第八章-玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計課件

第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式§8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體§8.3玻色-愛因斯坦凝聚§8.4光子氣體§8.5金屬中的自由電子氣體§8.6白矮星§8.7二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)

課時安排：課內(nèi)8學時，課外10學時作業(yè)：教材p328-3332：習題8-2，8-3；8-5；8-8；8-11；8-14；8-16；8-18；8-19。第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式1§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、巨配分函數(shù)1、分布函數(shù)討論：1）從數(shù)學形式上，這里與粒子數(shù)有關(guān)的參量

無法分離；2）從物理本質(zhì)看，不是嚴格的近獨立子系；——解決辦法：用開放系統(tǒng)表達式（以

，

，y為參量）2、定義§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、巨配分函數(shù)討論：2二、熱力學量粒子數(shù)：用ln

代替NlnZ以后，一切熱力學公式的統(tǒng)計表達式不變，但ln

更普適：它可以適用于開放系統(tǒng)內(nèi)能：廣義力：熵：粒子的化學勢：巨熱力勢：二、熱力學量粒子數(shù)：用ln代替NlnZ以后，一切熱力學公式3§8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體一、模型：非定域系統(tǒng)、只考慮平動、自旋狀態(tài)數(shù)為g（粒子的內(nèi)部運動）、不失一般性可考慮非相對論粒子。1、態(tài)密度：由第六章習題有2、粒子數(shù)與內(nèi)能§8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體一、模型：2、粒子數(shù)與內(nèi)4二、計算與討論：1、被積函數(shù)的展開式從非簡并條件判別式（e

）的數(shù)量級出發(fā)1）非簡并情形：e

1，取零級近似可得M-B統(tǒng)計的結(jié)果；2）強簡并情形：直接求積分解決3）一級近似：e

1，弱減并情形，對N取零級近似而對U取一級近似，可算得關(guān)聯(lián)能2、零級近似二、計算與討論：從非簡并條件判別式（e）的數(shù)量級出發(fā)2、5量子關(guān)聯(lián)的性質(zhì)：起源：全同性原理和泡利原理影響：對F-D氣體，關(guān)聯(lián)能為正，排斥作用；對B-E氣體，關(guān)聯(lián)能為負，吸引作用。熱波長：與粒子熱運動動能為

kT對應(yīng)的德布羅意波長：關(guān)聯(lián)效應(yīng)：修正項給出弱簡并氣體的關(guān)聯(lián)能。關(guān)聯(lián)——粒子間的相互作用量子關(guān)聯(lián)——由于量子力學規(guī)律引起的相互作用效果（量子效用）3、一級近似量子關(guān)聯(lián)的性質(zhì)：關(guān)聯(lián)效應(yīng)：修正項給出弱簡并氣體的關(guān)聯(lián)能。36§8.3玻色-愛因斯坦凝聚1、粒子數(shù)表達式一、理論分析

與溫度的關(guān)系決定于：在常溫下對所有l(wèi)計算時常將求和變?yōu)榉e分意味著忽略了基態(tài)粒子數(shù)n0：§8.3玻色-愛因斯坦凝聚1、粒子數(shù)表達式一、理論分析7T<TC時，仍然要有

-0，積分的結(jié)果將明顯小于n，此時必須考慮n0的貢獻：n=n0+n>3、B-E凝聚：上述結(jié)果表明，當T<TC時，n0與n同數(shù)量級當溫度低于臨界溫度時，有宏觀數(shù)量級的粒子數(shù)在能級

=0凝聚的現(xiàn)象，稱為B-E凝聚。n0/nT/Tc112、臨界溫度：n是常數(shù)，因此

的絕對值隨T的降低而變小，設(shè)

-0時的T=TCT<TC時，仍然要有-0，積分的結(jié)果將明顯小于n，3、B8二、B-E凝聚態(tài)的性質(zhì)1、內(nèi)能：在T<TC狀態(tài)，系統(tǒng)內(nèi)能來自所有n>的貢獻：2、熱容量：CV/NKT/T03/21B-E凝聚是發(fā)生在動量空間的凝聚。B-E凝聚是一種連續(xù)相變。二、B-E凝聚態(tài)的性質(zhì)2、熱容量：CV/NKT/T03/29三、液氦的

相變4He是典型的玻色子，計算給出

Tc=3.1K實際上在大約2.17K液氦發(fā)生相變：在此溫度以上為正常流體，在此溫度以下變?yōu)槌黧w，在轉(zhuǎn)變點的性質(zhì)非常類似于BEC.但因為存在分子間的相互作用，所以不是理想玻色氣體的BEC。CVT三、液氦的相變CVT10一、平衡輻射的粒子模型1、模型：把電磁輻射看作具有不同的頻率與波長光子的集合；輻射場：粒子數(shù)可變的、極端相對論的混合理想玻色氣體。2、特點：頻率為

