2017年考研數(shù)二真題及答案

2017年考研數(shù)二真題及答案2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）考生注意事項：1.在試題冊和答題卡上填寫個人信息，涂寫考生編號信息點。2.粘貼試卷條形碼，確保評卷結(jié)果準(zhǔn)確。3.選擇題在答題卡上涂寫，非選擇題在答題卡規(guī)定位置書寫，不得在草稿紙或試題冊上作答。4.字跡工整、筆跡清楚，填寫部分使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，涂寫部分使用2B鉛筆。5.考試結(jié)束后，將答題卡和試題冊一并交回。選擇題：1.函數(shù)$f(x)=\begin{cases}1-cosx,&x>\pi\\ax+b,&x\leq\pi\end{cases}$在$x=\pi$處連續(xù)，則$ab=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.2D.02.設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)$f(x)$滿足$f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1$且$f(x)>0$，則（）A.$\int_{-1}^{1}f(x)dx>\int_{-1}^{0}f(x)dx$B.$\int_{-1}^{1}f(x)dx<\int_{-1}^{0}f(x)dx$C.$\int_{-1}^{1}f(x)dx>\int_{0}^{1}f(x)dx$D.$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx$3.設(shè)數(shù)列$\{x_n\}$收斂，則（）A.$\lim_{n\to\infty}\sinx_n=0$時，$\lim_{n\to\infty}x_n=$B.$\lim_{n\to\infty}(x_n+x_{n^2})=$時，$\lim_{n\to\infty}x_n=$C.$\lim_{n\to\infty}(x_n^2+x_n)=$時，$\lim_{n\to\infty}x_n=$D.$\lim_{n\to\infty}(x_n+\sinx_n)=$時，$\lim_{n\to\infty}x_n=$4.微分方程的特解可設(shè)為（）A.$Ae^{2x}+xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)$B.$Axe^{2x}+e^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)$C.$Ae^{x}+xe^{x}(B\cos2x+C\sin2x)$D.$Axe^{x}+e^{x}(B\cos2x+C\sin2x)$(5)設(shè)$f(x,y)$具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的$(x,y)$，都有$\frac{\partialf(x,y)}{\partialx}>0$，$\frac{\partialf(x,y)}{\partialy}>0$，則：(A)$f(0,0)>f(1,1)$(B)$f(0,0)<f(1,1)$(C)$f(0,1)>f(1,0)$(D)$f(0,1)<f(1,0)$(6)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實線表示甲的速度曲線$v=v_1(t)$（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線$v=v_2(t)$，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為$t$（單位：s），則：(A)$t=10$(B)$15<t<20$(C)$t=25$(D)$t>25$(7)設(shè)$A$為三階矩陣，$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$為可逆矩陣，使得$PAP'$，則$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$=______。(A)$\alpha_1+\alpha_2$(B)$\alpha_2+2\alpha_3$(C)$\alpha_2+\alpha_3$(D)$\alpha_1+2\alpha_2$(8)設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$，則：(A)$A$與$C$相似，$B$與$C$相似(B)$A$與$C$相似，$B$與$C$不相似(C)$A$與$C$不相似，$B$與$C$相似(D)$A$與$C$不相似，$B$與$C$不相似(9)曲線$y=x\frac{1+\arcsin\frac{2}{x}}{2}$的斜漸近線方程為_______。(10)設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由參數(shù)方程$\begin{cases}x=t+e^t\\y=\sint\end{cases}$確定，則$\frac{d^2y}{dx^2}$$=$_______。(11)$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(1+x)}{2(1+x)}dx$$=$_______。(12)設(shè)函數(shù)$f(x,y)$具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且$df(x,y)=ydx+x(1+y)dy$，$f(0,0)=0$，則$f(x,y)$$=$_______。(13)$\iint_D\frac{1}{\tanx}dxdy$，其中$D$由直線$y=x$，$y=2x$，$y=0$圍成，面積為_______。(14)設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\a&1\end{pmatrix}$的一個特征向量為$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，則$a=$_______。(15)設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，$g(x)$在$[a,b]$上可導(dǎo)，$g(a)=g(b)=0$，證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_{a}^f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^g(x)dx$。證明：由于$g(x)$在$[a,b]$上可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在$\xi_1\in(a,b)$，使得：$$\int_{a}^f(x)g(x)dx=f(\xi_1)\int_{a}^g(x)dx$$又因為$g(a)=g(b)=0$，所以$\int_{a}^g(x)dx=0$，于是上式化為：$$\int_{a}^f(x)g(x)dx=0$$由于$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，所以$f(x)$在$[a,b]$上必定存在最大值$M$和最小值$m$，即$m\leqf(x)\leqM$，于是有：$$m\int_{a}^g(x)dx\leq\int_{a}^f(x)g(x)dx\leqM\int_{a}^g(x)dx$$因為$\int_{a}^g(x)dx=0$，所以$m\int_{a}^g(x)dx=0$，$M\int_{a}^g(x)dx=0$，所以：$$0\leq\int_{a}^f(x)g(x)dx\leq0$$即：$$\int_{a}^f(x)g(x)dx=0$$考慮函數(shù)$h(t)=\int_{a}^{t}f(x)g(x)dx$，則$h(a)=h(b)=0$。由羅爾定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$h'(\xi)=0$，即：$$f(\xi)g(\xi)=0$$因為$g(\xi)=0$不滿足題意，所以$f(\xi)=0$，于是有：$$\int_{a}^f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^g(x)dx=0$$綜上所述，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_{a}^f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^g(x)dx$。