2022-2023學年高三數(shù)學新高考一輪復習專題6.1數(shù)列的概念與表示方法含解析

Page156.1數(shù)列的概念與表示方法課標要求考情分析核心素養(yǎng)通過日常生活和數(shù)學中的實例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).新高考3年考題題號考點數(shù)學運算邏輯推理2022(Ⅰ)卷17由an與S1．數(shù)列的有關概念名稱概念說明數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)，一般記為數(shù)列a數(shù)列中的數(shù)具有有序性，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項數(shù)列的通項數(shù)列an的第n項區(qū)別an與an：an是數(shù)列中的項，an表示數(shù)列，通項公式如果數(shù)列an的第n項an與序號n之間的關系能用一個式子1.并不是所有的數(shù)列都有通項公式2.同一個數(shù)列的通項公式可能不唯一3.對于一個數(shù)列，若只知道前幾項，二沒有指出變化規(guī)律，是不能確定這個數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的第一項（或前幾項），且任一項an(n≥2)與它的前一項a1.與通項公式的區(qū)別：將n直接帶入an=f(n)，求an2.聯(lián)系：都可以確定一個數(shù)列，或求任意一項2.數(shù)列的函數(shù)特性1.數(shù)列與函數(shù)的關系：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)2.數(shù)列的函數(shù)特性名稱數(shù)列函數(shù)解析式ay=f(x)表示列表法、圖象法、解析式法圖象一些孤立的點連續(xù)的曲線定義域N*或使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍值域數(shù)列中的項組成的集合y單調性若an+1若an+1<若x1x1-xx1-x周期性若an+k=an（對于定義域內任一個x，存在非零實數(shù)T，fx+T=f(x)，則函數(shù)為周期函數(shù)，3．數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列a其中n遞減數(shù)列a常數(shù)列a按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使a擺動數(shù)列an的符號正負相間，如1，－1，1，－1，1．若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為a則a2．在數(shù)列an中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an1．【P8練1】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)=

．2．【P8練4】已知數(shù)列an的前n項和公式Sn=n2-2n+1考點一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【方法儲備】1.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想．常用方法：觀察規(guī)律、比較已知數(shù)列、歸納、轉化為特殊數(shù)列、聯(lián)想常見數(shù)列等方法；2.具體策略：（1）觀察相鄰項的變化特征：符號特征、分子分母特征、絕對值特征；（2）分式：分子、分母分別觀察規(guī)律；或者尋找分子、分母之間的關系；（3）對于正負符號變化，可用(-1)n或(-1)n+1（4）拆項（5）與特殊數(shù)列產生聯(lián)系：如自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、自然數(shù)的平方等.【典例精講】例1.(2022·山東省濟南市月考.多選)大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則(

)A.此數(shù)列的第20項是200

B.此數(shù)列的第19項是182

C.此數(shù)列的通項公式為an=n【名師點睛】1.由不完全歸納法得出的結果是不可靠，要注意代值驗證.2.根據(jù)數(shù)列的前幾項求其通項公式，一般通項公式不唯一，我們常常取其形式上較簡便的一個即可．【靶向訓練】練1-1(2022·安徽省蚌埠市期末.多選）可以作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，1，0?的一個通項公式是(

)A.an=1+(-1)n2練1-2(2022·貴州省貴陽市模擬)已知函數(shù)fx=2x-1,x≤0f(x-1)+1,x>0，把函數(shù)gA.an=n-12 B.a考點二利用an與Sn的關系求通項【方法儲備】1.已知Sn求a⑴當n=1時，求a⑵當n≥2時，求an⑶對于步驟⑵中求出的通項公式，要檢驗a1是否滿足，若滿足則用一個式子表示，如不滿足，則用分段的形式表示2.由fSn,⑴利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，將fSn,an⑵利用Sn-Sn-1=an(n【典例精講】例2.(2022·安徽省合肥市月考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2A.120 B.119 C.118 D.117【名師點睛】用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，即要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一．【靶向訓練】練2-1(2022·遼寧省盤錦市月考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2A.2n-1 B.12n-1 C.練2-2(2022·江蘇省連云港市月考.多選)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(Sn≠0)，A.Sn=14n B.an=-14n(n-1)考點三由遞推關系求通項公式【方法儲備】由數(shù)列的遞推關系求通項公式的常用方法：1.累加法：已知a1，且a→(a2.累乘法：a1(a1≠0)，且an+1→a3.構造法：⑴已知a1，且an+1=pa→an+1+k＝p(an+k)(其中k可用待定系數(shù)法確定)，構造出以a⑵已知a1，且an+1=pa→an+1qn+1=p①若p=q，則構造等差數(shù)列；②若p≠q，則按第⑴中思路求解再按第⑴中思路求解；說明：還可以通過其他變形方式構造數(shù)列，如an+1⑶已知a1,a→an+2-san+1=t(an+1-san4.取倒數(shù)法：已知a1，an+1=→1①若p=r，則構造等差數(shù)列；②若p≠r，則按第⑴中思路求解5.取對數(shù)法：已知a1，且等式兩邊同時取對數(shù)，→lgan+1=rlga【典例精講】例3.(2022·四川省成都市期中)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an2anbn-bn-1A.64 B.81 C.80 D.82例4.(2020·貴州省貴陽市模擬)已知數(shù)列{an}中，a1=3(1)若數(shù)列{bn}滿足bn=(2)求數(shù)列{a【名師點睛】1.累加法或累乘法求通項公式時，要注意求出的通項公式是從第幾項使用，對于未取到的項需驗證.2.其他求通項公式的方法⑴賦值法：已知g→g1a1+g2a2+???+g⑵分奇偶討論

