彈性力學(xué)課件二四

第八章空間問題的解答8—1按位移求解空間問題8—2半空間體受重力和均布壓力8—3半空間體在邊界上受法向集中力8—4按應(yīng)力求解空間問題8—5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)8—6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬8—7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)8—8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)8—5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)例：圖示為等截面直桿（不計(jì)體力），兩端平面內(nèi)受方向相反的兩個力偶作用，取如圖所示的坐標(biāo)系，求應(yīng)力分量。xyzMMo如何計(jì)算？用半逆解法由材料力學(xué)可知，桿件橫截面上有剪應(yīng)力

zx、zy，其他應(yīng)力分量為零，即x=y=z=xy=0，體力X=Y=Z=0將上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程：（1）（2）（3）由（1）、（2）可知，

zx、

zy是x、y的函數(shù)由（3）得：或?qū)懗桑河晌⒎掷碚摽芍?，一定存在一個函數(shù)（x，y）使得：將上述表達(dá)式代入相容方程：邊界條件1、桿件側(cè)面：2、桿件端面（上端）：歸納：

等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題最終歸結(jié)為求應(yīng)力函數(shù)（x，y），使它滿足且

s=0，然后由下列公式求應(yīng)力分量：求位移分量：（將應(yīng)力分量代入物理方程）u0,v0,

x,y,z是積分常數(shù)，代表剛體位移，k也是積分常數(shù)，若不計(jì)積分常數(shù)，則如果用柱坐標(biāo)表示，則由此可得結(jié)論，每個橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉(zhuǎn)過一個角度=kz，且單位長度的扭轉(zhuǎn)角：8—6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬薄膜在均勻壓力下的撓度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的，用薄膜來比擬扭桿，有助于尋求扭轉(zhuǎn)問題的解答設(shè)有均勻薄膜，張?jiān)谝粋€水平邊界上，邊界的形狀與某扭桿橫截面的邊界形狀相同，薄膜受均布荷載作用xxzoy薄膜北在均闊布荷廳載作披用下膛，只都產(chǎn)生鬼均勻消拉力池（張貢力T）貍，其他獅內(nèi)力謝為零從薄膜中取微小單元abcd，它在xy平面上的投影是一個矩形，矩形的邊長分別為dx、dyxyoab邊的丟拉力弄：Td柜yxxyoTabcdTTTz其在z軸上的投影：cd邊的拖拉力辯：Td啞y其在z軸上的投影：xxyoTabcdTTTzad邊的早拉力版：Td脂x其在z軸上的投影：bc邊的史拉力蘭：Td祖x其在z軸上的投影：單元ab駁cd所受筋的壓堪力：q·莫dx折dy建立單元的平衡方程：在邊菜界上冒，薄烘膜的悔垂度zs=0將與比較（1聰）形式絲式相同綱（堆2）順邊界臨條件控相同所以至，當(dāng)豈薄膜店的q/祝T早=扭桿梁的2Gk時，倒薄膜陜的垂膨度z就相老當(dāng)于襲扭桿劃的應(yīng)乓力函密數(shù)

這說慚明，文當(dāng)薄揚(yáng)膜的商垂度z與扭鴨桿的描應(yīng)力須函數(shù)時址相當(dāng)疼，薄形膜與睬邊界捧平面淚之間雀體積背的兩吐倍就拌等于忙扭矩在扭桿的橫截面上，沿x方向的剪應(yīng)力：薄膜沿y方向的斜率：如何耕求扭穿桿橫溝截面束上的組最大姐剪應(yīng)程力？扭桿蜻橫截長面上議沿x方向鼓的剪莖應(yīng)力臣相當(dāng)銀于薄哀膜沿y方向拘的斜洲率，叨由于x和y軸可脊以取歐在任世意兩遷個互獄相垂畢直的努方向仁，所鴨以扭抽桿橫吵截面搭上某繳一點(diǎn)薯，沿破任意黎方向隔的應(yīng)召力，蛾等于送薄膜吊在對快于點(diǎn)灰，沿策垂直畫方向貨的的稈斜率只須下求出搜對應(yīng)襖薄膜彩的最點(diǎn)大斜擊率，宅但要抓注意背，最渣大剪娃應(yīng)力槽與最胸大斜貝率所老在的昂點(diǎn)相戴對應(yīng)倦，方獄向相惑互垂爹直8—彎7伯橢圓率截面咱桿的判扭轉(zhuǎn)xyabBAo如圖所示，橫截面為橢圓邊界的等截面柱，橢圓的半軸為a，b因?yàn)闄E圓的方程為：而應(yīng)力函數(shù)在邊界上的值為零，所以，可設(shè)：應(yīng)力指函數(shù)暢應(yīng)滿松足三敏個條懶件：將應(yīng)力函數(shù)代入當(dāng)m等于飄此式寨時，搶應(yīng)力潔函數(shù)壇滿足榮基本畏方程將的表達(dá)式代入其中最后喝求得畝：應(yīng)力顫函數(shù)讀：此時笨，應(yīng)豎力函換數(shù)滿役足所必有條孕件應(yīng)力分量如下：全應(yīng)力：用薄儲膜比卡擬的油方法肉計(jì)算集最大劑應(yīng)力假想番一張皆薄膜調(diào)張?jiān)诩?xì)圖示少橢圓怎上，磁并受縣氣體駛壓力懇作用陳，由遲于薄租膜的韻最大夜斜率爺發(fā)生發(fā)在A、福B點(diǎn)，體且方它向垂屯直與廢邊界罪，所火以可需知，資扭桿鬧橫截皮面上伯的最嘉大剪截應(yīng)力排也發(fā)聰生在A、玻B點(diǎn)，黃但方鍵向與到邊界猴平行鋤，將A、園B點(diǎn)的經(jīng)坐標(biāo)侍（0韻，b）或（核0，閘-b）代入懇剪應(yīng)庫力表逼達(dá)式泊：xyabBAo當(dāng)a=告b時，杏應(yīng)力灶解答狹與材餡料力瘦學(xué)中敘完全茂相同如何香求變爽形和粉位移親？單位長度扭轉(zhuǎn)角：位移分量：求w：積分喜后得聯(lián)：

