《復(fù)變函數(shù)》教案 第二章 解析函數(shù) 伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系

《復(fù)變函數(shù)》教案第二章解析函數(shù)伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系PAGEPAGE3第二章解析函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)的概念與柯西—黎曼（C.-R.）條件教學(xué)課題：第一節(jié)解析函數(shù)的概念與柯西——黎曼（C.-R.）條件教學(xué)目的：1、了解復(fù)數(shù)域中函數(shù)可導(dǎo)、解析與連續(xù)的定義；2、理解可導(dǎo)、解析與連續(xù)的關(guān)系；3、充分掌握解析函數(shù)的運算法則、C-R條件及有關(guān)定理與公式；4、深刻理解解析函數(shù)的等價刻畫定理的內(nèi)容及涵義。教學(xué)重點：C.-R.條件及有關(guān)定理與公式教學(xué)難點：解析函數(shù)的等價刻畫定理的內(nèi)容及涵義教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：通過了解復(fù)數(shù)域中函數(shù)可導(dǎo)、解析與連續(xù)的定義以及可導(dǎo)、解析與連續(xù)的關(guān)系，充分掌握解析函數(shù)這一重要概念以及運算法則、C.-R.條件是判斷復(fù)變函數(shù)在一點可微或在一區(qū)域內(nèi)解析的主要條件。教學(xué)過程：1、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定義2.1設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)（或含的區(qū)域內(nèi)）有定義。如果極限存在，為復(fù)數(shù)，則稱在處可導(dǎo)或可微，極限稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，或。注極限是按任意方式趨于零時都存在。設(shè)函數(shù)w=f(z)在z點可導(dǎo)，于是為比高階的無窮小。稱為函數(shù)w=f(z)在z點的微分，記為特別當(dāng)由此可見，f(z)在點z可導(dǎo)與可微是等價的。函數(shù)由在點可導(dǎo)與可微的概念與數(shù)學(xué)分析中的可導(dǎo)與可微這兩個概念相類似，因此數(shù)學(xué)分析中求導(dǎo)基本公式，均可類似地推廣到復(fù)變函數(shù)中來．同時，與數(shù)學(xué)分析中一樣，函數(shù)在點可微，則在點連續(xù)，反之不一定成立，但在數(shù)學(xué)分析中，要構(gòu)造一個處處連續(xù)又處處不可微的例子是一件非常困難的事情，而在復(fù)變函數(shù)中，這樣的例子卻幾乎是隨手可得．例2.1在平面上處處不可微．證明：由第一章習(xí)題11，知在平面上處處連續(xù)，但對于任意一點．當(dāng)取實數(shù)趨于零時，上述極限為，而當(dāng)取純虛數(shù)趨于零時，上述極限為，因此上述極限不存在，即在點不可導(dǎo)，由的任意性知在點平面上處處不可微．如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都可微，則稱在區(qū)域內(nèi)可微．例2.2（為正整數(shù)）在平面上可微，且即2解析函數(shù)極其簡單性質(zhì)：定義2.2：如果在及的某個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在處解析；如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，則我們稱在內(nèi)解析，也稱是的解析函數(shù)（或全純函數(shù)、正則函數(shù)）。解析函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)一般記為或。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對象，它與相伴區(qū)域密切相關(guān)．以后說到在某點解析．則表示在該點的某一鄰域內(nèi)解析，說在閉域上解析，則表示在包含的某個區(qū)域內(nèi)解析．因而解析這個概念要比可微的概念條件要強得多．注解1、語言，如果任給，可以找到一個與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時，，注解2、解析性與連續(xù)性：在一個點的可導(dǎo)性的函數(shù)必然是這個點上的連續(xù)函數(shù)；注解3、解析性與可導(dǎo)性：在一個點的可導(dǎo)性是一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解4、函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內(nèi)解析，因此在此點可導(dǎo)；反之，在一個點的可導(dǎo)性不能得到在這個點解析。定義2.3若f(z)在點不解析，但在得任何鄰域內(nèi)總有f(z)的解析點，則稱為的奇點。解析函數(shù)的四則運算：（1）和在區(qū)域內(nèi)解析，那么，，（分母不為零）也在區(qū)域內(nèi)解析，并且有下面的導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：。