大二概率論第一章2節(jié)

直觀定義

——事件A

出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計(jì)方法

——事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)下 出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典方法；幾何方法.§1.2

概率的定義及其確定方法1.1.7

事件域設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的子集組成的集合類，若F

滿足以下三點(diǎn),則稱F

為事件域Ω?

F

;若

A?

F

，則

?

F

;若

An?

F

，n=1,

2,

…,

則

?

F

.非負(fù)性公理：P(A)?0;正則性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義從n

個(gè)元素中任取r

個(gè)，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!

=

1.重復(fù)排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式組

合組合：重復(fù)組合：加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2

種方法，依次類推，第n步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.1.2.3

確定概率的頻率方法隨機(jī)試驗(yàn)可大量重復(fù)進(jìn)行.進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，記n(A)為事件A的頻數(shù)， 稱 為事件A的頻率.頻率fn(A)會(huì)穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.古典方法 設(shè)

W

為樣本空間，若①

W

只含有限個(gè)樣本點(diǎn);②

每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)/樣本點(diǎn)總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法常見(jiàn)模型(1)

——不返回抽樣此模型又稱超幾何模型. N

個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N-M個(gè)合格品.(口袋中有M

個(gè)白球，N-M

個(gè)黑球)從中不返回任取n個(gè),則此n個(gè)中有m個(gè)不合格 品的概率為：n

￡

N, m

￡

M,n-m￡N-M.N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N-M個(gè)合格品. 從中有返回地任取n

個(gè).則此n

個(gè)中有m

個(gè)不合格品的概率為：常見(jiàn)模型(2)——返回抽樣條件：

m

￡

n

,即

m

=

0,

1,

2,

……,

n.例題1．某校數(shù)學(xué)考試時(shí)有四道選擇題，每題附有4個(gè)答案，其中只有一個(gè)正確。一個(gè)考生隨意地選擇每題答案，則他答對(duì)三道題的概率為。（注：用分?jǐn)?shù)表示）2．某商店隨機(jī)選取三個(gè)顧客，則至少有兩。人生日月份相同的概率為(注：用分?jǐn)?shù)表示)17723

64

購(gòu)買：從01，……，35

中選7個(gè)號(hào)碼.開(kāi)獎(jiǎng)：7個(gè)基本號(hào)碼，1個(gè)特殊號(hào)碼.彩票問(wèn)題——幸運(yùn)35選7中獎(jiǎng)規(guī)則7個(gè)基本號(hào)碼6個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼6個(gè)基本號(hào)碼5個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼5個(gè)基本號(hào)碼4個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼4個(gè)基本號(hào)碼，或3個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼中獎(jiǎng)概率：W

中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)將35個(gè)號(hào)分成三類：7個(gè)基本號(hào)碼、1個(gè)特殊號(hào)碼、27個(gè)無(wú)用號(hào)碼記pi

為中i

等獎(jiǎng)的概率。利用抽樣模型得：中獎(jiǎng)概率如下：不中獎(jiǎng)的概率為：p0=1-p1-p2-p3-p4-p5-p6

-p7n

個(gè)不同球放入N

個(gè)不同的盒子中.每個(gè)盒子中所放球數(shù)不限.指定的n

個(gè)盒子中各有一球的概率A

(n￡N)求恰有n

個(gè)盒子中各有一球的概率B

(n￡N)常見(jiàn)模型(3)

——盒子模型求n

個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率.看成n

個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中.P(至少兩人生日相同)=1-P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問(wèn)題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.99221.2.5

確定概率的幾何方法若 ①

樣本空間W

充滿某個(gè)區(qū)域，其度量(長(zhǎng)度、面 積、體積)為SW

；②落在W

中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無(wú)關(guān)(等可能的).則事件A的概率為:

P(A)=

SA

/SW幾何方法的例子求兩人能會(huì)面的概率。會(huì)面問(wèn)題例1.2.8 甲乙兩人約定在下午6時(shí)到7時(shí)之間在某地會(huì)面，并約定先到者等候另一人20min，過(guò)時(shí)即可離去。20206060yx例1.2.3平面上畫(huà)有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問(wèn)題蒲豐投針問(wèn)題(續(xù)1)解：以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以j表示針與此直線間的交角.易知樣本空間W

滿足：0

￡

x

￡

d/2;0

￡

j

￡p.W

形成x-j平面上的一個(gè)矩形，其面積為：SW

=

（d

/2）p.蒲豐投針問(wèn)題(續(xù)2)A

=“針與平行線相交”的充要條件是:x￡（

l

/2）

sin

j.針是任意投擲的，所以這個(gè)問(wèn)題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問(wèn)題知：長(zhǎng)為l的針與平行線相交 的概率為:

2l/dp.而實(shí)際去做N次試驗(yàn)，得n次針與平行線相 交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：p?2lN/dn.歷史上有一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).p

的隨機(jī)模擬n

個(gè)人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個(gè)位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個(gè)人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.