概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程茆詩松第二章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程茆詩松第二章第1頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

隨機變量及其分布(1)擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)X1，2，……，6.(2)n個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù)Y0，1，2，……，n(3)某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)Z0，1，2，……(4)某種型號電視機的壽命T:

[0,+)第2頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1隨機變量的定義定義2.1.1設={}為某隨機現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實值函數(shù)X=X()為隨機變量.第3頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點(1)(1)隨機變量X()是樣本點的函數(shù)，

其定義域為，其值域為R=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=1.5}是不可能事件.

(2)若X為隨機變量，則{X=k}、{a

<

X

b}、……均為隨機事件.即{a

<

X

b}={；a

<

X()b

}

第4頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點(2)(3)注意以下一些表達式：

{X=k}={X

k}

{X<k}；{a

<

X

b}={X

b}

{X

a}；{X>b}=

{X

b}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.第5頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月若隨機變量X可能取值的個數(shù)為有限個或

可列個，則稱X為離散隨機變量.若隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間[a,b]，則稱X為連續(xù)隨機變量.前例中的X,Y,Z為離散隨機變量；而T為連續(xù)隨機變量.兩類隨機變量第6頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2.1.2

設X為一個隨機變量，對任意實數(shù)x，稱F(x)=P(X

x)為

X的分布函數(shù).基本性質(zhì)：

(1)F(x)

單調(diào)不降；(2)有界：0

F(x)

1，F(xiàn)(

)=0，F(xiàn)(+)=1；(3)右連續(xù).2.1.2

隨機變量的分布函數(shù)第7頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3

離散隨機變量的分布列設離散隨機變量X的可能取值為：x1，x2，……，xn，……稱pi=P(X=xi)，i=1,2,……為X的分布列.分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……第8頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月分布列的基本性質(zhì)(1)pi

0，(2)(正則性)(非負性)第9頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點(1)求離散隨機變量的分布列應注意：

(1)確定隨機變量的所有可能取值;

(2)計算每個取值點的概率.

第10頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點(2)對離散隨機變量的分布函數(shù)應注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;(3)其間斷點即為X的可能取值點;(4)其間斷點的跳躍高度是對應的概率值.第11頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函數(shù).解：第12頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月X012P0.40.40.2解：例2.1.2已知X的分布函數(shù)如下,求X的分布列.第13頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.4

連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間(a,b).因為對連續(xù)隨機變量X，有P(X=x)=0，所以無法仿離散隨機變量用P(X=x)來描述連續(xù)隨機變量X的分布.注意離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的差別.第14頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2.1.4設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機變量，若存在非負可積函數(shù)p(x)，滿足：稱p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).第15頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月密度函數(shù)的基本性質(zhì)滿足(1)(2)的函數(shù)都可以看成某個連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù).(非負性)(正則性)第16頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點(1)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(X=x)=F(x)

F(x

0)=0;第17頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)

F(a).注意點(2)(5)當F(x)在x點可導時,

p(x)=當F(x)在x點不可導時,

可令p(x)=0.第18頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

(不唯一)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).第19頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.3設

X~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).(1)k=3.(2)解：第20頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.4設

X~求

F(x).解：第21頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月設X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:因為P(A)=P(B),P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)從中解得且P(A

B)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨立，得=2P(A)

[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.5第22頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X~p(x)，且p(

x)=p(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a>0，有()

①F(

a)=1

②F(

a)=③F(

a)=F(a)④F(

a)=2F(a)

1課堂練習②第23頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

隨機變量的數(shù)學期望分賭本問題(17世紀)甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?第24頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種分法

1.按已賭局數(shù)分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分：

因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4第25頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1數(shù)學期望的概念

若按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個可能取值為0或100的隨機變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.第26頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2數(shù)學期望的定義定義2.2.1設離散隨機變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的數(shù)學期望，記為第27頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望定義2.2.2設連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x),若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數(shù)學期望，記為第28頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3第29頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學期望簡稱為期望.數(shù)學期望又稱為均值.數(shù)學期望是一種加權平均.注意點第30頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3數(shù)學期望的性質(zhì)定理2.2.1設Y=g(X)是隨機變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則第31頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.2

設隨機變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4第32頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第33頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.3設X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.第34頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.3

隨機變量的方差與標準差數(shù)學期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.第35頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1方差與標準差的定義定義2.3.1

若E(X

E(X))2存在，則稱

E(X

E(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2第36頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)稱注意點

X

=

(X)=(1)方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.方差越大,則隨機變量的取值越分散.為X的標準差.標準差的量綱與隨機變量的量綱相同.第37頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.性質(zhì)2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)2.3.3(3)Var(X)=E(X2)

[E(X)]2.性質(zhì)2.3.1第38頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.1

設X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)

[E(X)2]=7/6

1=1/6第39頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習

設則方差

Var(X)=()。問題：Var(X)=1/6,為什么？第40頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的標準化設Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X的標準化.第41頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3切比雪夫不等式

設隨機變量X的方差存在(這時均值也存在),則對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立第42頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.3.2設X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)

(EX)2=n+1,(這里,

=n+1)由此得第43頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1第44頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4

