中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練(一)：方位角

中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練(一)：方位角1、一艘漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險(xiǎn)，測得海島A與B的距離為20海里。漁船將險(xiǎn)情報(bào)告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向向海島C靠近。同時(shí)，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行。20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船。求救援船航行的速度。解析：首先，根據(jù)題意可知救援船與漁船在海島C處相遇，故救援船從A到C的距離等于漁船從B到C的距離，即AC=BC=20海里。又因?yàn)榫仍瑥腁出發(fā)沿南偏西10°方向勻速航行，可知救援船的航向角為(180-10)°=170°。設(shè)救援船的航速為v，則有：v*cos170°=20/(20/60)=72解得v=303海里/小時(shí)，故選D。2、株洲市的行政區(qū)域平面地圖如圖所示，下列關(guān)于方位的說法正確的是：A.炎陵位于株洲市區(qū)南偏東約35°的方向上B.醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上C.株洲縣位于茶陵的北偏西約40°的方向上D.株洲市區(qū)位于攸縣的北偏西約21°的方向上解析：根據(jù)圖中坐標(biāo)可知，炎陵在株洲市區(qū)南偏東約35°的方向上，醴陵在攸縣的北偏東約16°的方向上，株洲縣在茶陵的南偏東約40°的方向上，株洲市區(qū)在攸縣的北偏西約21°的方向上。故選C。3、如圖1，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為：A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里解析：根據(jù)題意可知，MN=40*2=80，又因?yàn)椤螹=70°，∠N=40°，所以∠MPN=70°，從而NP=NM=80。故選D。4、A、B兩市相距150千米，分別從A、B處測得國家級風(fēng)景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風(fēng)景區(qū)區(qū)域是以C為圓心，45千米為半徑的圓，tanα=1.627，tanβ=1.373。為了開發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計(jì)修建連接AB兩市的高速公路。問連接AB高速公路是否穿過風(fēng)景區(qū)，請說明理由。解析：根據(jù)題意可知，連接AB高速公路是否穿過風(fēng)景區(qū)取決于點(diǎn)C是否在線段AB的一側(cè)。由于tanα=1.627>1，tanβ=1.373<1，故可知∠ABC為銳角，從而可知點(diǎn)C在線段AB的一側(cè)，即連接AB高速公路不會(huì)穿過風(fēng)景區(qū)。（2）分別計(jì)算船A和船B到達(dá)點(diǎn)P所需的時(shí)間，比較大小即可判斷哪艘船先到達(dá)．解答：（1）如圖10所示，連接PA、PB，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E．在△APE中，∠APB=180°-58°-35°=87°，∴PE=APsin87°≈29.8（海里）．答：船P到海岸線MN的距離為29.8海里．（2）設(shè)船A、船B到達(dá)點(diǎn)P所需的時(shí)間分別為t1、t2，則有：t1=AP/20=1.5（小時(shí)），t2=BP/15=2（小時(shí)）．∴船A先到達(dá)船P處．點(diǎn)評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題和航速問題，難度適中．∴CD?tanα+CD?tanβ=AB，化簡得CD=AB/(tanα+tanβ)，代入數(shù)據(jù)得CD≈56.6千米，而風(fēng)景區(qū)半徑為45千米，故連接AB高速公路不會(huì)穿過風(fēng)景區(qū)．點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，尤其是方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是理解方向角的定義，能利用三角函數(shù)值計(jì)算有關(guān)線段，難度一般．分析：根據(jù)題意可以構(gòu)造直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AB=20，BC=20tan15°，則AC=20tan75°，又因?yàn)榇珻在A的東北方向，所以∠BAC=75°，利用余弦定理求出BC和AC的長度，再利用勾股定理求出AC和BC的距離即可．解答：構(gòu)造直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AB=20，BC=20tan15°，則AC=20tan75°，因?yàn)榇珻在A的東北方向，所以∠BAC=75°，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，∴AC=，在Rt△BAC中，cos75°=，∴BC=20tan15°≈5.3，∴AC≈19.7，利用勾股定理求得船C與船B的距離為√（BC2﹣AC2）≈1.6（海里）．答：船C與船B的距離約為1.6海里．點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長度，難度一般．在海岸線l上有一長為1km的碼頭MN，觀察站A位于碼頭西端M的正西19.5km處。