第20講 雙變量不等式

第20講導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題整理：浙江寧波賴慶龍一、問題綜述 函數(shù)中雙變量的問題主要有以下的類型：1）任意（或存在），(或，或)； 2）任意（或存在），(或) 3）是函數(shù)的零點(diǎn)或極值點(diǎn)，求等類型的取值范圍； 4）是函數(shù)的零點(diǎn)或極值點(diǎn)，證明：等類型．二、典例分析策略一：轉(zhuǎn)換為最值（一）雙變量雙函數(shù)的不等式型：；；；；【例1】設(shè)．如果對(duì)于任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】對(duì)于任意的,都有成立等價(jià)于．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以恒成立，即恒成立，記，則且，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以．【例2】已知函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使得,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】對(duì)任意,總存在,使得，只需．對(duì)于，可得，則．對(duì)于，．（1）當(dāng)時(shí)，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，故；（2）當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即，令，則，則單調(diào)遞增，，因此恒成立，綜上：a的取值范圍是．【例3】設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)．若在上存在,使成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】在上存在,使成立等價(jià)于，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得．（二）雙變量單函數(shù)的絕對(duì)值不等式型對(duì)任意的；存在；；對(duì)任意，存在．【例4】設(shè)函數(shù)．若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．【解析】因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意，都有等價(jià)于，即①，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即①式成立；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；綜上：m的取值范圍是．（三）雙變量雙函數(shù)的絕對(duì)值不等式型且或且或且或【例5】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍．【解析】（1）∵∴由題意得：，即∴且令得∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)∴，即故與的關(guān)系式為．當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,∴在上的值域?yàn)椋字谏鲜窃龊瘮?shù),∴在上的值域?yàn)椋捎冢帧咭嬖?，使得成立，∴必需且只需解?．所以，的取值范圍為．（四）雙變量雙函數(shù)的等式型，使得，則值域是值域的子集；，使得，則值域與值域的交集非空．【例6】已知函數(shù),若存在使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】存在使得成立,即值域交集非空．當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，所以的值域?yàn)?，而?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋C上所述，的值域?yàn)椋驗(yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?，由值域交集非空，故或，解得．策略二、雙變單——消元減元策略【例7】（2009全國II理21）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．（1）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（2）證明：．．【解析】（1），令，其對(duì)稱軸為．由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得,當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)．（2）由（1）知，且，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，故．【例8】(2018·撫順一模)已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍;（2）設(shè)()是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由題意知在上恒成立，分離參數(shù)有，而在上單調(diào)遞減，所以．（2），則，即有兩個(gè)不等正實(shí)根，則，解得．，其中令 ，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，在遞減，故．所以成立．【例9】設(shè)函數(shù)其中．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域有極值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）．①當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí),則,即，所以在上單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩根為，則則在，上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減．④當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩根為，則，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減．當(dāng)，在上單調(diào)遞增．當(dāng)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，其中，且則設(shè)則由，得，即，，又得設(shè)，在區(qū)間上為減函數(shù)，即故得取值范圍【例10】已知．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的所有零點(diǎn);（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．【解析】（1）當(dāng)時(shí),,因?yàn)?令,則,所以在上遞增,又,所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)1,即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)1．（2）在上有兩個(gè)不等實(shí)根,且,即,,所以由,得,由得．即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以．由得又,所以,即令,則．要證等價(jià)于證明,即只需要證:令,則所以在上遞增,所以,即．策略三、假雙變量——同構(gòu)式策略【例11】已知函數(shù)．（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值；（2）若任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），由題意知，解得．故，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．（2）由題意知任意，，都有，即．可構(gòu)造函數(shù)，則有任意，，都有．當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則在上恒成立，即在上恒成立．令，則，所以單調(diào)遞減，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．同理，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、鞏固練習(xí)1．若函數(shù)滿足:對(duì)于任意的都有恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．2．已知函數(shù),對(duì)任意,存在,使得,則的最小值為_____________．3．已知函數(shù),若對(duì)任意的,總存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．4．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，都有．5．已知函數(shù)的圖象為曲線,函數(shù)的圖象為直線．（1）當(dāng)時(shí),求的最大值;（2）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,且,求證:．6．已知常數(shù)，函數(shù)．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．7．（2018·寧波一模）已知函數(shù)．（1）若方程只有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）設(shè)函數(shù),若對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．