食品實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析

第六章直線回歸與有關(guān)

客觀事物在發(fā)展過(guò)程中是互相聯(lián)系、互相影響，經(jīng)常要研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量間關(guān)系。下一張

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1回歸與有關(guān)概念一類是完全確定性關(guān)系，又稱函數(shù)關(guān)系，能夠用精確數(shù)學(xué)體現(xiàn)式來(lái)表達(dá)，即當(dāng)變量x值取定后，變量y有唯一確定值與之對(duì)應(yīng)。

如長(zhǎng)方形面積（S）與長(zhǎng)（a）和寬（b）關(guān)系：S=ab。它們之間關(guān)系是確定性，只要懂得了其中兩個(gè)變量值就能夠精確地計(jì)算出另一種變量值，此類變量間關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。多種變量間關(guān)系大體可分為兩類：確定性關(guān)系非確定性關(guān)系2/74

如人身高與體重關(guān)系，作物種植密度與產(chǎn)量關(guān)系，食品價(jià)格與需求量關(guān)系等等，這些變量間都存在著十分密切關(guān)系，但不能由一種或幾個(gè)變量值精確地求出另一種變量值。統(tǒng)計(jì)學(xué)中把這些變量間關(guān)系稱為有關(guān)關(guān)系，把存在有關(guān)關(guān)系變量稱為有關(guān)變量。下一張

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另一類是非確定性關(guān)系，不能用精確數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)，當(dāng)變量x值取定后，y有若干種也許取值。在一定范圍內(nèi)，對(duì)一種變量任意數(shù)值（Xi），雖然沒(méi)有另一種變量確實(shí)定數(shù)值yi與之對(duì)應(yīng)，不過(guò)卻有一種特定yi條件概率分布與之對(duì)應(yīng)，這種變量不確定關(guān)系，稱為有關(guān)關(guān)系。3/74一種是因果關(guān)系，即一種變量變化受另一種或幾個(gè)變量影響。如小麥生長(zhǎng)速度受遺傳特性、營(yíng)養(yǎng)水平、管理?xiàng)l件等原因影響。另一種是平行關(guān)系，它們互為因果或共同受到另外原因影響。如人身高和胸圍之間關(guān)系屬于平行關(guān)系。下一張

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有關(guān)變量間關(guān)系一般分為兩種:4/74研究“一因一果”，即一種自變量與一種依變量回歸分析稱為一元回歸分析；研究“多因一果”，即多種自變量與一種依變量回歸分析稱為多元回歸分析。一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種；多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。下一張

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統(tǒng)計(jì)學(xué)上采取回歸分析（regressionanalysis）辦法研究呈因果關(guān)系有關(guān)變量間關(guān)系。表達(dá)原因變量稱為自變量，表達(dá)成果變量稱為依變量。5/74回歸分析任務(wù)就是揭示出呈因果關(guān)系有關(guān)變量間聯(lián)系形式，建立它們之間回歸方程，利用所建立回歸方程，由自變量（原因）來(lái)預(yù)測(cè)、控制依變量（成果）?；貧w分析主要包括：找出回歸方程；檢查回歸方程是否顯著；通過(guò)回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)或控制另一變量。6/74對(duì)多種變量進(jìn)行有關(guān)分析時(shí)，研究一種變量與多種變量間線性有關(guān)稱為復(fù)有關(guān)分析；研究其他變量保持不變情況下兩個(gè)變量間線性有關(guān)稱為偏有關(guān)分析。下一張

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統(tǒng)計(jì)學(xué)上采取有關(guān)分析(correlationanalysis)來(lái)研究呈平行關(guān)系有關(guān)變量之間關(guān)系。對(duì)兩個(gè)變量間直線關(guān)系進(jìn)行有關(guān)分析稱為簡(jiǎn)單有關(guān)分析（也叫直線有關(guān)分析）；7/748/742直線回歸

