壓電材料的變分原理課件

壓電材料的變分原理

和有限元分析方法趙壽根壓電材料的變分原理

和有限元分析方法趙壽根1前言壓電材料由于其機電耦合特性，受到使用者的歡迎。當將壓電材料應(yīng)用到結(jié)構(gòu)中時，由于結(jié)構(gòu)形式的多樣性、邊界條件的多樣性和外界激勵環(huán)境的復(fù)雜性，能得到解析解的情形很少，因而大多數(shù)情況需要采用數(shù)值的方法來分析結(jié)構(gòu)。變分原理是進行數(shù)值計算的基礎(chǔ)，因而研究壓電材料的變分原理為建立壓電材料的有限元模型和方程提供了依據(jù)。1前言壓電材料由于其機電耦合特性，受到使用者的歡迎。當將壓2基本方程壓電材料具有力電耦合特性，根據(jù)連續(xù)彈性介質(zhì)理論和電介質(zhì)理論，基于線彈性、小變形假設(shè)，基本方程及條件如下。

(1)運動方程(2)電學(xué)方程

若不存在自由電荷則式子等于零2基本方程壓電材料具有力電耦合特性，根據(jù)連續(xù)彈性介質(zhì)理論和2.1本構(gòu)方程(3)力學(xué)耦合方程或(4)電學(xué)耦合方程或2.1本構(gòu)方程或(4)電學(xué)耦合方程或2.3幾何方程(5)變形方程(6)電場方程2.3幾何方程(6)電場方程2.3邊界條件(7)力學(xué)邊界條件(8)電學(xué)邊界條件在Sσ上在Su上在Sq上在Sv上2.3邊界條件(8)電學(xué)邊界條件在Sσ上在Su上在Sq上3力電耦合系統(tǒng)的能量泛函(1)動能(2)應(yīng)變能(3)電勢能3力電耦合系統(tǒng)的能量泛函(1)動能(2)應(yīng)變能(3)(4)外力功(5)外電荷功符合說明：Ve、Vp和V=Ve+

Vp分別為彈性材料體積、壓電材料體積和總體積。(4)外力功(5)外電荷功符合說明：Ve、Vp和V=5系統(tǒng)廣義泛函由Hamilton原理，系統(tǒng)廣義泛函為：

將上面的本構(gòu)方程、幾何方程帶入得到系統(tǒng)的能量泛函為：5系統(tǒng)廣義泛函由Hamilton原理，系統(tǒng)廣義泛函為：能量泛函寫成矩陣形式有：上式即為分析壓電耦合結(jié)構(gòu)、建立各種位移形式的運動微分方程的變分形式方程。能量泛函寫成矩陣形式有：上式即為分析壓電耦合結(jié)構(gòu)、建立各種位6有限元方法有限元分析，即有限元方法（馮康首次發(fā)現(xiàn)時稱為基于變分原理的差分方法），是一種用于求解微分方程組或積分方程組數(shù)值解的數(shù)值技術(shù).這一解法基于完全消除微分方程,即將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組(穩(wěn)定情形);或?qū)⑵⒎址匠?組)改寫為常微分方程(組)的逼近,這樣可以用標準的數(shù)值技術(shù)(例如歐拉法,龍格-庫塔方法等)求解.有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的彈性和結(jié)構(gòu)分析問題的研究.它的發(fā)展可以追溯到AlexanderHrennikoff(1941)和RichardCourant(1942)的工作.這些先驅(qū)者使用的方法具有很大的差異,但是他們具有共同的本質(zhì)特征:利用網(wǎng)格離散化將一個連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為一族離散的子區(qū)域,通常叫做元.Hrennikoff的工作離散用類似于格子的網(wǎng)格離散區(qū)域;Courant的方法將區(qū)域分解為有限個三角形的子區(qū)域,用于求解來源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問題的二階橢圓偏微分方程.Courant的貢獻推動了有限元的發(fā)展,繪制了早期偏微分方程的研究結(jié)果.從有限元的基本方法派生出來的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特殊的問題。6有限元方法有限元分析，即有限元方法（馮康首次發(fā)現(xiàn)時稱為基6.1本構(gòu)方程壓電材料的線性本構(gòu)方程為：用矩陣形式表示為：6.1本構(gòu)方程壓電材料的線性本構(gòu)方程為：用矩陣形式表示為：6.2有限元列式(四面體單元為例)對于每一個單元，機械應(yīng)變可以表示為：6.2有限元列式(四面體單元為例)對于每一個單元，機械應(yīng)變又位移u、v、w可以用單元節(jié)點位移和形函數(shù)表示：又位移u、v、w可以用單元節(jié)點位移和形函數(shù)表示：從而可得：從而可得：上式用矩陣形式表示為：Bu為包含形函數(shù)微分的矩陣：上式用矩陣形式表示為：Bu為包含形函數(shù)微分的矩陣：對于每個單元的x、y、z方向的位移向量表示為：