3.【答案】D【解析】根據(jù)特值法，取$x_n=\pi$，則$\lim\limits_{n\to\infty}\sinx_n=0$，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\pi$，因此排除選項A；取$x_n=-1$，排除選項B、C。所以選D。4.【答案】A【解析】根據(jù)特征方程求出特征值$\lambda_1=2+2i$，$\lambda_2=2-2i$，對應(yīng)的特征向量分別為$(1,-i)^T$，$(1,i)^T$。對于非齊次方程，我們可以先求出對應(yīng)齊次方程的通解$y_1=Ae^{2x}$，$y_2=x(B\cos2x+C\sin2x)$。因為$2x$是非齊次方程的一個特解，所以通解為$y=y_1+y_2=Ae^{2x}+xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)$。選項中只有C符合這個表達(dá)式。5.【答案】C【解析】根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，可以得出$f(x,y)$是關(guān)于$x$的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于$y$的單調(diào)遞減函數(shù)。因此$f(0,1)<f(1,1)<f(1,0)$，所以選C。6.【答案】B【解析】甲的位移為$\int_0^tv_1(t)dt$，乙的位移為$\int_0^tv_2(t)dt$。當(dāng)乙追上甲時，$\int_0^{25}v_2(t)dt-\int_0^{25}v_1(t)dt=10$。因此選B。7.【答案】B【解析】根據(jù)矩陣相似的定義，$P^{-1}AP$的特征值與$A$相同。因此，如果$A$有特征值相同的情況，$P^{-1}AP$也會有特征值相同。根據(jù)$P^{-1}AP$的形式可以得到$A$的特征值為$\alpha$，$\alpha$，$\alpha$。因此選B。8.【答案】B【解析】根據(jù)$A$和$B$的特征值可以得到它們的相似標(biāo)準(zhǔn)型為$\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，因此它們相似。但是$C$的特征值為$2$，$2$，$-1$，因此不能相似于$B$。因此選B。9.【答案】$y=x+2$【解析】$\lim\limits_{x\to\infty}\arcsinx=\dfrac{\pi}{2}$，因此$\lim\limits_{x\to\infty}y=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\arcsinx)=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\arcsin(x-\pi+\pi))=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\arcsin(-x+\pi))=1+\lim\limits_{x\to\infty}\arcsin(-x+\pi)=1+\dfrac{\pi}{2}=y_0$。因此$y-y_0=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$，代入$x=0$，$y=1$，$x_1=1$，$y_1=3$，$x_2=2$，$y_2=4$，可得$y=x+2$。10.【答案】$-$【解析】根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{\cost}{1+e^t}$。因此$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac2n6qo4v{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{dt}{dx}=\dfracfrs2xx2{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{1}{1+e^t}=-\dfrac{\sint}{(1+e^t)^2}$。將$t=0$代入可得$\dfrac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0}=-\dfrac{1}{4}$。因此選$-$。11.【答案】1【解析】根據(jù)分部積分公式，$\int_0^\infty\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\left[\dfrac{\ln(1+x)}{2}\arctanx\right]_0^\infty-\int_0^\infty\dfrac{\arctanx}{1+x}dx$。因為$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\arctanx}{1+x}=0$，所以第二項收斂。而第一項的極限為$\dfrac{\pi}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{8}$。因此選1。1.$\int_{0}^{1}\frac{1}{x(1+x)}dx=ln(\frac{1+x}{x})|_{0}^{1}=ln2$。2.$y'=xye^{y}$，$y(0)=1$。解得$y=ln(\frac{1}{1-x})$。3.$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{cos\theta}r^{3}sin\thetadrd\theta=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}cos^{4}\thetad\theta=\frac{3}{32}\pi$。4.$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x^{2}+y^{2}}dzdydx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x^{2}+y^{2})dydx=\frac{1}{3}$。5.$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{2}sin\thetacos^{2}\thetadrd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}sin2\thetad\theta=\frac{1}{4}$。6.$I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}e^{x+y}dydx=\int_{0}^{1}e^{x}(e^{1}-e^{x})dx=e(e-2)$。7.$I=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}e^{y^{2}}dydx=\int_{0}^{1}(e-e^{x})dx=(1-e+\frac{1}{2}e^{-1})$。8.$I=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{x}e^{y^{2}}dydx+\int_{1}^{e}\int_{\sqrt{lny}}^{lny}e^{y}dydx=\frac{1}{2}(e-1)+\frac{1}{2}(e-1)^{2}$。9.$I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}e^{\frac{x}{y-x}}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{\frac{x}{y-x}}dydx=-\int_{0}^{1}\int_{1}^{\frac{x}{x-y}}\frac{e^{u}}{(u+1)^{2}}dudx=2-\frac{3}{e}$。10.$I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}y^{2}dydx=\frac{1}{30}$。11.$f(x,y)=\int_{0}^{x}\frac{1}{2(1+t)}dt$，$f_{x}(x,y)=\frac{1}{2(1+x)}$，$f_{y}(x,y)=\frac{xe^{y}}{2(1+x)}$，$f(x,y)=xye^{y}$。13.