0為z方向銳的剛添體位劍移，聚若不浩計(jì)剛擇體位鍋移，每則此式托表明炸，扭稱轉(zhuǎn)時槍，桿復(fù)件的給橫截領(lǐng)面并冬不保事持為俊平面柄，只克有當(dāng)a=生b時，景才有w=傷0，橫截浴面才米保持招為平畝面8—收8玻矩形吊截面琴桿的肝扭轉(zhuǎn)xyoa/2a/2b/2b/2如圖所示，矩形截面桿，邊長a，b討論狹長矩形

ab

由薄膜比擬，可知可以糕推斷薄，應(yīng)飾力函蒙數(shù)姻在絕怨大部瘋分橫寬截面糞上幾咽乎與x無關(guān)拼，因算為對御應(yīng)的考薄膜兆幾乎億不受黑短邊哲的約破束，針近似悼于柱雙面即

邊界條件：將的表達(dá)式代入位移者分量尚如下置：求最皮大剪合應(yīng)力由薄濃膜比耀擬可酸以推勿斷出筆，最迅大剪清應(yīng)力棕發(fā)生紐奉在矩橫形截習(xí)面的補(bǔ)長邊援上（y=殘-b賀/2摸；y鳥=b法/2詠），其大員?。簡挝婚L度的扭轉(zhuǎn)角：對任妨意矩景形桿淚（橫川截面并的邊警長比娃值a/旁b為任蝦意值雖），火通過錫分析賓，可忍以將轟上述版公式披進(jìn)行毯修正帆：其中押，矩和1只與干比值a/雜b有關(guān)類，其躲數(shù)值贈看P1品98表對狹吸長矩療形截每面桿遼，譯和1取1索/3很多鍛薄璧關(guān)桿的斃橫截或面，堆是由博若干免等寬蛋的狹功長矩滋形組叮成的景，有乘直的響，有拒彎的纖，如此圖所投示：由薄懼膜比忍擬可謙知，蓬如果豬一個盲直的物狹長貨矩形世和彎等的狹價長矩玻形具慈有相礎(chǔ)同的賠長度a和寬健度，筍則當(dāng)饑這兩榆個狹累長矩徒形上傭的薄乖膜具喝有相龜同的閃張T并受叨相同系的壓蒼力q時，托兩個跪薄膜媽的體區(qū)積V和斜路率i將沒性有多業(yè)大的嚼區(qū)別必，因怕此一符個彎切的狹依矩形渾截面層可以晴用同詠寬，倍同長射的直調(diào)的狹岡矩形近截面孔來代仆替，呈而不映致引副起多獅大的畜誤差如何具求薄茶璧桿刊的應(yīng)姐力？用ai和bi代表頁扭桿短中第i個狹謝長矩和形的與長和抗寬，Mi代表析該矩?fù)屝紊羡E承受塊的扭揚(yáng)矩（炊整個陶橫截忽面上總扭矩洪的一澆部分輕），晶

i代表宅矩形扣長邊磚中點(diǎn)圍附近象的剪匯應(yīng)力然，k代表慨扭桿皂的扭煮角這些枕公式滔是近萄似的稈，因胸為沒途有考皺慮到連兩個冊矩形電的過固渡和鑰連接點(diǎn)的影積響本章痰小結(jié)本章水對空憤間問址題基雜本方判程的掌求解毛方法件作了驅(qū)歸納滑，對濱一些懸典型義的彈缺性力常學(xué)空唉間問堅(jiān)題進(jìn)圍行了塞求解嫌分析挑，學(xué)擺習(xí)這兵部分捎，要宇求掌脆握一劣些幾粥點(diǎn)：（1首）受徑荷載向作用俯的彈口性體幸中，振其應(yīng)怪力、幼應(yīng)變肺和位經(jīng)移均智是坐熊標(biāo)的莫連續(xù)懼函數(shù)暢，若窯能求飲出物挨體內(nèi)男的應(yīng)暫力函設(shè)數(shù)和癥位移爛函數(shù)銹，就臺能得座到物探體中冰任一達(dá)點(diǎn)的茅應(yīng)力穩(wěn)、應(yīng)長變和繡位移（2林）求部物體持內(nèi)的蟻6個哲應(yīng)力枯分量跪、6勵個應(yīng)視變分隸量和療3個渴位移西分量攏，有星15題個基能本方罰程：啊平衡