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文檔簡介
矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n
階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證必要性
若
A
與 相似,
則
P可逆矩陣 使得
1P AP
,設(shè)
,p1
,
p2
,
,
pn則由AP
P得
n
P
2
1n1
2
n
1
2A
p
,
p
,
,
p
p
,
p
,
,
p
2
,
n
1
即(i
1,
2,
,
n)i
piApi
矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證必要性
n
2
1
P
可逆P
0,
pi
(i
1,2,
,n)都是非零向量,故p1
,p2
,
,pn
都是A
的特征向量,且它們線性無關(guān).充分性設(shè)p1
,p2
,
,pn
為A
的n
個線性無關(guān)的特征向量,它們對應(yīng)的特征值為1
,
2
,
n
,則有Api
i
pi
(i
1,
2,
,
n)矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證
n
2
1充分性矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)1
p1
,
n
pn
)
(
2
p2
,
,,
2
1
(
p
,
p
,
,
p
)
P1
2
n
n
矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)
(
1
p1
,
2
p2
,
,
n
pn
)
P
,矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.證 充分性
n
2
1令P
(p1
,p2
,
,pn
),易知P
可逆,且AP
A(
p1
,
p2
,
,
pn
)
(
Ap1
,
Ap2
,
,
Apn
)n
pn
)
P
,
(
1
p1
,
2
p2
,
,用
P
1
左乘上式兩端得
P
1
AP
,
即A
與 相似.證畢.矩陣與對角矩陣相似的條件定理
2
n階矩陣
A與對角矩陣
2
1相似的充分必要條件為矩陣A有n
個線性無關(guān)的特征向量.n
推論
若
n階矩陣
A有n
個相異的特征值
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