(2018浙江T22)已知函數(shù)，若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：．9．已知函數(shù)．（1）設(shè),試討論單調(diào)性;（2）設(shè),當(dāng)時(shí),若,存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．(全國卷=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI理21)已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．11．設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證13．（1905寧波十校）已知函數(shù)，．（1）若直線是曲線的切線，求的最大值；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，且，求的取值范圍．14．已知函數(shù),．（1）若在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí),設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,求的最小值．四、鞏固練習(xí)參考答案1．若函數(shù)滿足:對(duì)于任意的都有恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】．【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí),在時(shí),,即函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),所以,所以,得,又,所以或．當(dāng)時(shí),由導(dǎo)函數(shù)知,函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù)．所以若,符合;若也符合,所以時(shí)對(duì)于任意的都有恒成立．綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．已知函數(shù),對(duì)任意,存在,使得,則的最小值為_____________．【答案】．【解析】令,則(顯然)．所以,所以,令,則,故在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．所以,即的最小值為．3．已知函數(shù),若對(duì)任意的,總存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】或．【解析】由得對(duì)任意都成立,所以在上單調(diào)遞減,所以．因?yàn)?當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以根據(jù)題意,得,即,所以．當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,所以根據(jù)題意,得,即,所以．綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是或4．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，都有．【解析】（1）由題有定義域?yàn)?，且，由題意知恒成立,即恒成立，設(shè)()，，易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在遞增，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）有時(shí)，單調(diào)遞減，則，有，即有，即，所以，構(gòu)造函數(shù)()，則，所以在遞減，故，則有，令，即有，所以有．5．已知函數(shù)的圖象為曲線,函數(shù)的圖象為直線．（1）當(dāng)時(shí),求的最大值;（2）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,且,求證:．【解析】（1）因?yàn)?，所以，，且，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．（2）不妨設(shè)，要證，只需證，只需證，只需證，即證因?yàn)椋?，即，即令只需證，令在單調(diào)遞增所以在單調(diào)遞增，即，所以．6．已知常數(shù)，函數(shù)．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．【解析】由題有定義域，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，無極值點(diǎn)，因此必有．此時(shí)兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，．其中，解得．令，其中，則，則，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意．綜上：．7．（2018·寧波一模）已知函數(shù)．（1）若方程只有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）設(shè)函數(shù),若對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由已知得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增．故．又當(dāng)時(shí),,且(對(duì)足夠小的x),當(dāng)時(shí),,故所求的取值范圍是．（2）由（1）知．所以對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,等價(jià)于（*）．①當(dāng)時(shí),與（*）式矛盾,故不符合題意．②當(dāng)時(shí),若,則,若,則,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．故,所以．綜合①②知,實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．(2018浙江T22)已知函數(shù)，若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：．【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由得，因?yàn)?，所以．由基本不等式得．因?yàn)?，所以．由題意得．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即．9．已知函數(shù)．（1）設(shè),試討論單調(diào)性;（2）設(shè),當(dāng)時(shí),若,存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?所以,令,可得,．①當(dāng)時(shí),由可得,故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)．同樣可得在和上是減函數(shù)．②當(dāng)時(shí),恒成立,故此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)．③當(dāng)時(shí),由可得,故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù),在和上是減函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí),由（1）可知在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以對(duì)任意的,有,由條件存在,使,所以,即存在,使得,即在時(shí)有解,即在時(shí)有解,由于為減函數(shù),故其值域?yàn)?從而,即有,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是．

10．(全國卷=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI理21)已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減．（ii）若，令得，或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于，所以等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，．所以，即．11．設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）．當(dāng)時(shí)，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，，即．因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即，又，所以．因?yàn)椋?，所以?2．已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證【解析】（1）,即在上恒成立設(shè)，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最大值．，所以．（2）當(dāng)時(shí)，,，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．因?yàn)?，所以即?同理．所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)．又,所以所以所以：．13．（1905寧波十校）已知函數(shù)，．（1）若直線是曲線的切線，求的最大值；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，且，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)槭乔€的切線即，故，因?yàn)椋?，故，所以，即，所以單調(diào)遞減，故，綜上，的最大值是0．