第六講 工具變量回歸

工具變量回歸OLS經(jīng)典假設(shè)

所有的解釋變量Xi與隨機(jī)誤差項(xiàng)彼此之間不相關(guān)。若解釋變量Xi和ui相關(guān)，則OLS估計(jì)量是非一致的，也就是即使當(dāng)樣本容量很大時(shí)，OLS估計(jì)量也不會(huì)接近回歸系數(shù)的真值。當(dāng)解釋變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，模型存在著內(nèi)生性問題。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把所有與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的解釋變量都稱為“內(nèi)生變量”。這與一般經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的定義有所不同。1。與誤差項(xiàng)相關(guān)的變量稱為內(nèi)生變量(endogenousvariable)。2。與誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量稱為外生變量(exogenousvariable)。造成誤差項(xiàng)與回歸變量相關(guān)（內(nèi)生性）的原因很多，但我們主要考慮如下幾個(gè)方面：遺漏變量偏差變量有測(cè)量誤差雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差變量有測(cè)量誤差測(cè)量數(shù)據(jù)正確時(shí)：假設(shè)方程為：當(dāng)存在測(cè)量誤差時(shí)：方程為：所以我們有：可知，誤差項(xiàng)中包含所以可以得到：如果則回歸結(jié)果有偏，非一致我們假設(shè)則有結(jié)論：1。由于2。回歸的性質(zhì)決定于w的標(biāo)準(zhǔn)差雙向因果關(guān)系之前我們假定因果關(guān)系是從回歸變量到因變量的(X導(dǎo)致了Y)。但如果因果關(guān)系同時(shí)也是從因變量到一個(gè)或多個(gè)回歸變量(Y導(dǎo)致了X)的呢？如果是這樣的話，因果關(guān)系是向前的也是“向后”的，即存在雙向因果關(guān)系，如果存在雙向因果關(guān)系，則OLS回歸中同時(shí)包含了這兩個(gè)效應(yīng)，因此OLS估計(jì)量是有偏的、非一致的。可以推導(dǎo)出：遺漏變量偏差可采用在多元回歸中加入遺漏變量的方法加以解決，但前提是只有當(dāng)你有遺漏變量數(shù)據(jù)時(shí)上述方法才可行。雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時(shí)因果關(guān)系是從X到Y(jié)又從Y到X時(shí)，此時(shí)僅用多元回歸無法消除這一偏差。同樣，變量有測(cè)量誤差也無法用我們前面學(xué)過的方法解決。因此我們就必須尋找一種新的方法。工具變量(instrumentalvariable,IV)回歸是當(dāng)回歸變量X與誤差項(xiàng)u相關(guān)時(shí)獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計(jì)量的一般方法。我們經(jīng)常稱其為IV估計(jì)。其基本思想是：假設(shè)方程是：我們假設(shè)ui與Xi相關(guān)，則OLS估計(jì)量一定是有偏的和非一致的。工具變量估計(jì)是利用另一個(gè)“工具”變量Z將Xi分離成與ui相關(guān)和不相關(guān)的兩部分。我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進(jìn)行估計(jì)。

工具變量的選取

一個(gè)有效的工具變量必須滿足稱為工具變量相關(guān)性和工具變量外生性兩個(gè)條件:即

（1）工具變量相關(guān)性：工具變量與所替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；

（2）工具變量外生性：工具變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)；

兩階段最小二乘估計(jì)量若工具變量Z滿足工具變量相關(guān)性和外生性的條件，則可用稱為兩階段最小二乘(TSLS)的IV估計(jì)量估計(jì)系數(shù)?1。兩階段最小二乘估計(jì)量分兩階段計(jì)算：第一階段把X分解成兩部分：即與回歸誤差項(xiàng)相關(guān)的一部分以及與誤差項(xiàng)無關(guān)的一部分。第二階段是利用與誤差項(xiàng)無關(guān)的那部分進(jìn)行估計(jì)。一般IV回歸模型因變量Yi。外生解釋變量W1i、W2i、…Wri。內(nèi)生解釋變量X1i、X2i、…Xki。我們引入工具變量Z1i、Z2i、…Zmi