2.1直線回歸方程建立

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為了直觀地看出x和y間變化趨勢(shì)，可將每一對(duì)觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖（見(jiàn)圖6-1）。2.1.1數(shù)學(xué)模型對(duì)于兩個(gè)有關(guān)變量，一種變量用x表達(dá)，另一種變量用y表達(dá)，假如通過(guò)試驗(yàn)或調(diào)查取得兩個(gè)變量n對(duì)觀測(cè)值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）9/74圖6-1x與y關(guān)系散點(diǎn)圖10/74

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散點(diǎn)圖可直觀地、定性地表達(dá)了兩個(gè)變量之間關(guān)系。為了探討它們之間規(guī)律性，還必須根據(jù)觀測(cè)值將其內(nèi)在關(guān)系定量地體現(xiàn)出來(lái)。①兩個(gè)變量間有關(guān)或無(wú)關(guān)；若有關(guān)，兩個(gè)變量間關(guān)系類型，是直線型還是曲線型；由散點(diǎn)圖（圖6-1）能夠看出：②兩個(gè)變量間直線關(guān)系性質(zhì)（是正有關(guān)還是負(fù)有關(guān)）和程度（是有關(guān)密切還是不密切）；11/74由于依變量y實(shí)際觀測(cè)值總是帶有隨機(jī)誤差，因而依變量y實(shí)際觀測(cè)值yi可用自變量x實(shí)際觀測(cè)值xi表達(dá)為：（i=1,2,…,n）（6-1）若呈因果關(guān)系兩個(gè)有關(guān)變量y（依變量）與x（自變量）間關(guān)系是直線關(guān)系，，那么，根據(jù)n對(duì)觀測(cè)值所描出散點(diǎn)圖，如圖6-1（b）和圖6-1（e）所示。式中：α，β為未知參數(shù)，

i為互相獨(dú)立，且服從N（0，）隨機(jī)變量。這就是直線回歸數(shù)學(xué)模型。12/74總體線性回歸模型圖示YX觀測(cè)值觀測(cè)值13/74總體線性回歸模型因變量自變量參數(shù)隨機(jī)誤差y條件平均數(shù)14/74下一張

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設(shè)回歸直線方程為:（6-2）2.1.2參數(shù)α，β估計(jì)其中，是α估計(jì)值，b是β估計(jì)值。最小二乘估計(jì)法15/74建立樣本線性回歸方程辦法

最小二乘法實(shí)際觀測(cè)值與樣本回歸線上點(diǎn)距離平方和最小xye1e2e3e4最小16/74、b應(yīng)使回歸估計(jì)值與實(shí)際觀測(cè)值y偏差平方和最小，即：總離回歸平方和，即剩下平方和根據(jù)微積分學(xué)中求極值辦法，令Q對(duì)a、b一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，即：最?。?-3）（6-4）17/74經(jīng)整頓，得有關(guān)a、b正規(guī)方程組：下一張

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解正規(guī)方程組，得：（6-5）（6-7）18/74

在6-7式中，分子為自變量x離均差與依變量y離均差乘積和，簡(jiǎn)稱乘積和，記作，分母是自變量x離均差平方和，記作SSX。

所以19/74a為回歸截距（regressionintercept），是回歸直線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，；b為回歸系數(shù)（regressioncoefficient），表達(dá)x變化一種單位，y平均變化數(shù)量；b符號(hào)反應(yīng)了x影響y性質(zhì)，b絕對(duì)值大小反應(yīng)了x影響y程度；為回歸估計(jì)值，是當(dāng)x在其研究范圍內(nèi)取某一種值時(shí)，y值平均數(shù)估計(jì)值。

