第十三章 軸對稱單元練習(xí)題含解析

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第十三章軸對稱單元練習(xí)2023-2024學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊（含解析）

一、單選題

1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）下列平面圖形中，是軸對稱圖形且只有一條對稱軸的圖形是（）

A．B．C．D．

2．（2023秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，的周長為，則的周長是（）

A．B．C．D．

3．（2023秋·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，為內(nèi)一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時(shí)，的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．（2023秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，則度數(shù)為（）

A．B．C．D．

5．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（）

A．4B．5C．6D．7

6．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

二、填空題

7．（2023春·遼寧丹東·八年級校聯(lián)考期末）如圖，中，是的垂直平分線，，的周長為18，則的周長為．

8．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的值為.

9．（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）則圖，在中已知的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交點(diǎn)，若，則的周長為．

10．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D為斜邊上任意一點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于所在直線的對稱點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，；

（2）的最小值為．

三、解答題

11．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作圖，需保留作圖痕跡．

(1)請?jiān)趫D1中作以線段為底的等腰；

(2)請?jiān)趫D2中作．

12．（2023秋·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．

(1)分別畫出關(guān)于直線（直線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是1）對稱的和關(guān)于直線（直線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是）對稱的；

(2)若上有一點(diǎn)，則關(guān)于直線對稱后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，則關(guān)于直線對稱后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

13．（2023春·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中、、、．

(1)請作出四邊形關(guān)于軸對稱的四邊形，并寫出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在直線上找一點(diǎn)，使得的周長最小，在圖中標(biāo)出的位置，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（保留畫圖過程的痕跡）．

14．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，．

(1)的長為__________；

(2)點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的平分線上，連接、、，且．

①求證：是等邊三角形；

②的值是否為定值，如果是，請求出該定值；如果不是，請說明理由．

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21世紀(jì)教育網(wǎng)()

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參考答案：

1．D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義和對稱軸的定義逐個(gè)判斷即可．

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，有4條對稱軸，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對稱圖形但有2條對稱軸，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、是軸對稱圖形但只有一條對稱軸，故本選項(xiàng)符合題意

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，能熟記軸對稱圖形的定義和對稱軸的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．

2．C

【分析】由中，邊的中垂線分別交于點(diǎn)D、E，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求得，，又由的周長為，即可求得的值，繼而求得的周長．

【詳解】解：∵中，邊的中垂線分別交于點(diǎn)D、E，，

∴，

∵的周長為，

∴，

∴的周長為：．

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．

3．C

【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接交于兩點(diǎn)，則，，由題意知，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，由，，可知，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接交于兩點(diǎn)，則，，

由題意知，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，兩點(diǎn)之間線段最斷．解題的關(guān)鍵在于明確的周長最小的情況．

4．A

【分析】由作法可知，是的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理，求得，即可求出度數(shù)．

【詳解】解：由作法可知，是的垂直平分線，

，

，

，

，

，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂直平分線的作法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

5．D

【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，證明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長．

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，

在和中，

，

，

，

欲求的最小值，只要求出的最小值，

當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長．

在中，，，，

，

的最小值是7，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、軸對稱中的最短路線問題、垂線段最短等知識，找出點(diǎn)、的位置是解題的關(guān)鍵．

6．D

【分析】要使的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，即可得出，即可得出答案．

【詳解】解：作A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，

∴，，

∴，，

則即為的周長最小值，

，

，

，

，，

，

，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．

7．26

【分析】由是的垂直平分線得到，由的周長為18得到，最后由的周長為，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

【詳解】解：是的垂直平分線，

，

的周長為18，

，

的周長為：，

故答案為：26．

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．

8．

【分析】根據(jù)軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，得到，的值，代入計(jì)算即可．

【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，

，，

，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)和乘方的知識，代數(shù)式的求值，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9．

【分析】根據(jù)，是的角平分線，，可證是等腰三角形，是等腰三角形，由此可得，，由此即可求解．

【詳解】解：∵，是的角平分線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

∴，

同理可證，是等腰三角形，

∴，

∵的周長為，

∴，

∵，

∴的周長為，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

10．3

【分析】（1）先由直角三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可求得，從而求得，然后由軸對稱的性質(zhì)可求解；

（2）點(diǎn)D在邊上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于對稱點(diǎn)運(yùn)動路徑是以C為圓，長為半徑的半圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)在與半圓的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最小，由可求解．

【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，

∵在中，，，

∴，，

∵

∴，

∴，

∴，

∵點(diǎn)B關(guān)于所在直線的對稱點(diǎn)

∴，

故答案為：3；

（2）點(diǎn)D在邊上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于CD對稱點(diǎn)運(yùn)動路徑是以C為圓，長為半徑的半圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)在與半圓的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最小，

∴，

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，最短距離問題，由題意得出點(diǎn)B關(guān)于CD對稱點(diǎn)運(yùn)動路徑是以C為圓，長為半徑的半圓弧，所以當(dāng)點(diǎn)在與半圓的交點(diǎn)時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．

11．(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）先作出的垂直平分線，再在任取一點(diǎn)，連接，即可得到等腰；

（2）先作出，再作的平分線，即可得到答案．

【詳解】（1）解：如圖，即為所作，

，

作法：①分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，

②作直線，

③在上任取一點(diǎn)，連接，

即為所求；

（2）解：如圖，即為所作，

，

作法：①分別以為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，

②作射線，

③以為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于，

④分別以為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，

⑤作射線，

即為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，熟練掌握垂直平分線的作法，角平分線的作法，以及等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

12．(1)見解析

(2)，

【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可作出；

（2）根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)與對稱軸的距離相等即可求解．

【詳解】（1）解：作圖如下：

（2）解：若上有一點(diǎn)，

點(diǎn)到直線的距離為，到直線n的距離為，

，，

則關(guān)于直線對稱后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則關(guān)于直線對稱后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖、對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)與對稱軸的距離相等．

13．(1)圖見解析，

(2)圖見解析，

【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)畫圖即可求解；

（2）根據(jù)尺規(guī)作圖——最短路徑問題進(jìn)行分析即可求解．

【詳解】（1）解：如圖：

（2）解：如圖：

過點(diǎn)作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，與直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)，即為所求；

根據(jù)圖象可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了畫已知圖形的對稱圖形，根據(jù)對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)坐標(biāo)，尺規(guī)作圖——最短路徑問題等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

14．(1)10

(2)①見解析；②的值為定值，這個(gè)定值為10

【分析】（1）先求得，再根據(jù)直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半求得；

（2）①作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，可證明，得，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明，則，即可證明是等邊三角形；

②在上截取，連接，則是等邊三角形，可證明，得，，可知的值為定值，這個(gè)定值為10．

【詳解】（1）解：，，，

，

，

的長是10．

（2）①證明：如圖1，作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，