多角度幫你解決圓錐曲線中的問題

精品文檔-下載后可編輯多角度幫你解決圓錐曲線中的問題圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，這部分內(nèi)容的特點是：（1）曲線與方程的基礎知識要求很高，要求熟練掌握并能靈活應用；（2）綜合性強，在解題中幾乎處處涉及函數(shù)與方程、不等式、三角及直線等內(nèi)容，體現(xiàn)了對各種能力的綜合要求；（3）計算量大，要求同學們有較高的計算水平和較強的計算能力。

【例1】(選修21，P32，第5題改編)設橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，如果橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，求離心率e的取值范圍.

分析本題考慮的角度有很多種?；镜乃枷脒€是尋找a,b,c之間的關系。

解解法1：利用曲線范圍

設P（x，y），又知F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），

則F1P=(x+c，y)，F(xiàn)2P=(x－c，y).

由∠F1PF2=90°，知F1PF2P，

則F1PF2P=0,

即（x+c）(x-c)+y2=0,

得x2+y2=c2.

將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得

x2=a2c2－a2b2a2－b2,

但由橢圓范圍及∠F1PF2=90°,

知0≤x2

即0≤a2c2－a2b2a2－b2

可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2

從而得e=ca≥22，且e=ca

所以e∈22，1.

解法2：利用二次方程有實根

由橢圓定義知

|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.

又由∠F1PF2=90°，知

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

則可得|PF1||PF2|=2(a2－c2).

這樣|PF1|與|PF2|是方程x2－2ax+2(a2－c2)=0的兩個實根，

因此Δ=4a2－8(a2－c2)≥0e2=c2a2≥12

e≥22,

因此e∈22，1.

解法3：利用三角函數(shù)有界性

記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由正弦定理有

|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin90°

|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，則有

e=ca=1sinα+sinβ=1sinα+cosα=12sinα+π4，

而π4

知22

1

從而可得22≤e

解法4：利用焦半徑

由焦半徑公式得

|PF1|=a+ex，|PF2|=a－ex，

又由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以有

a2+2cx+e2x2+a2－2cx+e2x2=4c2，

即a2+e2x2=2c2，x2=2c2－a2e2，

又點P（x，y）在橢圓上，且x≠±a，

則知0≤x2

得e∈22，1.

解法5：利用基本不等式

由橢圓定義，有2a=|PF1|+|PF2|平方后得4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|

≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，

得c2a2≥12，所以有e∈22，1.

解法6：巧用圖形的幾何特性

由∠F1PF2=90°，知點P在以|F1F2|=2c為直徑的圓上.

又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P，

故有c≥bc2≥b2=a2－c2，

由此可得e∈22，1.

解法7：利用∠F1PF2的范圍

設點B為橢圓的上頂點，則∠F1BF2的范圍為π2,π，

所以∠OBF2的范圍為π4,π2，

e=sin∠OBF2∈22,1.

點撥1.直接求出a,c或求出a與b的比值，以求解e；

2.構造a,c的齊次式，解出e；

3.尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。

牛刀小試

1.(選修21，P33，第6題改編)設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是.

2.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且F1MF2M=0,求離心率e的取值范圍.

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1,A2,B1,B2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為.

【參考答案】

1.先求出P的坐標，然后由F1PF2為等腰直角三角形，求出離心率為2－1.