20/74假如將式代入（6-2）式，可得到回歸方程中心化形式：下一張

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性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3回歸直線通過(guò)點(diǎn)回歸方程基本性質(zhì)：21/74【例6-1】食品感官評(píng)定期，測(cè)得食品甜度與蔗糖濃度關(guān)系如表6-2所示，試建立y與x直線回歸方程。2.1.3計(jì)算示例蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)x%1.03.04.05.57.08.09.5甜度y1518192122.623.826表6-2食品甜度與蔗糖濃度關(guān)系22/74（1）作散點(diǎn)圖以蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)（x）為橫坐標(biāo)，甜度（y）為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，如圖6-2所示。圖6-223/74（2）計(jì)算回歸截距a，回歸系數(shù)b，建立直線回歸方程下一張

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首先根據(jù)實(shí)際觀測(cè)值計(jì)算出下列數(shù)據(jù)：24/74

因此，甜度y對(duì)蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)x直線回歸方程為：然后計(jì)算出b、a：25/74以上計(jì)算也可在回歸計(jì)算表中進(jìn)行。序號(hào)kXkYkXk2XkYkYk211.015.01.0015.0225.0023.018.09.0054.0324.0034.019.016.0076.0361.0045.521.030.25115.5441.0057.022.649.00158.2510.7668.023.864.00190.4566.4479.526.090.25247.0676.00∑38.0145.4259.50856.13104.20回歸方程計(jì)算表1（一級(jí)數(shù)據(jù)）26/74∑Xk=38.0

∑Yk=145.4

n=7

x=5.4286y=20.7714∑Xk2=259.50∑XkYk=856.1∑Yk2=3104.20（∑Xk）2/n=206.2857（∑Xk∑Yk）/n=789.3143（∑Yk）2/n=3020.1657Lxx=53.2143Lxy=66.7857Lyy=84.0343b=Lxy/Lxx＝66.7857/53.2143＝1.255b0=y-bx＝20.7714-1.255×5.4286=13.9585

Y=13.9585+1.255X回歸方程計(jì)算表2（二級(jí)數(shù)據(jù)）注：x，y分別為X，Y平均數(shù)27/74根據(jù)直線回歸方程可作出回歸直線，見(jiàn)圖。從圖看出，并不是所有散點(diǎn)都正好落在回歸直線上，這說(shuō)明用去估計(jì)y是有偏差。下一張

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28/74

附：直線回歸偏離度估計(jì)

偏差平方和大小表達(dá)了實(shí)測(cè)點(diǎn)與回歸直線偏離程度，因而此偏差平方和又稱為離回歸平方和。統(tǒng)計(jì)學(xué)證明：在直線回歸分析中離回歸平方和自由度為n-2。那么，離回歸均方為：離回歸均方是模型（6-1）中σ2估計(jì)值。離回歸均方平方根叫離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤，記為，29/74

離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx大小表達(dá)了回歸直線與實(shí)測(cè)點(diǎn)偏差程度，即回歸估測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值y偏離（差）程度，因此，用離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx來(lái)表達(dá)回歸方程偏離度。下一張

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30/74對(duì)于【例6.1】有因此，離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤為離回歸平方和：由上式計(jì)算出，然后求出離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx。31/74假如x和y變量間并不存在直線關(guān)系，但由n對(duì)觀測(cè)值（xi，yi）也能夠根據(jù)上面介紹辦法求得一種回歸方程=a+bx。顯然，這樣回歸方程所反應(yīng)兩個(gè)變量間直線關(guān)系是不真實(shí)。如何判斷直線回歸方程所反應(yīng)兩個(gè)變量間直線關(guān)系真實(shí)性呢？這取決于變量x與y間是否存在直線關(guān)系。從y變異著手來(lái)分析。下一張

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2.2直線回歸方程顯著性檢查32/74圖6-3分解圖2.2.1直線回歸變異起源y總變異分解33/74

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由于因此于是由圖6-3能夠看出：上式兩端平方，然后對(duì)所有n點(diǎn)求和，則有34/74