①已知an+1+an=f(n)→②已知an+1?an=f(n)→【靶向訓練】練3-1(2022·江蘇省南通市月考)設數(shù)列{an}滿足a1=14A.122 B.132 C.1練3-2(2022·四川省瀘州市期中)在數(shù)列an中，a1=1，a2an+2=3an+1-2a 考點四數(shù)列的函數(shù)特性 【方法儲備】1.數(shù)列周期性的應用先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．2.解決數(shù)列單調性問題的三種方法⑴作差比較法：an+1－an>0?數(shù)列an為遞增數(shù)列；⑵作商比較法：根據(jù)an+1an(a⑶數(shù)形結合法：結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷，注意數(shù)列中n的取值為正整數(shù).3.求數(shù)列最大項或最小項的方法⑴可以利用不等式組an-1≤a⑵若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則最小項為a1；若數(shù)列an是遞減數(shù)列，則最大⑶將數(shù)列看作函數(shù)f(x)，利用函數(shù)求最值，注意數(shù)列中n的取值為正整數(shù)【典例精講】例5.(2021·江蘇省蘇州市期中)已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=1-1aA.-1 B.-12 C.1例6.(2021·湖北省孝感市月考)已知數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=A.25 B.34 C.1【名師點睛】由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質，如單調性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．【靶向訓練】練4-1(2022·陜西省西安市期中)已知函數(shù)f(x)={(3-a)x-3,x≤7ax-6,x>7，若數(shù)列{an}滿足aA.[94,3) B.(練4-2(2022·江蘇市連云港市月考.多選)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(Sn≠0)，A.Sn=14n B.an=-14n(n-1)易錯點1已知Sn求an時,易忽略n例7.(2022·江蘇省南京市月考)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2A.an=4n+2 B.an=4n-2

C.易錯點2忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯例8.(2022·安徽省合肥市月考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=0，Sn=an+1-2，若答案解析【教材改編】1．【解析】根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(2)-f(1)=4×1，

f(3)-f(2)=4×2，

f(4)-f(3)=4×3，…，

f(n)-f(n-1)=4(n-1)，

這n-1個式子相加可得：f(n)-f(1)=2n2-2n，

所以f(n)=2n2-2n+1，

當n=62．【解析】當n=1時，a1當n≥2時，an又當n=1時，a1故數(shù)列{an}的通項公式an【考點探究】例1.【解析】觀察此數(shù)列，n為偶數(shù)時，an=n22所以此數(shù)列的通項公式為an={n22,n為偶數(shù)n2-12,n為奇數(shù)a13=13故選AC．練1-1.【解析】A、當n為奇數(shù)時，an=0，當n為大于1的偶數(shù)時，an=1，顯然an=1+(-1)n2表示數(shù)列0，1，0，1，?的一個通項公式，故A錯誤；

B、根據(jù)余弦函數(shù)的性質可知，an=1+cos(n+1)π2可以作為數(shù)列1，0，1，0，1，?的一個通項公式，故B正確；

C、根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知，an=sinnπ2可以作為數(shù)列1，0，1，0，1，?的一個通項公式，故C練1-2.【解析】當x∈(-∞,0]時，

由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0，得2x=x+1．

令y=2x，y=x+1.在同一個坐標系內作出兩函數(shù)在區(qū)間(-∞,0]上的圖象，

由圖象易知交點為(0,1)，故得到函數(shù)的零點為x=0．

當x∈(0,1]時，x-1∈(-1,0]，

f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-1，

由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0，得2x-1=x．

令y=2x-1，y=x.在同一個坐標系內作出兩函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的圖象，

由圖象易知交點為(1,1)，故得到函數(shù)的零點為x=1．

當x∈(1,2]時，x-1∈(0,1]，

f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-2+1，

由g(x)=f(x)-x=2x-2+1-x=0，

得2x-2=x-1.令y=2x-2，y=x-1.在同一個坐標系內作出兩函數(shù)在區(qū)間(1,2]上的圖象，

由圖象易知交點為(2,1)，故得到函數(shù)的零點為x=2．

依此類推，當x∈(2,3]，x∈(3,4]，?，x∈(n,n+1]時，

構造的兩函數(shù)圖象的交點依次為(3,1)例2.【解析】因為Sn=2n2-3n+2，

所以a1=S1=1，

當n?2時，an=練2-1.【解析】由已知a得Sn=2(Sn+1-Sn)，即2Sn+1所以Sn=(練2-2.【解析】由an+4Sn-1Sn=0(n≥2)，得Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn，

∴1Sn-1Sn-1=4(n≥2)，

∵a1=14，∴1S1=4，

則1Sn=4+4n-1=4nn≥2例3.【解析】由數(shù)列{an}滿足an+1=an2an+1，可得1an+1-1an=2，

所以數(shù)列{1an?

b8-b7=2×8-1，例4.【解析】(1)∵Sn=1∴a整理得nan+1=即bn+1(2)由(1)知an+1n+1所以a=1得an練3-1.【解析】在數(shù)列{?an}中，因為2an+1an+an=3an+1(n∈N*)，

所以1an+1=3a練3-2.【解析】由an+2=3a又a1=1，a2=3，

所以a2-a1=2≠0，

所以an+1-an因為a1=1符合上式，所以an=例5.【解答】由題設知：a1=2，a2=1-1a1=12，a3=1-1a2=-1，a4=1-1例6.【解析】由an-an+1=anan+1(n+1)(n+2)(n∈N*)，

得an-an+1ana∴nan=2n2+2n3n+1，

令3n+1=t，(t=4,7,10,13,……)，即n=t-13，

所以nan即nan的最小值是1，

故選練4-1.【解析】根據(jù)題意得an=f(n)=(3-a)n-3,n≤7an-6