連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析

第三章.連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域剖析一、隨意信號在齊備正交函數(shù)系中的表示法（§）信號分解的目的：將隨意信號分解為單元信號之和，進而考察信號的特征。簡化電路剖析與運算，總響應=單元響應之和。1．正交函數(shù)集隨意信號f(t)可表示為n維正交函數(shù)之和：f(t)C1g1(t)C2g2(t)Crgr(t)Cngn(t)nCrgr(t)r1原函數(shù)g1t,g2t20,mntgrt互相正交：gm(t)gn(t)dtt1Km,mngrt稱為齊備正交函數(shù)集的基底。一個信號可用齊備的正交函數(shù)集表示,.正弦函數(shù)集有很多方便之處,如易實現(xiàn)等，我們主要議論怎樣用正弦函數(shù)集表示信號。2．能量信號和功率和信號（§6.6一）設it為流過電阻R的電流，剎時功率為P(t)i2(t)R一般說來，能量老是與某一物理量的平方成正比。令R=1Ω，則在整時間域內(nèi)，實信號ft的能量，均勻功率為：T01T0Wlim2T0f2(t)dtPlim2T0f2(t)dtT02T0T02議論上述兩個式子，只可能出現(xiàn)兩種狀況：WP

(有限值)(有限值)

0W知足式的稱為能量信號，知足式稱功率信號。3．帕斯瓦爾定理設gr(t)為齊備的正交函數(shù)集，即t2t2t2f2tdtCr2gr2tdtCrgr(t)2dttr1t1r1t11信號的能量基底信號的能量各重量此式稱為帕斯瓦爾定理P331式（6-81）(P93,P350)左側是信號能量，右側是各正交函數(shù)的能量。物理意義：一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在齊備正交函數(shù)集中各重量能量（功率）之和。二、周期信號的頻譜剖析——傅里葉級數(shù)周期信號傅里葉級數(shù)有兩種形式三角形式：f(t)a0ancosn1tbnsinn1tn1=c0cncos(n1tn)n1指數(shù)形式：f(t)F(n1)ejn1tn周期信號的頻譜是失散譜，三個性質(zhì)收斂性n,F(n1)諧波性：(失散性)譜線只出此刻n1處，獨一性：f(t)的譜線獨一兩種頻譜圖的關系三角形式：cn~，n~單邊頻譜指數(shù)形式：F(n1)~,n~雙邊頻譜二者幅度關系F(n1)=1cnn0F0c0a02指數(shù)形式的幅度譜為偶函數(shù)F(n1)F(n1)指數(shù)形式的相位譜為奇函數(shù)(n1)(n1)引入負頻次對于雙邊頻譜，負頻次(n1)，只有數(shù)學意義，而無物理意義。為何引入負頻率?f(t)是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，一定有共軛對ejn1t與ejn1t，才能保證(t)實函數(shù)性質(zhì)不變。對特別信號不必定知足上述三個性質(zhì)比如：沖激序列T(t)(tnT)(n為整數(shù)）的付里葉級數(shù)nTtFn111TT0TtO剖析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的充分條件。依據(jù)沖激信號的定義和特征，其積分有確立值，傅里葉級數(shù)存在。即1F(n1)T

T21tejn1tdtTT2f(t)T(t)1ejn1tnT(t)的頻譜，有失散性，諧波性，無收斂性，頻帶無窮寬周期信號的功率1．描繪周期信號的均勻功率=各正交重量的均勻功率之和(帕斯瓦爾定理)f(t)a0ancosn1tbnsinn1tn1均勻功率:1T2(t)dtPfT0211a02cn2a02cn2n1n12cn是三角形式傅里葉級數(shù)的余弦形式中振幅值?！嗫偩鶆蚬β?各次諧波的均勻功率之和對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1P=T

