理論力學(xué)-動(dòng)量矩定理課件

第三篇?jiǎng)恿W(xué)理論力學(xué)第11章動(dòng)量矩定理第三篇?jiǎng)恿W(xué)理論力學(xué)第11章動(dòng)量矩定理1第11章動(dòng)量矩定理

在動(dòng)力學(xué)普遍定理中，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理屬于同一類(lèi)型的方程，即均為矢量方程。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩，可以理解為動(dòng)量組成的系統(tǒng)（動(dòng)量系）的基本特征量——?jiǎng)恿肯档闹魇负椭骶?。兩者?duì)時(shí)間的變化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

本章主要研究： 1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 3、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第11章動(dòng)量矩定理在動(dòng)力學(xué)普遍定理中，動(dòng)量定理和動(dòng)量2？

幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題誰(shuí)最先到達(dá)頂點(diǎn)第11章動(dòng)量矩定理？幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題誰(shuí)最先到第11章動(dòng)量矩定理3？沒(méi)有尾槳的直升飛機(jī)是怎么飛起來(lái)的？沒(méi)有尾槳的直升飛機(jī)是怎么飛起來(lái)的4貓?jiān)谧杂上侣涞倪^(guò)程中是如何轉(zhuǎn)身的貓?jiān)谧杂上侣涞倪^(guò)程中是如何轉(zhuǎn)身的5

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

第11章動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的6

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩為

稱(chēng)為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩即是動(dòng)量系的主矩，它是質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩的矢量和：

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)7●質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

物理學(xué)中關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：

將等號(hào)兩側(cè)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)求和，得到

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

●質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理物理學(xué)中關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定8

注意到微分和求和運(yùn)算可以互換，以及內(nèi)力必成對(duì)出現(xiàn)，上式可簡(jiǎn)化為

或者寫(xiě)成

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)同一點(diǎn)的主矩。這就是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理(theoremofthemomentofmomemtumwithrespecttoagivenpoint)。

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

●質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

注意到微分和求和運(yùn)算可以互換，以及內(nèi)力必成對(duì)出現(xiàn)，上式可9動(dòng)量矩定理的微分形式

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

將上述二式積分，得到動(dòng)量矩定理的積分形式

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的積分形式，與上一章介紹的沖量定理一起，構(gòu)成了用于解決碰撞問(wèn)題的基本定理。動(dòng)量矩定理的微分形式動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系10動(dòng)量矩定理的投影形式——質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理

比照力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系，可以得到動(dòng)量對(duì)點(diǎn)之矩在過(guò)該點(diǎn)之軸上的投影等于該動(dòng)量對(duì)該軸之矩。

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

動(dòng)量矩定理的投影形式——質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理比照11

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m

。圓輪在重物

帶動(dòng)下繞固定軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OW例題

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物帶動(dòng)下繞12

解：以圓輪和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為

和

，重物的加速度為aP。圓輪對(duì)O軸的動(dòng)量矩重物對(duì)O的軸動(dòng)量矩系統(tǒng)對(duì)O的軸總動(dòng)量矩

OWa

P例題2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

解：以圓輪和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。設(shè)圓輪的角速度和角13應(yīng)用動(dòng)量矩定理例題2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

OWa

P

解：系統(tǒng)對(duì)O的軸總動(dòng)量矩其中aP=R

應(yīng)用動(dòng)量矩定理例題2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程O(píng)Wa141、若外力矩則這表明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

●動(dòng)量矩定理的守恒形式

例如

2、當(dāng)外力對(duì)某定軸的主矩等于零，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒。1、若外力矩則這表明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩15？誰(shuí)最先到達(dá)頂點(diǎn)

動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

●動(dòng)量矩定理的守恒形式

？誰(shuí)最先到動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理16

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第11章動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第11章動(dòng)量矩定理17設(shè)剛體饒定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，其角速度與角加速度分別為

和

。剛體上第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，到軸z的距離為ri，則剛體對(duì)定軸的動(dòng)量矩為

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

稱(chēng)為剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(momentofinertia)。

其中設(shè)剛體饒定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，其角速度與角加速度分18該式即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。即剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動(dòng)力系對(duì)該軸之矩。

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

該式即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。即剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角19例題1

圖示鐘擺簡(jiǎn)化模型中，已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量分別為m1

、m2，桿長(zhǎng)為l，圓盤(pán)直徑為d。解：擺繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)?