同樣對于每個單元，電場向量可以表示為為：對于每個單元的x、y、z方向的位移向量表示為：同樣對于又，電勢可以用單元節(jié)點電勢和形函數(shù)表示：從而：又，電勢可以用單元節(jié)點電勢和形函數(shù)表示：從而：上式用矩陣形式表示為：Bφ為包含形函數(shù)微分的矩陣：上式用矩陣形式表示為：Bφ為包含形函數(shù)微分的矩陣：由壓電材料的虛功原理：由前面有：由壓電材料的虛功原理：由前面有：又：將上兩式代入虛功原理有：又：將上兩式代入虛功原理有：對上面的式子進行化簡，就可得到單元的有限元方程：式中：對上面的式子進行化簡，就可得到單元的有限元方程：式中：對單元有限元方程進行組裝可得壓電材料的整體有限元方程：對單元有限元方程進行組裝可得壓電材料的整體有限元方程：7

ANSYS中的壓電分析壓電分析只能用下列單元類型之一：(1)PLANE13,KEYOPT(1)=7，耦合場四邊形板單元(2)SOLID5,KEYOPT(1)=0或3，耦合場六面體單元(3)SOLID98,KEYOPT(1)=0或3，耦合場四面體單元KEYOPT選項激活壓電自由度：位移和電壓。對于壓電分析，必須激活位移和電壓自由度，即對于SOLID98要選擇Degrees

of

Freedom選項的值為UX,

UY,

UZ,

VOLT。對于PLANE13要選擇Degrees

of

Freedom選項的值為UX,

UY,

VOLT。對于SOLID5和SOLID98，KEYOPT(1)=3僅激活壓電選項。7ANSYS中的壓電分析壓電分析只能用下列單元類型之一：壓電材料材料參數(shù)的輸入介電常數(shù)是反映材料的介電性質(zhì)，或極化性質(zhì)的，通常用ε來表示。不同用途的壓電陶瓷元器件對壓電陶瓷的介電常數(shù)要求不同。例如，壓電陶瓷揚聲器等音頻元件要求陶瓷的介電常數(shù)要大，而高頻壓電陶瓷元器件則要求材料的介電常數(shù)要小。壓電陶瓷極化處理之前是各向同性的多晶體，這是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介電常數(shù)是相同的，即只有一個介電常數(shù)。經(jīng)過極化處理以后，由于沿極化方向產(chǎn)生了剩余極化而成為各向異性的多晶體。此時，沿極化方向的介電性質(zhì)就與其他兩個方向的介電性質(zhì)不同。設(shè)陶瓷的極化方向沿3方向，則有關(guān)系

ε11=ε22≠ε33

即經(jīng)過極化后的壓電陶瓷具有兩個介電常數(shù)ε11和ε33壓電材料材料參數(shù)的輸入介電常數(shù)是反映材料的介電性質(zhì)，或極化性介電系數(shù)矩陣(介電常數(shù))用MP命令(MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels>Electromagnetics>RelativePermittivity>Orthotropic)定義PERX、PERY和PERZ。這些常數(shù)分別表示的是介電系數(shù)矩陣

[ε]s（上標“s”表示常數(shù)值是在常應(yīng)變條件下計得到的）的對角分量ε11,ε22,ε33。介電系數(shù)矩陣(介電常數(shù))壓電陶瓷具有壓電性，即施加應(yīng)力時能產(chǎn)生額外的電荷。其所產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例，對于壓力和張力來說，其符號是相反的，用介質(zhì)電位移D（單位面積的電荷）和應(yīng)力T（單位面積所受的力）表示如下D=Q/A=dT

式中，d的單位為庫侖/牛頓（C/N），這正是正壓電效應(yīng)。還有一個逆壓電效應(yīng)，既施加電場E時成比例地產(chǎn)生應(yīng)變S，其所產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)榕蛎浕驗槭湛s取決于樣品的極化方向。

S=dE

式中，d的單位為米/伏（m/v）。上面兩式中的比例常數(shù)d稱為壓電應(yīng)變常數(shù)。對于正和逆壓電效應(yīng)來講，d在數(shù)值上是相同的。對于企圖用來產(chǎn)生運動或振動(例如，聲納和超聲換能器)的材料來說，希望具有大的壓電應(yīng)變常數(shù)d。另一個常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù)g，它表示內(nèi)應(yīng)力所產(chǎn)生的電場，或應(yīng)變所產(chǎn)生的電位移的關(guān)系。常數(shù)g與常數(shù)d之間的關(guān)系如下：g=d/e

此外，還有不常用的壓電應(yīng)力常數(shù)e和壓電勁度常數(shù)h；e把應(yīng)力T和電場E聯(lián)系起來，而h把應(yīng)變S和電場E聯(lián)系起來，既T=-eE

;

E=-hS壓電陶瓷具有壓電性，即施加應(yīng)力時能產(chǎn)生額外的電荷。其所產(chǎn)生的壓電矩陣可以定義[e]型（壓電應(yīng)力矩陣）或[d]型（壓電應(yīng)變矩陣）的壓電矩陣。[e]型矩陣典型地與剛度矩陣[c]的各向異性彈性輸入有關(guān)，而[d]矩陣與柔度矩陣[s]的輸入相關(guān)。

[e]矩陣和[d]矩陣使用下列數(shù)據(jù)表輸入：2D情況3D情況壓電矩陣2D情況3D情況大多數(shù)已公布的壓電材料的[e]矩陣