的輻射：一種光子氣體成分；邊界壁的發(fā)射與吸收：光子數(shù)不恒定，

=0，化學勢為零；靜止質(zhì)量為零：

=cp；光的量子性：

=h

，p=h/

；（

=2

，k=2

/

）3、狀態(tài)數(shù)：§8.4光子氣體一、平衡輻射的粒子模型2、特點：3、狀態(tài)數(shù)：§8.4光子11二、輻射場的熱力學函數(shù)1、普朗克公式與內(nèi)能二、輻射場的熱力學函數(shù)1、普朗克公式與內(nèi)能12xm2、維恩位移律xm2、維恩位移律133、巨配分函數(shù)4、光壓5、熵6、輻射通量（）3、巨配分函數(shù)4、光壓5、熵6、輻射通量（）14三、普朗克公式的討論1、在長波極限，過渡到經(jīng)典統(tǒng)計結(jié)果（瑞利-金斯公式）光的波動性起主要作用；2、在短波極限，演變?yōu)榫S恩公式——光的粒子性突出（導出維恩公式的關(guān)鍵假設(shè)就是把輻射場看作類似于經(jīng)典理想氣體的系統(tǒng)）。3、從波動角度看普朗克公式：電磁振動能量的量子化。三、普朗克公式的討論15四、晶格熱振動與與固體熱容量1、解決問題的思路：晶格熱振動的傳播形成固體中的彈性駐波，駐波能量量子化——不同頻率、不同運動方向的聲子集合——混合理想玻色氣體的統(tǒng)計問題2、聲子的特點：頻率為

的彈性駐波對應(yīng)兩組橫聲子和一組縱聲子，波速分別以ct和cl表征：

=h

；

l=clp；

t=ctp聲子頻率范圍:0<

≤

m;頻率總數(shù):3N個3、椐此，可用與前面完全相似的方法求得晶格熱振動的內(nèi)能與熱容量。四、晶格熱振動與與固體熱容量1、解決問題的思路：16內(nèi)能：熱容量：高溫極限——杜隆-柏替定律；低溫極限——溫度三次方定律

D是德拜溫度——固體材料的特征溫度（對照前面愛因斯坦溫度理解）內(nèi)能：熱容量：高溫極限——杜隆-柏替定律；17§8.5金屬中的自由電子氣體一、模型1、作用力的近似處理離子晶格作用：形成平均勢場，約束電子在晶體內(nèi)；電子間的排斥力：碰撞2、模型：在平均勢場中自由運動的理想費米氣體能量：

p2/2m；熱波長：銅，300K，原子量63，密度8.9高度簡并3、狀態(tài)數(shù)：極端相對論情形§8.5金屬中的自由電子氣體一、模型高度簡并3、狀態(tài)數(shù)：18粒子數(shù)：內(nèi)能：4、平衡條件：二、基態(tài)（T=0）1、分布函數(shù)1f

（0）粒子數(shù)：內(nèi)能：4、平衡條件：二、基態(tài)（T=0）1、分布函數(shù)1192、化學勢（費米能級、費米面）（

（0）=

F）4、內(nèi)能數(shù)量級估計：以銅為例

F

1.1

10-18J,TF=7.8

104K

結(jié)論：一般情況下，金屬中的電子氣體高度簡并e

<<1;常溫下對熱容量的貢獻可以忽略。5、簡并壓p=2u/3=2/5*n

F

3.8

1010Pa

F給出絕對零度時金屬中自由電子的最大動能3、費米動量2、化學勢（費米能級、費米面）（（0）=F）4、內(nèi)能數(shù)量201、分布函數(shù)：

f<1/2

>

f=1/2

=

f>1/2

<

2、熱容量估計：三、激發(fā)態(tài)（T

0）0fkT——約相當于經(jīng)典值的1/2601、分布函數(shù)：2、熱容量估計：三、激發(fā)態(tài)（T0）0fkT—213、T

0時的定量計算(p.314_316)化學勢由粒子數(shù)平衡條件解出:內(nèi)能由能量平衡條件計算:熱容量:在低溫下金屬的熱容量：CV=AT3+BT與定性估計只有系數(shù)差別；3、T0時的定量計算(p.314_316)化學勢由粒子數(shù)平22§8.6白矮星p.317_319一、白矮星簡介1、基本成分：氦2、熱力學狀態(tài)：T≈107K，mw

1030kg

m0，

1010kg*m-3≈107

0，N個氦核和2N個電子形成的等離子體態(tài)。3、簡化模型：氦核背景上高度簡并的電子氣體，引力作用與電子氣體的簡并壓達到平衡。氦核具有絕大部分質(zhì)量，提供萬有引力，形成收縮趨勢；電子氣體具有極高的數(shù)密度，即使以白矮星的溫度，也依然是高度簡并的§8.6白矮星p.317_319一、白矮星簡介1、基本成23二、白矮星的形成條件1、討論的出發(fā)點：球形系統(tǒng)，力學平衡條件2、非相對論情形3、極端相對論情形隨遇平衡；星體質(zhì)量越大，形成的白矮星體積越小只有mw=

mw0才能平衡；mw小于

mw0星簡并壓大于自引力，膨脹；mw大于

mw0星體坍塌，不能形成白矮星；白矮星質(zhì)量上限mw0=

1.44倍太陽質(zhì)量二、白矮星的形成條件2、非相對論情形3、極端相對論情形隨遇平24§8.7二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)(p.319_327)一、二維電子氣