一平面圖形的面積課件

一、平面圖形的面積二、由平行截面面積求體積第十章定積分的應用（一）由平行截面面積求體積直接應用－－－求旋轉體的體積面積公式（直角坐標，極坐標）一、平面圖形的面積二、由平行截面面積求體積第十章定1一、平面圖形的面積如果函數(shù)y=f(x)(f(x)

0)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為復習：Oxyaby

f(x)一、平面圖形的面積如果函數(shù)y=f(x)(2由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積S如何求？考慮如下問題：Oxy1、若圖形在x軸上方，aby

f(x)y=g(x)y=g(x)注意圖形的形成由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)3aby

f(x)y=g(x)Oxy2、若圖形不在x軸上方，y

f(x)+my=g(x)+mm將圖形平移到x軸的上方由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積S如何求？考慮如下問題：1、若圖形在x軸上方，abyf(x)y=g(x)Oxy2、4

結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。Oxyaby

f(x)g(x)=0Oxyaby

g(x)f(x)=0結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩5Oxyaby

f(x)g(x)=0aby

f(x)g(x)=0Oxyaby

f(x)g(x)=0(2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。

結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。Oxyabyf(x)g(x)=0abyf(x)g(6(4)如果y=f(x)有分段點c，則需把圖形分割后計算。Oxyaby

f(x)g(x)=0y

f1(x)y

f2(x)c結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。(2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。(4)如果y=f(x)有分段點c，則需把7討論：由左右兩條連續(xù)曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、y=d所圍成的圖形的面積S如何求？Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：

結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為討論：Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：結論：由上8abxyOS1結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為例1.求橢圓所圍成的圖形面積。解：設橢圓在第一象限的面積為S1，則橢圓的面積為abxyOS1結論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(9解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。S=2[]

例2

求曲線y=21x2、y211x+=與直線x3-=、

xO-11y解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍10解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。S=2[]=2[])233(31-+=p?2.11

例2

求曲線y=21x2、y211x+=與直線x3-=、

解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍11

例3計算拋物線y2

2x與直線x

y

4所圍成的圖形的面積。8y-22x2O444(8,4)(2,-2)解：求兩曲線的交點得：(2，

2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間[

2，4]。=18。思考：為什么不向x軸投影？

S=18]61421[)214(4232242=-+=-+--òyyydyyy

例3計算拋物線y22x與直線xy12一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時,按順時針方向13極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)14對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.對應從0變例5.計算阿基米德螺線解:到215例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)16二、由平行截面面積求體積設一立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,b]，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。(3)令l=max{Dxi}，則立體體積為(1)在[a,b]內插入分點：

a=x0<x1<x2<

<xn-1<xn=b，(2)過xi(i=1,2,

,n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積的近似值S(xi)Dxi。將n個小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值xOax1xi-1xixnbV=?=?ni10limlS()Dxi

=òbaS(x)dx。

二、由平行截面面積求體積設一立體在x軸上的投影區(qū)間17垂直x軸的截面是橢圓例7.

計算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當a=b=c時就是球體體積.的體積.垂直x軸的截面是橢圓例7.計算由曲面所圍立體(橢球體18例8.

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.例8.一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交19思考:可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:思考:可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么20Oxbay區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：右圖為由連續(xù)曲線y

f(x)、直線x

a、x

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體。y

f(x)關鍵是確定截面面積Oxbay區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：21當考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉一周圍成的立體體積時,機動目錄上頁下頁返回結束截面面積為于是有當考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉一周圍成的立體體積時,機動22

例9連接坐標原點O及點P(h，r)的直線、直線x

h及x軸圍成一個直角三角形。將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。所求圓錐體的體積為hrxyO曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：例9連接坐標原點O及點P(h，r)的直線23例10.

計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標方程則截面面積(利用對稱性)于是例10.計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉而成的橢球體的體積24方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當b=a時,就得半徑為a的球體的體積方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當b=a時,就得半25例11.

計算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉而成的立體體積.解:

繞x軸旋轉而成的體積為利用對稱性例11.計算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸26繞

y軸旋轉而成的體積為注意上下限!注意分段點！繞y軸旋轉而成的體積為注意上下限!注意分段點！27分部積分注(利用“偶倍奇零”)分部積分注(利用“偶倍奇零”)28例12.

求曲線