材料力學(xué) 扭轉(zhuǎn)

材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例1．受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反的外力偶。

2．變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸。第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖直接計(jì)算1．外力偶矩第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P千瓦求：力偶矩Me第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2-1傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A輸入功率PA=50kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計(jì)算各輪上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：計(jì)算外力偶矩第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2．扭矩與扭矩圖扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則，T矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)）T稱為截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭矩畫在x軸上方，負(fù)的扭矩畫在x軸下方。注意MeMeMeTx第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT

第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2-2計(jì)算例3-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩圖如左圖示。第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2-3已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。解：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-3純剪切薄壁圓筒：壁厚（r：為平均半徑）1．實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶m。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力

第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2．實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3．結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

acddxbdy′′

①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4．

與的關(guān)系：微小矩形單元體如圖所示：

第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月5．薄壁圓筒剪應(yīng)力

大?。?/p>

A：平均半徑所作圓的面積。

第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、切應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月三、切應(yīng)變剪切胡克定律

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

T=m

剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為

任一點(diǎn)處的

與到圓心的距離

成正比。——扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA

令代入物理關(guān)系式得：第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月—橫截面上距圓心為

處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對(duì)于實(shí)心圓截面：D

d

O第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于空心圓截面：dDO

d

第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月⑤確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：，[t]—許用切應(yīng)力；軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力[t]與許用正應(yīng)力[σ]之間存在下述關(guān)系：對(duì)于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]對(duì)于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σl]式中，[σl]代表許用拉應(yīng)力。第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-4-1：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm的空心圓管，承受扭矩T=180kN·m。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：(1)薄壁管的近似理論；(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：(1)利用薄壁管的近似理論可求得(2)利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-4-2：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為α=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為Ｔ，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1、

D1，最大許可扭矩為Ｔ1第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-4-3：某汽車主傳動(dòng)軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，試校核軸的強(qiáng)度。解：計(jì)算截面參數(shù)：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求。第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故空心軸較實(shí)心軸合理。

空心軸與實(shí)心軸的截面面積比(重量比)為：由上式解出：d=46.9mm。若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使，則第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-4-4：功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。x第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為對(duì)于階梯軸，兩端面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單位扭轉(zhuǎn)角

：或三、剛度條件或GIp—抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱。[

]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-5-1：圖示圓截面軸AC，承受扭力矩MA，MB與MC作用，試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角φAC(即截面C對(duì)截面A的相對(duì)轉(zhuǎn)角)，并校核軸的剛度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分別為：T1＝180N·m，T2＝-140N·m第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為φAB和φBC，則：第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。

由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為

2剛度校核軸AC為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求。第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-5-2：長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度解：①設(shè)計(jì)桿的外徑代入數(shù)值得：D

0.0226m。第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：第46頁，課件共52頁，創(chuàng)