因此有（6-9）反應(yīng)了y總變異程度，稱為y總偏差平方和，記為SSy；反應(yīng)了由于y與x間存在直線關(guān)系所引發(fā)y變異程度，稱為回歸平方和，記為SSR；35/74反應(yīng)了除y與x存在直線關(guān)系以外一切原因（包括x對(duì)y非線性影響及其他一切未加控制隨機(jī)原因）所引發(fā)y變異程度，稱為離回歸平方和或剩下平方和，記為SSr或SSe。因此，y總變異平方和可分解為：下一張

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表白y總平方和可剖分為回歸平方和與離回歸平方和兩部分。與此相對(duì)應(yīng)，y總自由度dfy也可分解為回歸自由度dfr與離回歸自由度dfr兩部分，即36/74在直線回歸分析中，回歸自由度等于自變量個(gè)數(shù)，即；y總自由度；離回歸自由度。于是：離回歸均方，回歸均方。37/74

x與y兩個(gè)變量間是否存在直線關(guān)系，可用F檢查法進(jìn)行檢查。無(wú)效假設(shè)HO：

=0，備擇假設(shè)HA：

≠0。在無(wú)效假設(shè)成立條件下，回歸均方與離回歸均方比值服從和F分布，因此，能夠用下式來(lái)檢查回歸方程顯著性。下一張

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2.2.2回歸關(guān)系（方程）顯著性檢查—F檢查df1=1，df2=n-2（6-10）38/74回歸平方和計(jì)算：下一張

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根據(jù)（6-9）式，可得到離回歸平方和計(jì)算公式為：39/74【例6.2】檢查例6-1中求得回歸方程是否顯著（a=005）方差分析列出方差分析表進(jìn)行回歸關(guān)系顯著性檢查。40/74下一張

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表6-4蔗糖濃度與甜度回歸關(guān)系方差分析表變異起源偏差平方和SS自由度df均方MSF值顯著性回歸83.8161183.81611922.39**剩下0.218250.0436總變異84.03436由于，表白甜度與蔗糖濃度間存在著極顯著直線關(guān)系。41/74采取回歸系數(shù)顯著性檢查—t檢查也可檢查x與y之間是否存在直線關(guān)系。t檢查時(shí)，無(wú)效假設(shè)HO：

=0，備擇假設(shè)HA：

≠0。2.2.3回歸系數(shù)顯著性檢查—t檢查42/74其中，Sb為回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，t檢查計(jì)算公式為：（6-11）離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx反應(yīng)回歸估測(cè)值與實(shí)測(cè)值y偏離程度t與臨界值ta（n-2）比較，以判斷顯著性。43/74對(duì)于【例8.1】資料，已計(jì)算得

故有

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44/74當(dāng)，查t值表，得

因，，

否認(rèn)HO：β＝0，接收HA：β≠0，即直線回歸系數(shù)b=1.2550是極顯著，表白蔗糖濃度與甜度大小存在極顯著直線關(guān)系，可用所建立直線回歸方程來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。

在直線回歸假設(shè)檢查中，F(xiàn)檢查成果與t檢查成果是一致。45/74尤其要指出是：利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制時(shí)，一般只適用于本來(lái)研究范圍，不能隨意把范圍擴(kuò)大，由于在研究范圍內(nèi)兩變量是直線關(guān)系，這并不能確保在這研究范圍之外仍然是直線關(guān)系。若需要擴(kuò)大預(yù)測(cè)和控制范圍，則要有充足理論根據(jù)或深入試驗(yàn)根據(jù)。利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制，一般只能內(nèi)插，不要容易外延。46/743直線有關(guān)進(jìn)行直線有關(guān)分析基本任務(wù)在于根據(jù)x、y實(shí)際觀測(cè)值，計(jì)算表達(dá)兩個(gè)有關(guān)變量x、y間線性有關(guān)程度和性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量——有關(guān)系數(shù)r，并進(jìn)行顯著性檢查。下一張