某時(shí)刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時(shí)20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距16km的C處。1.求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）。根據(jù)∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC為直角三角形。根據(jù)勾股定理，得到BC=16km。又因?yàn)?小時(shí)20分鐘=80分鐘，1小時(shí)=60分鐘，所以輪船的速度為12km/h。2.如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由。作線段BR⊥x軸于R，作線段CS⊥x軸于S，延長BC交l于T?！摺?=60°，∴∠4=90°-60°=30°。∵AC=8km，∴CS=8sin30°=4km?！郃S=8cos30°=8×√3/2=12km。又∵∠1=30°，∴∠3=90°-30°=60°?！逜B=40km，∴BR=40sin60°=20km。∴AR=40×cos60°=40×1/2=20km。易得，△STC∽△RTB，所以ST/TC=RB/RT，ST=(TC×RB)/RT=8km。所以AT=AS+ST=12+8=20km。又因?yàn)锳M=19.5km，MN長為1km，∴AN=20.5km。因?yàn)?9.5＜AT＜20.5，所以輪船能夠正好行至碼頭MN靠岸。DuringtheEnglishlisteningtestofthecollegeentranceexaminationinacertaincity,itisnecessarytoeliminatethenoisearoundthetestcenter.Asshowninthefigure,pointAisacollegeentranceexaminationcenterinthecity.ThereisafirestationatpointC,whichis125metersawayfrompointAinthedirectionof15degreessouthofwest.Duringthelisteningtest,thefirestationsuddenlyreceivedanalarmcall,informingthattherewasafireatpointF,whichis75degreeseastofnorthand125metersawayfrompointC.Thealarmsoundradiusofthefiretruckis100meters.Ifthealarmsoundaffectsthelisteningtest,thefiretruckmustchangeitsroute.Doesthefiretruckneedtochangeitsroute?Explainthereasons.Solution:DrawaperpendicularlineAHfrompointAtoCF,andletitintersectwithCFatpointH.Asshowninthefigure,since∠ACH=75-15=60degrees,wecangetAH=ACsin60=125×√3/2.SinceAHisgreaterthan100meters,thefiretruckdoesnotneedtochangeitsroute.Inthefigure,theroadABrunsfromeasttowest.ThereisavillageMlocated5kilometersawayfrompointAinthedirectionof36.5degreesnorthofeast,andavillageNlocated10kilometersawayfrompointAinthedirectionof53.5degreesnorthofeast.(Referencedata:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).(1)CalculatethedistancebetweenvillageMandvillageN.(2)AspeciallocalproductpurchasingstationPneedstobebuiltnexttoroadAB,sothatthesumofthedistancesfromvillagesMandNtostationPisminimized.Calculatetheshortestdistance.Solution:(1)DrawCDparalleltoABthroughpointM,andletNEbeperpendiculartoAB.InrighttriangleACM,∠CAM=36.5°,AM=5,sosin36.5°=CM/5=0.6,whichmeansCM=3andAC=4.InrighttriangleANE,∠NAE=90°-53.5°=36.5°,AN=10,sosin36.5°=NE/10=0.6,whichmeansNE=6andAE=8.InrighttriangleMND,MD=5andND=2,soMN=sqrt(5^2+2^2)=sqrt(29)kilometers.(2)LetGbethesymmetricpointofpointNwithrespecttoAB,andconnectMGtointersectABatpointP.PointPisthestation.Therefore,PM+PN=PM+PG=MG.InrighttriangleMDG,MG=sqrt(5^2+10^2)=sqrt(125)=5sqrt(5)kilometers.Therefore,theshortestdistanceis2×5sqrt(5)kilometers=10sqrt(5)kilometers.釣魚島自古以來就是中國領(lǐng)土。中國已對釣魚島及其附屬島嶼進(jìn)行常態(tài)化監(jiān)視監(jiān)測。圖中，E、F為釣魚島東西兩端。某日，中國一艘海監(jiān)船從A點(diǎn)向正北方向巡航，其航線距離釣魚島最近距離CF=203公里，