為任意時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度，規(guī)定逆時(shí)針為正。根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程?試求：鐘擺作小擺動(dòng)時(shí)的周期。

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

例題1圖示鐘擺簡(jiǎn)化模型中，已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓20解：分析受力，建立鐘擺的運(yùn)動(dòng)微分方程?m1gm2gFxFy例題1

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

微小擺動(dòng)時(shí)，有

化為標(biāo)準(zhǔn)形式，擺的周期為

解：分析受力，建立鐘擺的運(yùn)動(dòng)微分方程?m1gm2gFxFy例21擺的周期為根據(jù)物理學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義

其中JO1和JO2分別為桿和圓盤(pán)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。φm1m2例題1

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

擺的周期為根據(jù)物理學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義其中JO1和JO22

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

第11章動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第11章動(dòng)量矩定理23

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

在質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于慣性參考系中固定點(diǎn)（或固定軸）的動(dòng)量矩定理中，動(dòng)量矩由系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所確定。

這里討論質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心或通過(guò)質(zhì)心的動(dòng)軸的動(dòng)量矩定理，一方面是因?yàn)樗袕V泛的應(yīng)用價(jià)值，另一方面動(dòng)量矩定理仍保持了簡(jiǎn)單的形式。相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理在質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于慣性參考系中固24

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

Oxyz為固定坐標(biāo)系，建立在質(zhì)心C上隨質(zhì)心平移的動(dòng)坐標(biāo)系為Cx′y′z′。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，相對(duì)質(zhì)心的位矢為r′i，相對(duì)質(zhì)心的速度為vir。

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩25根據(jù)動(dòng)量矩定義，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩應(yīng)為

其中vi為第I個(gè)質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度。注意到

則有

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

即有根據(jù)動(dòng)量矩定義，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩應(yīng)為其中vi為26

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間存在確定的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

因?yàn)橐驗(yàn)樗杂兴杂匈|(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間存在27根據(jù)上式和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，

相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

根據(jù)上式和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量28

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第11章動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第11章動(dòng)量矩定理29取質(zhì)心C為基點(diǎn)，其坐標(biāo)為xC、yC，設(shè)D為剛體上任意一點(diǎn)，CD與x軸的夾角為φ,則剛體的位置可由xC、yC和φ確定。

將剛體的運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。當(dāng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面、且質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面平行于運(yùn)動(dòng)平面時(shí)，則在固連于質(zhì)心的平移參考系中，剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩為xCyC

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

取質(zhì)心C為基點(diǎn)，其坐標(biāo)為xC、yC，設(shè)D為剛體上任30其中JC為剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

為角速度。

xCyC

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

當(dāng)作用于剛體上的力系等價(jià)于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的一個(gè)平面力系時(shí)，對(duì)剛體平面運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理，有

其中JC為剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量31這就是剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程。

或者

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

這就是剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程?；蛘邉傮w平面運(yùn)動(dòng)微分方程32例題3

半徑為r的勻質(zhì)圓盤(pán)從靜止開(kāi)始，沿傾角為θ的斜面無(wú)滑動(dòng)的滾下。試求：

1．圓輪滾至任意位置時(shí)的質(zhì)心加速度aC；2．圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

例題3半徑為r的勻質(zhì)圓盤(pán)從靜止開(kāi)始，沿傾角為33aCα解：分析圓輪受力

圓輪作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有

FFN1．確定圓輪質(zhì)心的加速度例題3

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

aCα解：分析圓輪受力圓輪作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)34運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系

aCαFFN（4）式代入（3）式，得

代入（1）式，得例題3

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系aCαFFN（4）式代入（3）式，得代入（35解：2．確定圓輪在斜面上不滑動(dòng)的最小靜摩擦因數(shù)

此即圓輪在斜面上不滑動(dòng)的最小靜摩擦因數(shù)。aCαFFN例題3

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

解：2．確定圓輪在斜面上不滑動(dòng)的此即圓輪在斜面上不滑動(dòng)的36

均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，放放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的鉛垂墻上，另一端B放在光滑的水平面上，與水平面的夾角為

0。然后，令桿由靜止?fàn)顟B(tài)滑下。求：桿在任意位置時(shí)的角加速度。

例題4

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，放放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的37FAFBmg解：以桿為研究對(duì)象，桿作平面運(yùn)動(dòng)，分析其受力列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程例題4

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

式中有五個(gè)未知量，如果要求得全部未知量，還需兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。顯然，這一方法比較麻煩。FAFBmg解：以桿為研究對(duì)象，桿作平面運(yùn)動(dòng)，分析其受力列出38

相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理：平面運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果剛體的質(zhì)心C到速度瞬心C*的距離保持不變，則質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)速