn)撥:1.將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.2.利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.例2利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x＝－eq\f(1,2)；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.【跟蹤訓(xùn)練】2(1)求下列各式的值.①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.(2)求下列各式中x的值.①log64x＝－eq\f(2,3)；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.題型三對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用點(diǎn)撥：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的方法1.性質(zhì):loga1＝0;logaa＝1(a>0，且a≠1).2.求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．3.對(duì)數(shù)恒等式aeq\s\up5(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)，logaab＝b(a>0，且a≠1).例3求下列式子值。(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.(2)9＝________.【跟蹤訓(xùn)練】3求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1．（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A.零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)2.（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()A．與lg1＝0 B．＝與log27＝－C．log39＝2與＝3 D．log55＝1與51＝53.對(duì)數(shù)式log(a－2)(5－a)＝b中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)4.方程lg(2x－3)＝1的解為________.5.把下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b；(3)lgeq\f(1,1000)＝－3.6.計(jì)算下列各式：(1)；(2).7.若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．【課堂小結(jié)】1.對(duì)數(shù)概念的理解(1)規(guī)定a>0且a≠1.(2)由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，所以ab＝N中，N總是正數(shù)，即零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).(3)對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.2.在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算，而如果已知a和N求x的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算.【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．a(chǎn)>0，且a≠1思考1：x＝log32.二．10lg_Neln_N三．沒有01思考2：由對(duì)數(shù)的定義：ax＝N(a>0且a≠1)，則總有N>0，所以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式x＝logaN時(shí)，不存在N≤0的情況．四．Nb思考3：因?yàn)閍x＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得aeq\s\up5(logaN)＝N.【小試牛刀】1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C解析：∵log3x＝2，∴x＝32＝9.【經(jīng)典例題】例1解：①log3eq\f(1,27)＝x；②log64＝x；③16＝eq\f(1,2)；④ex＝10.【跟蹤訓(xùn)練】1解(1)因?yàn)?3＝64，所以log464＝3；(2)因?yàn)閘na＝b，所以eb＝a；(3)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m；(4)因?yàn)閘g1000＝3，所以103＝1000.例2解(1)由log2x＝－eq\f(1,2)，得2－eq\f(1,2)＝x，∴x＝eq\f(\r(2),2).(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.【跟蹤訓(xùn)練】2(1)①2②0③2解析：①設(shè)log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②設(shè)log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③設(shè)lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)解：①由log64x＝－eq\f(2,3)得；②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即；③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.例3(1)0解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.(2)4解析：9＝(9)＝3＝4.【跟蹤訓(xùn)練】3解(1)因?yàn)閘og2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】BCD解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N?x＝logaN，故B錯(cuò)誤．由定義可知CD均錯(cuò)誤．只有A正確．2.ABD解析：對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C不正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.3.D解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞0,a－2≠1,5－a＞0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜a＜5,a≠3)).故選D.4.eq\f(13,2)解析由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq\f(13,2).5.解(1)由2－3＝eq\f(1,8)可得log2eq\f(1,8)＝－3；(2)由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b得logeq\f(1