數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）2-1 第2課時(shí) 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（學(xué)案）

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)．2.能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式證明或解決范圍問題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二．不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b

a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c

b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?

_______a>b，c<0?

_______c的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?

___________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?

________同向7可乘方性a>b>0?an

bn(n∈N，n≥2)同正思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立嗎？a－c>b－d呢？思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立嗎？【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)a＝b是eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)成立的充要條件．()(2)a>b?ac2>bc2．()(3)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()(4)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．()(5)設(shè)a，b∈R，且a>b，則a3>b3.()2．已知a>b，c>d，且c，d不為0，那么下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)－c>b－d【經(jīng)典例題】題型一利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式點(diǎn)撥：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.例1已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【跟蹤訓(xùn)練】1證明不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．題型二利用不等式的性質(zhì)求取值范圍點(diǎn)撥：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略

1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍.

2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.

注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍.

例2已知30＜x＜42,16＜y＜24，分別求下列范圍.(1)x＋y;(2)x－3y;(3)eq\f(x,x－3y)．【跟蹤訓(xùn)練】2已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范圍．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下面四個(gè)不等式成立的有（）

A.|a|>|b| B.a<bC.a＋b<ab D.a3>b32.若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<13.若8<x<10，2<y<4，則eq\f(x,y)的取值范圍為________.4.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：①若a>b，則ac2>bc2；②若a<b<0，則a2>ab>b2；③若a>b，則a2>b2；④若a<b<0，則eq\f(a,b)>eq\f(b,a).其中正確命題的序號(hào)是________．5.已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.6.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq\f(a,b)的取值范圍.【課堂小結(jié)】1.知識(shí)點(diǎn)：

(1)等式的性質(zhì).

(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用.

2.方法歸納：作商比較法、乘方比較法.

3.常見誤區(qū)：注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性.

【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】<>ac>bcac>bca＋c>b＋da＋c>b＋d>思考1：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：不一定，但當(dāng)a>b>0，c>d>0時(shí)，一定成立.【小試牛刀】1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.C解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故選C.【經(jīng)典例題】例1證明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【跟蹤訓(xùn)練】1解：(1)，,(2)，,又，.例2解：(1)因?yàn)?0＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.(2)因?yàn)?0＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6.(3)因?yàn)?0＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－eq\f(1,6)＜eq\f(1,x－3y)＜－eq\f(1,42)，所以0＜eq\f(1,42)＜－eq\f(1,x－3y)＜eq\f(1,6)，所以eq\f(30,42)＜－eq\f(x,x－3y)＜eq\f(42,6)，故－eq\f(42,6)＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(30,42)，得－7＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(5,7).【跟蹤訓(xùn)練】2設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，則a＝eq\f(x＋y,2)，b＝eq\f(x－y,2)，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2)，∴－2≤eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.CD解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，A，B均不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，C正確；a3>b3，D正確.2.A解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.3.2<eq\f(x,y)<5解析：∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.4.②④解析：對(duì)于①∵c2≥0，∴只有c≠0時(shí)才成立，①不正確；對(duì)于②，a<b<0?a2>ab；a<b<0?ab>b2，∴②正確；對(duì)于③，若0>a>b，則a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正確；對(duì)于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2.又∵ab>0，∴eq\f(1,ab)>0，∴a2·eq\f(1,ab)>b2·eq\f(1,ab)，∴eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，④正確．5.證明：因?yàn)閍>b，c>0，所以ac>bc，即