（2）復(fù)合求導(dǎo)法則：設(shè)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，而且當(dāng)時，，那么復(fù)合函數(shù)在內(nèi)解析，并且有求導(dǎo)的例子：（1）、如果（常數(shù)），那么；（2）、，；（3）、的任何多項式在整個復(fù)平面解析，并且有（4）、在復(fù)平面上，任何有理函數(shù)，除去使分母為零的點外是解析的，它的導(dǎo)數(shù)的求法與z是實變量時相同。例2.3設(shè)多項式，則由例2.2及基本性質(zhì)（１）知，在平面上解析，且例2.4設(shè)，則由例2.2及基本性質(zhì)（２）知有對于參數(shù)方程，則可直接由定義2.1求得3、柯西-黎曼條件可微復(fù)變函數(shù)的實部與虛部滿足下面的定理：定理2.1設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在點可微的必要條件是：u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在；u(x,y)和v(x,y)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）證明設(shè)在有導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)時（）其中，。比較上式的實部與虛部，得因此，由實變二元函數(shù)的可微性定義知，u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。定理2（可微的必要條件）設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，且在內(nèi)一點可微，則有（１）在點處偏導(dǎo)數(shù)都存在；（２），在點滿足條件，但定理2.1的逆不成立．例2.5函數(shù)在滿足定理2.1的條件，在不可微．證明但是由于因此當(dāng)沿著射線隨著時，它是一個與有關(guān)的值，故不存在，即在不可微，但是，只要適當(dāng)加強定理2的條件，就可得到定理2.2（可微的充要條件）設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在點可微的充要條件是：實部u(x,y)和虛部v(x,y)在(x,y)處可微；（2）u(x,y)和v(x,y)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）證明：（必要性）設(shè)在有導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)時（）其中，。比較上式的實部與虛部，得因此，由實變二元函數(shù)的可微性定義知，u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）設(shè)u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：設(shè)則由可微性的定義，有：令，當(dāng)（）時，有令，則有所以，f(x,y)在點可微的。推論2.3（可微的充分條件）設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微的充分條件是：二元函數(shù)u(x,y)和v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù)；u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）定理2.4設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：二元函數(shù)u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微；u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）關(guān)于柯西-黎曼條件，有下面的注解：注解1、解析函數(shù)的實部與虛部不是完全獨立的，它們是C-R方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時得到得；注解2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡潔：注解3、利用此定理，可以判斷一個復(fù)變函數(shù)是否在一點可微或在一個區(qū)域內(nèi)解析：如以及在整個復(fù)平面內(nèi)解析，而在任何點都不可微。定理2.5設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分條件是：二元函數(shù)u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù)；u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）3、例題例1證明在任何點都不可微。解，四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，但任何點都不滿足方程，故在任何點都不可微。例2試討論定義于復(fù)平面內(nèi)的函數(shù)的可導(dǎo)性。解：四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，且在復(fù)平面內(nèi)滿足方程，故在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)。例3設(shè)函數(shù)在復(fù)平面可導(dǎo)，試確定常數(shù)之值。解由方程得（1）（2）由（1）得（3）由（2）得（4）（5）解（3），（4），（5）得。例2.6討論的解析性．解：只在處滿足條件，故只在可微，因此在平面上處處不解析．例2.7試證在平面上處處解析，且．