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47/743.1

決定系數(shù)和有關(guān)系數(shù)

直線回歸分析中：

由這個(gè)等式不難看到，y與x直線回歸效果好壞取決于回歸平方和與離回歸平方和大小，或者說(shuō)取決于回歸平方和在y總平方和中所占百分比大小。這個(gè)百分比越大，y與x直線回歸效果就越好，反之則差。我們把比值

叫做x對(duì)y決定系數(shù)（determination

coefficient），記為r2，即下一張

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48/74

決定系數(shù)大小表達(dá)了回歸方程估測(cè)可靠程度高低，或者說(shuō)表達(dá)了回歸直線擬合度高低，或者表達(dá)x對(duì)y變異影響大小。顯然有0≤r2≤1。如r2＝0.81，表白SSR占SSy81％，也就是說(shuō)，x決定了y變異81％，決定作用強(qiáng)。49/74

SPxy/SSx是以x為自變量、y為依變量時(shí)回歸系數(shù)byx。若把y作為自變量、x作為依變量，則回歸系數(shù)bxy=SPxy/SSy

，因此決定系數(shù)r2等于y對(duì)x回歸系數(shù)與x對(duì)y回歸系數(shù)乘積。這就是說(shuō)，決定系數(shù)反應(yīng)了x為自變量、y為依變量和y為自變量、x為依變量時(shí)兩個(gè)有關(guān)變量x與y直線有關(guān)信息，即決定系數(shù)表達(dá)了兩個(gè)互為因果關(guān)系有關(guān)變量間直線有關(guān)程度。但決定系數(shù)介于0和1之間，不能反應(yīng)直線關(guān)系性質(zhì)—是同向增減或是異向增減。下一張

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50/74有關(guān)系數(shù)可表達(dá)y與x直線有關(guān)密切程度，也可表達(dá)直線有關(guān)性質(zhì)，記為r，即（6-20）離均差積和51/74下一張

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xyxyxy15.44419.44221.937.217.538.220.437.423.836.618.941.821.635.917.042.820.038.922.936.018.642.121.038.416.142.119.737.922.838.118.140.020.736.215.844.619.640.222.036.717.840.720.439.124.237.619.139.821.839.417.442.220.440.023.433.218.939.921.537.816.843.120.837.122.934.718.440.922.338.615.942.619.738.924.634.817.939.820.735.819.939.83.2有關(guān)系數(shù)計(jì)算對(duì)【例6-5】進(jìn)行有關(guān)分析。表6-5某品種大豆籽粒脂肪x和蛋白質(zhì)y含量52/74

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X偏差平方和Y偏差平方和X、Y離差積和根據(jù)表6-5所列數(shù)據(jù)先計(jì)算出：大豆子粒內(nèi)脂肪含量和蛋白質(zhì)含量有關(guān)系數(shù)為-0.8517。那么，53/74根據(jù)實(shí)際觀測(cè)值計(jì)算得來(lái)有關(guān)系數(shù)r是樣本有關(guān)系數(shù)，它是雙變量正態(tài)總體中總體有關(guān)系數(shù)ρ估計(jì)值。樣本有關(guān)系數(shù)r是否來(lái)自ρ≠0總體，還須對(duì)樣本有關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢查。此時(shí)無(wú)效假設(shè)、備擇假設(shè)為HO:ρ=0，HA:ρ≠0。與直線回歸關(guān)系顯著性檢查同樣，可采取t檢查法與F檢查法對(duì)有關(guān)系數(shù)r顯著性進(jìn)行檢查。3.3有關(guān)系數(shù)顯著性檢查

54/74其中，，叫做有關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。

F檢查：

F=，df1=1，df2=n-2(6-22)

t檢查：t=，df=n-2(6-23)