。第一階段回歸：利用OLS建立每個(gè)內(nèi)生變量（X1i、X2i、…Xki）關(guān)于工具變量（Z1i、Z2i、…Zmi）和外生變量（W1i、W2i、…Wri）的回歸，并得到所有回歸結(jié)果的擬合值Xi_hat。第二階段回歸：用Xi_hat取代原有的Xi，與原有的外生變量Wi一起進(jìn)行第二次回歸，得到TSLS統(tǒng)計(jì)量βTSLS。注意：工具變量出現(xiàn)在第一階段回歸，但不出現(xiàn)在第二階段回歸。引入工具變量的個(gè)數(shù)假設(shè)我們有n個(gè)內(nèi)生解釋變量，引入了m個(gè)工具變量，n和m的關(guān)系是什么？n=m恰好識(shí)別n<m過度識(shí)別n>m不可識(shí)別只有恰好識(shí)別和過度識(shí)別才能用IV方法估計(jì)。兩階段最小二乘法的stata命令：ivregress2slsdepvar[varlist1](varlist2=instlist),r,first其中，“depvar”為被解釋變量，varlist1為外生解釋變量，varlist2為所有的內(nèi)生解釋變量集合，instlist為工具變量集合。選擇項(xiàng)r表示使用異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤，選擇項(xiàng)“first”表示顯示第一階段的回歸。工具變量有效性的檢驗(yàn)工具變量相關(guān)性工具變量相關(guān)性越強(qiáng)，也就是工具變量能解釋越多的X變動(dòng)，則IV回歸中能用的信息就越多，因此利用相關(guān)性更強(qiáng)的工具變量得到的估計(jì)量也更精確。弱工具變量：如果雖然