證明：，．在平面上處處可微，且滿足條件，故由定理2.2知在平面上處處解析．且由公式（2.8）知例2.8討論的的可微性和解析性。第二節(jié)初等解析函數(shù)教學(xué)課題：第二節(jié)初等解析函數(shù)教學(xué)目的：1、了解復(fù)正、余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；2、了解正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性；3、理解指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)；4、充分掌握整冪函數(shù)及有理函數(shù)的解析性；教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)教學(xué)難點：正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：這一節(jié)主要是討論初等單值函數(shù)的解析性，這可從他們的可微性來判定，他們是數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的自然推廣。教學(xué)過程：1、指數(shù)函數(shù)定義2.4對于任何復(fù)數(shù)我們用關(guān)系式來規(guī)定指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它有如下性質(zhì)：當(dāng)（為實數(shù)）時，則即為通常的實指數(shù)函數(shù)．(2)（故），．(3)在平面上解析，且（例2.7）(4)加法定理成立，即(5)以為基本周期．因為對任意整數(shù)，．(6)不存在．因為當(dāng)沿實軸趨于時，，當(dāng)沿實軸趨于時，，當(dāng)時就得到歐拉公式即是歐拉公式的推廣．2、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)：由于Euler公式，對任何實數(shù)x，我們有：，所以有因此，對任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：則對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù):4、；證明：，所以5、注解：由于負(fù)數(shù)可以開平方，所以由此不能得到，例如z=2i時，有6、cosz和sinz在整個復(fù)平面解析，并且有：證明：7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點：cosz在復(fù)平面的零點是，，sinz在復(fù)平面的零點是，。8、同理可以定義其他三角函數(shù)：雙曲函數(shù)規(guī)定并分別稱為z的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙區(qū)余切、雙曲正割及雙曲余割。這四個函數(shù)均在平面上除墳?zāi)篂榱愕狞c外解析，且．正切、余切的基本周期為，正割、余割的基本周期為．第三節(jié)初等多值函數(shù)教學(xué)課題：第三節(jié)初等多值函數(shù)教學(xué)目的：1、了解冪函數(shù)w=、指數(shù)函數(shù)的單葉性區(qū)域；2、了解根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系3、了解具有多個支點的多值函數(shù)；教學(xué)重點：冪函數(shù)w=、指數(shù)函數(shù)的單葉性區(qū)域教學(xué)難點：分出根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單值解析分支教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：這一節(jié)主要是采用限制輻角或割破平面的方法來分出根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單值解析分支，要求學(xué)生充分理解逐步掌握。教學(xué)過程：1、根式函數(shù)定義2。8設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，且對D內(nèi)任意不同的兩點都有則稱函數(shù)f(z)在D內(nèi)是單葉的。并稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域。定義2.9我們規(guī)定根式函數(shù)的反函數(shù)冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域利用對數(shù)函數(shù)，可以定義冪函數(shù)：設(shè)a是任何復(fù)數(shù)，則定義z的a次冪函數(shù)為當(dāng)a為正實數(shù)，且z=0時，還規(guī)定。由于因此，對同一個的不同數(shù)值的個數(shù)等于不同數(shù)值的因子個數(shù)。因此，有下面的結(jié)論：冪函數(shù)的基本性質(zhì)：由于對數(shù)函數(shù)的多值性，冪函數(shù)一般是一個多值函數(shù)；當(dāng)是正整數(shù)時，冪函數(shù)是一個單值函數(shù)；當(dāng)（當(dāng)n是正整數(shù)）時，冪函數(shù)是一個n值函數(shù)；當(dāng)是有理數(shù)時，冪函數(shù)是一個n值函數(shù)；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)是一個無窮值多值函數(shù)。