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統(tǒng)計(jì)學(xué)家已根據(jù)有關(guān)系數(shù)r顯著性t檢查法計(jì)算出了臨界r值并列出了表格。因此能夠直接采取查表法對(duì)有關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢查。詳細(xì)作法是：先根據(jù)自由度n-2查臨界r值(附表8)，得，。若|r|＜，P＞0.05，則有關(guān)系數(shù)r不顯著，在r右上方標(biāo)識(shí)“ns”；若≤|r|＜，0.01＜P≤0.05，則有關(guān)系數(shù)r顯著，在r右上方標(biāo)識(shí)“*”；若|r|≥，P≤0.01，則相關(guān)系數(shù)r極顯著，在r右上方標(biāo)識(shí)“**”。56/74而|r|=|-0.8517|＞，P＜0.01，表白該品種大豆子粒內(nèi)脂肪含量與蛋白質(zhì)含量呈極顯著負(fù)有關(guān)。下一張

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對(duì)于【例6-5】，由于df=n-2=42-2=40，查附表8得：57/74有關(guān)系數(shù)對(duì)樣本有關(guān)關(guān)系計(jì)量58/74表白直線有關(guān)分析與回歸分析關(guān)系十分密切。它們研究對(duì)象都是呈直線關(guān)系有關(guān)變量。兩種分析所進(jìn)行顯著性檢查都是處理y與x間是否存在直線關(guān)系，二者檢查是等價(jià)。3.4有關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)關(guān)系*直線回歸分析，有自變量和依變量辨別，側(cè)重于謀求它們之間聯(lián)系形式——直線回歸方程；*直線有關(guān)分析，無(wú)自變量和依變量辨別，側(cè)重于揭示它們之間聯(lián)系程度和性質(zhì)——計(jì)算有關(guān)系數(shù)。在實(shí)際進(jìn)行直線回歸分析時(shí)，可用有關(guān)系數(shù)顯著性檢查替代直線回歸關(guān)系顯著性檢查。59/74例題xi0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1根據(jù)散點(diǎn)圖，確定回歸方程形式：計(jì)算得到：60/74線性有關(guān)性檢查：查表得：顯然，在顯著性水平=0.001下，Y與x線性有關(guān)關(guān)系高度顯著。61/74直線回歸分析與有關(guān)分析在生物科學(xué)研究領(lǐng)域中已得到了廣泛應(yīng)用，但在實(shí)際工作中卻很容易被誤用或作犯錯(cuò)誤解釋。為了正確地應(yīng)用直線回歸分析和有關(guān)分析這一工具，必須注意下列幾點(diǎn)：4應(yīng)用直線回歸與有關(guān)注意事項(xiàng)62/74（1）變量間是否存在有關(guān)

直線回歸分析和有關(guān)分析畢竟是處理變量間關(guān)系數(shù)學(xué)辦法，在將這些辦法應(yīng)用于生物科學(xué)研究時(shí)要考慮到生物本身客觀實(shí)際情況，譬如變量間是否存在直線有關(guān)以及在什么條件下會(huì)發(fā)生直線有關(guān)，求出直線回歸方程是否故意義，某性狀作為自變量或依變量確實(shí)定等等，都必須由生物科學(xué)對(duì)應(yīng)專業(yè)知識(shí)來(lái)決定，并且還要用到生物科學(xué)實(shí)踐中去檢查。假如不以一定生物科學(xué)根據(jù)為前提，把風(fēng)馬牛不相及資料隨意湊到一塊作直線回歸分析或有關(guān)分析，那將是主線性錯(cuò)誤。下一張

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（2）其他變量盡也許保持一致

由于自然界多種事物間互相聯(lián)系和互相制約，一種變量變化一般會(huì)受到許多其他變量影響，因此，在研究?jī)蓚€(gè)變量間關(guān)系時(shí)，要求其他變量應(yīng)盡也許保持在同一水平，不然，回歸分析和有關(guān)分析也許會(huì)造成完全虛假成果。例如研究人身高和胸圍之間關(guān)系，假如體重固定，身高越