常用離散分布

2.4.1

二項分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),當n=1時，稱b(1,p)為0-1分布.第45頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y為不合格品件數(shù)，Y

？Y~b(4,0.2)一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,每次一件,則取得合格品件數(shù)X服從二項分布.第46頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.1設X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第47頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月若隨機變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布,

記為X~P(

).2.4.2泊松分布第48頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松定理定理2.4.1(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn

為一次試驗中成功的概率.若npn

，則第49頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月記為X~h(n,N,M).超幾何分布對應于不返回抽樣模型

：N個產(chǎn)品中有M個不合格品，從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X.2.4.3超幾何分布第50頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月記為X~Ge(p)

X為獨立重復的伯努里試驗中，“首次成功”時的試驗次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4幾何分布第51頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月負二項分布(巴斯卡分布)記為X~Nb(r,p).X為獨立重復的伯努里試驗中，“第r次成功”時的試驗次數(shù).第52頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點

(1)二項隨機變量是獨立0-1隨機變量之和.

(2)負二項隨機變量是獨立幾何隨機變量之和.第53頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月常用離散分布的數(shù)學期望

幾何分布Ge(p)的數(shù)學期望=1/p

0-1分布的數(shù)學期望=p

二項分布b(n,p)的數(shù)學期望=np

泊松分布P(

)的數(shù)學期望=

第54頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二項分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1

p)/p2第55頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.5

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。第56頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月記為X~N(

,

2),其中

>0，

是任意實數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).2.5.1正態(tài)分布第57頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月yxOμ第58頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)關于

是對稱的.p(x)x0μ在

點p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動,

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.第59頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月p(x)x0x

x標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).第60頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

(x)的計算(1)x

0時,查標準正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

第61頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.1設X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第62頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月設X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,故b=1.66而

(a)=0.0495<1/2,所以a<0,

(

a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=

1.65例2.5.2第63頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月一般正態(tài)分布的標準化定理2.5.1

設X~N(

,

2),則Y~N(0,1).推論:

若X~N(

,

2),則第64頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月若X~N(

,

2),則

P(X<a)=，P(X>a)=

第65頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月設X~N(10,4),求P(10<X<13),P(|X

10|<2).解:

P(10<X<13)=

(1.5)

(0)=0.9332

0.5P(|X

10|<2)=

P(8<X<12)=2

(1)

1=0.6826=0.4332例2.5.3第66頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X~N(

,

2),P(X

5)=0.045,

P(X

3)=0.618,求

及

.例2.5.4

=1.76

=4解:

第67頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},則k=().3課堂練習(1)第68頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X~N(

,42),Y~N(

,52),記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥

+5},則()①對任意的

，都有p1=p2

②對任意的

，都有p1<p2

③只個別的

，才有p1=p2

④對任意的

，都有p1>p2①課堂練習(2)第69頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X~N(

,

2),則隨

的增大，概率P{|X

|<

}()①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定③課堂練習(3)第70頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的3

原則設X~N(

,

2),則

P(|X

|<

)=0.6828.

P(|X

|<2

)=0.9545.

P(|X

|<3

)=0.9973.第71頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月記為X~U(a,b)2.5.2均勻分布第72頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月

X~U(2,5).現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率.解：記A={X>3},

則P(A)=P(X>3)=2/3設Y表示三次獨立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~b(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第73頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5.3指數(shù)分布記為X~Exp(

),其中

>0.特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)第74頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5.4伽瑪分布記為X~Ga(

,

),其中

>0，

>0.為伽瑪函數(shù).稱第75頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點

(1)

(1)=1,

(1/2)=

(n+1)=n!

(2)Ga(1,

)=Exp(

)Ga(n/2,1/2)=

2(n)第76頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5.5貝塔分布記為X~Be(a,b),其中a>0，b>0.稱為貝塔函數(shù).第77頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月注意點

(1)

(2)

B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=

(a)

(b)/

(a+b)(3)

Be(1,1)=U(0,1)第78頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月常用連續(xù)分布的數(shù)學期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp(

):E(X)=1/

正態(tài)分布N(

,2):E(X)=

伽瑪分布Ga(

,

):E(X)=

/

貝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第79頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp(

)的方差=1/

2

正態(tài)分布N(

,

2)的方差=

2第80頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.6已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,則參數(shù)n,p的值為多少？例2.5.7設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,則E(X2)的值為多少？解：從2.4=np,1.44=np(1

p)中解得解：因為E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.

E(X2)=Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4第81頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月設E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對任意常數(shù)C，必有（）.④課堂練習第82頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.6隨機變量函數(shù)的分布問題：已知X的分布，求Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=

X2.第83頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月當X為離散隨機變量時，Y=g(X)為離散隨機變量.將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.2.6.1離散隨機變量函數(shù)的分布第84頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月2.6.2連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布定理2.6.1設X~pX(x)，y=g(x)是x的嚴格單調(diào)函數(shù)，記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù),且h(y)連續(xù)可導，則Y=g(X)的密度函數(shù)為:第85頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.6.1

設X~求Y=eX的分布.y=ex單調(diào)可導,反函數(shù)x=h(y)=lny,所以當y>0時,由此得解：第86頁，課件共98頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2設X