設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們可以把Lnz分成無窮個解析分支。對于Lnz的一個解析分支，相應(yīng)地有一個單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，的這個單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且,其中應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)的那個分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。對應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時，在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng)時，在G內(nèi)有n個解析分支；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)在G內(nèi)有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數(shù)。例如當(dāng)n是大于1的整數(shù)時，稱為根式函數(shù)，它是的反函數(shù)。當(dāng)時，有這是一個n值函數(shù)。在復(fù)平面上以負(fù)實軸（包括0）為割線而得得區(qū)域D內(nèi)，它有n個不同的解析分支：它們也可以記作，這些分支在負(fù)實軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。當(dāng)a不是整數(shù)時，原點及無窮遠點是的支點。但按照a是有理數(shù)或者a不是有理數(shù)，這兩個支點具有完全不同的性質(zhì)。為了理解這些結(jié)論，我們在0或無窮遠點的充分小的鄰域內(nèi)，任作一條簡單閉曲線C圍繞0或無窮遠點。在C上任取一點，確定Argz在的一個值；相應(yīng)地確定,在的一個值?，F(xiàn)在考慮下列兩種情況：(1)a是有理數(shù)，當(dāng)一點z從出發(fā)按反時針或順時針方向連續(xù)變動n周時，argz從連續(xù)變動到，而則從相應(yīng)地連續(xù)變動到,也即第一次回到了它從出發(fā)時的值。這時，我們稱原點和無窮遠點是的n-1階支點，也稱n-1為階代數(shù)支點。（2）a不是有理數(shù)時，容易驗證原點和無窮遠點是的無窮階支點。當(dāng)a不是整數(shù)時，由于原點和無窮遠點是的支點，所以任取連接這兩個支點的一條簡單連續(xù)曲線作為割線，得一個區(qū)域。在內(nèi)，可以把分解成解析分支。關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實數(shù)時的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：設(shè)是一個實數(shù)，并且。在z平面上取正實數(shù)軸（包括原點）作為割線，得到一個區(qū)域D*?？紤]D*內(nèi)的角形，并取在D*內(nèi)的一個解析分支當(dāng)z描出A內(nèi)的一條射線時（不包括0），w在w平面描出一條射線。讓從0增加到（不包括0及），那么射線l掃過角形A，而相應(yīng)的射線掃過角形，因此把夾角為的角形雙射成一個夾角為的角形，同時，這個函數(shù)把A中以原點為心的圓弧映射成中以原點為心的圓弧。類似地，我們有，當(dāng)n(>1)是正整數(shù)時，的n個分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面的n個角形.作出一個含i的區(qū)域，使得函數(shù)在這個區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個分支在i點的值。解：由于我們先求函數(shù)w的支點。因為的支點是0及無窮遠點，所以函數(shù)w可能的支點是0、1、2及無窮遠點。任作一條簡單連續(xù)閉曲線C，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含0，但不包含1及2。設(shè)是C上一點，我們確定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在這點的值分別為。當(dāng)z從按反時針方向沿C連續(xù)變動一周時，通過連續(xù)變動可以看到，增加了，而沒有變化，于是w在的值就從連續(xù)變動到因此0是函數(shù)w的一個支點；同時，任作一條簡單連續(xù)閉曲線C，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含1，但不包含0及2。設(shè)是C上一點，我們確定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在這點的值分別為。當(dāng)z從按反時針方向沿C連續(xù)變動一周時，通過連續(xù)變動可以看到，增加了，而沒有變化，于是w在的值就從連續(xù)變動到因此1也是函數(shù)w的一個支點；同理，2和無窮遠點也是它的支點。支點確定后，我們作區(qū)域，把函數(shù)分解成單值解析分支。首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0、1、2及無窮遠點的任意無界簡單連續(xù)曲線作為割線，在所得區(qū)域內(nèi)，可以把w分解成連續(xù)分支。例如可取作為復(fù)平面上這樣的割線，得區(qū)域D。其次，任作作一條簡單連續(xù)閉曲線，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域包含這三個點中的兩個，但不包含另外一點。