但是弱工具變量幾乎不能解釋X的變動(dòng)。弱工具變量檢驗(yàn)準(zhǔn)則1.偏R2（Shea’spartialR2）含義：在第一階段回歸中，在控制外生變量影響的前提下，看其它變量對(duì)某內(nèi)生變量的解釋力，或者說，在第一階段回歸中，剔除掉外生變量的影響。2.最小特征值統(tǒng)計(jì)量F：經(jīng)驗(yàn)上F應(yīng)該大于10。Stata命令：estatfirststage,allforcenonrobust3.Cragg-DonaldWaldF統(tǒng)計(jì)量4.Kleibergen-PaapWaldrkF統(tǒng)計(jì)量”Stata命令：ivreg2如果存在弱工具變量該怎么辦？1.如果有很多工具變量，有部分強(qiáng)工具變量和部分弱工具變量，可以舍棄較弱的工具變量而選用相關(guān)性較強(qiáng)的工具變量子集。在stata中，可以使用ivreg2命令進(jìn)行“冗余檢驗(yàn)”，以決定選擇舍棄哪個(gè)工具變量。（直觀上，冗余工具變量是那些第一階段回歸中不顯著的變量。）2.如果系數(shù)是恰好識(shí)別的，則你不能略去弱工具變量。在這種情況下，有兩個(gè)選擇：第一個(gè)選擇是尋找其他較強(qiáng)的工具變量。(難度較大)第二個(gè)選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進(jìn)行實(shí)證分析，但采用的方法不再是TSLS。而是對(duì)弱工具變量不太敏感的有限信息極大似然法(LIML)。在大樣本下，LIML與2SLS是漸近等價(jià)的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLS。LIML的Stata命令為ivregresslimldepvar[varlist1](varlist2=instlist)工具變量外生性的檢驗(yàn)剛才我們提到：只有恰好識(shí)別和過度識(shí)別才能用IV方法估計(jì)。一個(gè)很重要的命題是：只有過度識(shí)別情況下才能檢驗(yàn)工具變量的外生性，而恰好識(shí)別情況下無法檢驗(yàn)。過度識(shí)別約束檢驗(yàn)基本思想：假設(shè)有一個(gè)內(nèi)生回歸變量，兩個(gè)工具變量且沒有包含的外生變量。則你可以計(jì)算兩個(gè)不同的TSLS估計(jì)量：其中一個(gè)利用第一個(gè)工具變量，而另一個(gè)利用第二個(gè)工具變量。由于抽樣變異性，這兩個(gè)估計(jì)量不會(huì)相同，但如果兩個(gè)工具變量都是外生的，則這兩個(gè)估計(jì)量往往比較接近。如果由這兩個(gè)工具變量得到估計(jì)非常不同，則你可以得出其中一個(gè)或兩個(gè)工具變量都有內(nèi)生性問題的結(jié)論。識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：Sargan統(tǒng)計(jì)量J統(tǒng)計(jì)量C統(tǒng)計(jì)量過度識(shí)別檢驗(yàn)的Stata命令：estatoverid究竟該用OLS還是工具變量法豪斯曼檢驗(yàn)原假設(shè)為：H0：所有解釋變量均為外生變量regyx1x2eststoreolsivregress2slsyx1(x2=z1z2)eststoreivhausmanivols,sigmamore上述檢驗(yàn)的缺點(diǎn)是，它假設(shè)在H0成立的情況下，OLS最有效率。但如果存在異方差，OLS并不最有效率(不是BLUE)。故傳統(tǒng)的豪斯曼檢驗(yàn)不適用于異方差的情形。此時(shí)可以使用杜賓-吳-豪斯曼檢驗(yàn)(DWH)，該檢驗(yàn)在異方差的情況下也適用，更為穩(wěn)健。stata命令：estatendogenous廣義矩估計(jì)法：GMM基本思想：求解如下一般化目標(biāo)函數(shù),使之最小化J(b_GMM)=n*g(b_GMM)'*W*g(b_GMM)其中，W為權(quán)重矩陣在球型擾動(dòng)項(xiàng)的假定下，2SLS是最有效的。但如果擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差或自相關(guān)，則廣義矩估計(jì)方法效果更好。GMM方法又分為兩步GMM法和迭代GMM方法。有關(guān)GMM的Stata命令為ivregressgmmyx1(x2=z1z2)(兩步GMM)ivregressgmmyx1(x2=z1z2),igmm(迭代GMM)estatoverid(過度識(shí)別檢驗(yàn))例一Mincer(1958)最早研究了工資與受教育年限的正相關(guān)關(guān)系，但遺漏了“能力”這個(gè)變量，導(dǎo)致遺漏變量偏差。針對(duì)美國面板調(diào)查數(shù)據(jù)中的年輕男子組群(YoungMen’sCohortoftheNationalLongitudinalSurvey，簡記NLS-Y)，Griliches(1976)采用工具變量法對(duì)遺漏變量問題進(jìn)行了校正。BlackburnandNeumark(1992)更新了Griliches(1976)的數(shù)據(jù)，即這個(gè)例子中將要使用的數(shù)據(jù)集grilic.dta。該數(shù)據(jù)集中包括以下變量：lw(工資對(duì)數(shù))，s(受教育年限)，age(年齡)，expr(工齡)，tenure(在現(xiàn)單位的工作年數(shù))，iq(智商)，med(母親的受教育年限)，kww(在“knowledgeoftheWorldofWork”測(cè)試中的成績)，mrt(婚姻虛擬變量，已婚=1)，rns(美國南方虛擬變量，住在南方=1)，smsa(大城市虛擬變量，住在大城市=1)，year(有數(shù)據(jù)的最早年份，1966—1973年中的某一年)。這是一個(gè)兩期面板數(shù)據(jù)，初始期為當(dāng)以上變量有數(shù)據(jù)的最早年份，結(jié)束期為1980年。不帶80字樣的變量名為初始期，帶80字樣的變量名為1980年數(shù)據(jù)。比如，iq指的是初始期的智商，而lw80指的是1980年的工資對(duì)數(shù)。(1)先看一下數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征。usegrilic.dta,clearsum(2)考察智商與受教育年限的相關(guān)關(guān)系。pwcorriqs,sig(3)建立如下方程：reglw80s80expr80tenure80繼續(xù)對(duì)方程進(jìn)行分析：我們發(fā)現(xiàn)了如下問題：1。遺漏變量問題：認(rèn)為方程遺漏了“能力”這個(gè)變量，加入iq（智商）作為“能力”的代理變量。reglw80s80iqexpr80tenure802。測(cè)量誤差問題：iq（智商）對(duì)“能力”的測(cè)量存在誤差。3。變量內(nèi)生性問題：s80可能與擾動(dòng)項(xiàng)中除“能力”以外的其他因素相關(guān)，因此是內(nèi)生變量。解決方法：引入四個(gè)變量med，kww，mrt，age，作為內(nèi)生解釋變量iq與s80的工具變量。然后使用TSLS方法進(jìn)行回歸。ivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage),first也可以使用GMM估計(jì)方法使用兩步GMM。ivregressgmmlw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage)使用迭代GMM。ivregressgmmlw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage),igmm幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：1。first選項(xiàng)的目的是顯示TSLS第一階段的結(jié)果，如果省略，則僅顯示第二階段的結(jié)果。2。命令的用法比較嚴(yán)格，將被解釋變量和所有外生解釋變量放到括號(hào)外面，內(nèi)生解釋變量放到括號(hào)里面，等號(hào)后面為所有工具變量。3。2SLS只能通過stata完成，利用定義手動(dòng)計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的，因?yàn)闅埐钚蛄惺清e(cuò)誤的。4。不可能單獨(dú)為每個(gè)內(nèi)生變量指定一組特定的工具變量，而是給所有內(nèi)生變量指定一系列工具變量。5。所有外生變變量都作為自己的工具變量。6。為了檢驗(yàn)工具變量的外生性，本題為過度識(shí)別。7。在大樣本下，IV估計(jì)是一致的，但在小樣本下，IV估計(jì)并非無偏估計(jì)量，有些情況下偏誤可能很嚴(yán)重。弱工具變量檢驗(yàn)檢驗(yàn)方法：1。初步判斷可以用偏R2(partialR2)