設(shè)是上一點，確定w在的一個值，同樣的討論，有當(dāng)z從沿連續(xù)變化一周回到時，連續(xù)變化而得的值沒有變化。所以，我們可以作為割線如下，取線段[0,1]及從2出發(fā)且不與[0,1]相交的射線為割線，也可以把分解成連續(xù)分支。例如取在所得區(qū)域內(nèi)，可以把w分解成連續(xù)分支。例如可取[0,1]及作為復(fù)平面上的割線，得區(qū)域。求w在上述區(qū)域中的一個解析分支在z=i的值。在z=-1，取于是在D或內(nèi)，w可以分解成兩個解析分支由于所求的分支在z=-1的值為，可見這個分支是由下圖可以得到，在D或內(nèi)z=i處，因此w的所求分支在z=i的值是.例2、 驗證函數(shù)在區(qū)域D=C-[0,1]內(nèi)可以分解成解析分支；求出這個函數(shù)在(0,1)上沿取正實值的一個分支在處的值及函數(shù)在(0,1)下沿的值。證明：我們有則及是的三階支點，而無窮遠點不是它的支點。事實上，任作作一條簡單連續(xù)閉曲線C*，使其內(nèi)區(qū)域包含0、1，設(shè)z*是C*上一點，確定w在z*的一個值，當(dāng)z從z*沿C*連續(xù)變化一周回到z*時，w連續(xù)變化而得的值沒有變化。因此，在區(qū)域D=C-[0,1]內(nèi)，可以把w分解成解析分支?，F(xiàn)在選取在(0,1)上沿取正實值的那一支，即在(0,1)上沿，其中0<x<1，根號表示算術(shù)根。求這一支在z=-1的值。在(0,1)上沿，取argz=0，arg(1-z)=0。于是所求的一支為其中0<x<1，根號表示算術(shù)根。求這一支在z=-1的在D內(nèi)z=-1處于是w的指定的一支在z=-1處的值是.最后，考慮上述單值分支在(0,1)下沿取值的情況。在區(qū)域D內(nèi)，當(dāng)z沿右邊的曲線，從(0,1)上沿變動到(0,1)下沿時，argz沒有變化，而arg(1-z)減少了，于是在(0,1)的下沿，有當(dāng)z沿左邊的曲線，從(0,1)上沿變動到(0,1)下沿時，argz增加了，而arg(1-z)沒有變化，于是在(0,1)的下沿，有因此，無論怎樣，當(dāng)z=x在(0,1)的下沿時，上述單值分支的值是.5、反正切函數(shù)：由函數(shù)所定義的函數(shù)w稱為z的反正切函數(shù)，記作，由于，令，得到，從而，所以反正切函數(shù)是多值解析函數(shù)，它的支點是，無窮遠點不是它的支點。根式函數(shù)定義2.7規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù).冪函數(shù)的變換（映射）性質(zhì)及其單葉性區(qū)域.冪函數(shù)在平面上單值解析，它把擴充平面變成擴充平面，且分別對應(yīng)于.可是由知道，每一個不為零或的，在平面上有幾個原像.且此個點分布在以原點為中心的正角形的頂點上.于是在平面上就是值的.設(shè)則成為.由（2）知，（1）把從原點出發(fā)的射線變成從原點出發(fā)的射線，并把圓周變成.(如圖2.2)圖2.2當(dāng)平面上的動射線從射線掃動到射線時，在變換下的像，就在平面上射線掃動到射線，從而，平面上的三角形就被變成平面上的角形.特別，變換（1）把平面上的角形變成平面除去原點及負(fù)實軸的區(qū)域.一般地，變換（1）把張度的個角形.都變成平面除去原點及負(fù)實軸的區(qū)域.下圖是的情形.圖2.3區(qū)域是（1）的單葉性區(qū)域的充要條件是：對于內(nèi)任一點，滿足下面等式的點不屬于.即：冪函數(shù)的單葉性區(qū)域，是頂點在原點，張度不超過的角形區(qū)域.分出的單值解析分支.設(shè)出現(xiàn)多值性的原因是由于確定后，其輻角并不唯一確定.今在平面上從原點到點任意引一條射線（或一條無界簡單曲線）.將平面割破.割破了的平面構(gòu)成一個以此割線為邊界的區(qū)域，記為.在內(nèi)隨意指定一點，并指定的一個輻角值，則在內(nèi)任意的點，皆可根據(jù)的輻角，依連續(xù)變化而唯一確定的輻角.設(shè)（給定，只有一個與之對應(yīng)）則是區(qū)域上的單值解析函數(shù).事實上，由于與都是連續(xù)函數(shù).故也是的連續(xù)函數(shù).又解每一個為的一個解析分支.（3）的支點與支割線.定義：設(shè)為多值函數(shù)，為一定點，作小圓周，若變點沿轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點時，函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱為的支點，如就是其一個支點，這時繞轉(zhuǎn)一周也可看作繞點轉(zhuǎn)一周，故點也是其一個支點.定義2.8設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線.如可以以負(fù)實軸為支割線.附：支割線可以有兩岸.單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.對，當(dāng)以負(fù)實軸為支割線時，當(dāng)時取正值的那個分支稱為主值支.例2.9設(shè)定義在從原點起沿負(fù)實軸，割開了的平面上，且.求的值.解：求：當(dāng)時，由知.作業(yè)：第93頁22，23二、對數(shù)函數(shù)1、定義2.9方程的根稱為的對數(shù)，記為.設(shè)則當(dāng)時，稱為主值（支）.注：區(qū)別和.例2.102、性質(zhì)：證：注：三、指數(shù)函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域設(shè)由知（）故變換若即為單葉性區(qū)域若則故四．分出的單值解析分支設(shè)，令（為固