T2(t)dtFn122F0a0fFn,0nn三、典型周期信號的傅立葉級數(shù)本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例，議論其頻譜的特色。頻譜構造已知矩形脈沖信號的脈寬為脈寬為,脈沖高度為E,周期為T1。f(t)T1/2/2T1t三角形式的譜系數(shù)ft是個偶函數(shù)bn0,只有a0,an。指數(shù)形式的譜系數(shù)1T1EF(n1)=T12f(t)ejn1tdtSan1頻譜特色T12T12包絡線按抽樣形狀變化Sax122303xsinx：當xsinx1抽樣函數(shù)Sa(x)0時，xx頻譜是失散的Fn1~是n1的函數(shù)，只在1的整數(shù)倍有值（諧波性）其最大值在n0處，為E。T1幅度2T1譜線間隔1T1當T1，時，E為無窮小，ft由周期信號非周期信號。1，T1矩形脈沖的頻譜說了然周期信號頻譜的特色：失散性，諧波性，收斂性對照波形：T11sT21sT31s42F(n1)E5201F(n1)E10201F(n1)E20201頻帶寬度周期矩形脈沖信號的頻譜每當n1m（m取整數(shù)）時，經(jīng)過零點。此中第2n1，即n12，今后諧波的振幅相對減小。能量主要集中在一個零點在2第一個零點之內(nèi)。信號一般主要集中在低頻段。定義：在知足必定失真條件下，信號能夠用某段頻次范圍的信號來表示，此頻次范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：B2或Bf1，帶寬與脈寬成反比。對于一般周期信號，將幅度降落為1Fn1max的頻次區(qū)間定義為頻帶寬度。10系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真四．非周期信號的頻譜剖析─傅里葉變換傅里葉變換當T1時，f()：非周期信號t周期信號F(n1)1T12f(t)ejn1tdt譜系數(shù)：(1)T1T12T1Fn1Fn1Fn1單位頻帶上的頻譜值1T1flimT1Fn1T1T1jn1t當T1時，lim2f(t)edtT1T12f(t)ejtdt稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。由f(t)求F()稱為傅立葉變換。F()一般為復信號，故可表示為F()|F()|ej()|F()|~：幅度頻譜()~：相位頻譜反變換ft應是F的反變換。f(t)1Fejtd2傅立葉變換對F()f(t)ejtdtFf(t)f(t)1FejtdF1f(t)2稱為付里葉變換對，簡寫ftF，此中f(t)稱為原函數(shù)，F(xiàn)()稱為象函數(shù)。傅立葉變換的特別形式FFejRjX實部虛部f(t)fetfot實信號偶重量奇重量Ff(t)ejtdtfe(t)fo(t)costjsintdt20fe(t)costdtj2fo(t)sintdt0實部虛部R20fe(t)costdt對于的偶函數(shù)X20fo(t)sintdt對于的奇函數(shù)FR2X2對于的偶函數(shù)tg1X對于的奇函數(shù)Rft偶函數(shù)（奇重量為零）Fft奇函數(shù)（偶重量為零）F

為實函數(shù)，只有R，相位為虛函數(shù)，只有X，相位2奇偶虛實性傅里葉變換的物理意義(t)為實函數(shù)f(t)1FejtdFdejt221Fej()ejtd21Fcostdj1Fsintd221Fcostd21Fcostd0Fdcost0乞降振幅正弦量由上式可得出，非周期信號可分解為：無量多個幅度為無量小(1Fd)的連續(xù)指數(shù)信號之和，據(jù)有整個頻域，2:

；無量多個振幅為無量小

(

1

F

d

)的連續(xù)余弦信號之和，頻域范圍：0

。傅里葉變換存在的條件ftdt有限值充分條件即f(t)絕對可積，F(xiàn)存在。全部能量信號均知足此條件。當引入函數(shù)的觀點后，同意作變換的函數(shù)種類大大擴展了。五．典型非周期信號的頻譜矩形脈沖ftEFESa2202t幅度頻譜：FESa2FE2024頻寬：B2或Bf1相位頻譜：2024單邊指數(shù)信號ftFEetutejtdtEEj0tEF0202直流信號Ef(t)Etft不知足絕對可積的條件，不可以直接用定義求F；利用矩形脈沖的頻譜求極限。E2ftEF0t2EO時域無窮寬，頻帶無窮窄。當ft1時，F(xiàn)12符號函數(shù)f(t)sgnt1,t0這個信號不知足絕對可積條件。辦理方法：1,t0做成一個雙邊函數(shù)f1tsgntet，求F1，，求極限獲得F.sgnt2j22je2jF()22002沖激函數(shù)F(

)

te

jtdt

1

(t)

1t看作

1的矩形脈沖，

0時,B

。沖激函數(shù)積分是有限值，能夠用公式求。而u(t)不知足絕對可積條件，不可以用定義求。ftF11t001()對稱性2Fft1210t0沖激偶的付里葉變換∵fttdtf0∴ttejtdtejtt0jj單位階躍函數(shù)u(t)u(t)

1jF000六.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換擁有獨一性。付氏變換的性質(zhì)揭露了信號的時域特征和頻域特征之間確實定的內(nèi)在聯(lián)系。議論付里葉變換的性質(zhì)，目的在于：認識特征的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F；認識在通信系統(tǒng)率域中的適用。對稱性線性奇偶虛實性微分性質(zhì)尺度變換特征時移特征頻移特征時域積分性質(zhì)4.微分性質(zhì)時域微分f(t)F()，則f(t)jF()假如ft中有確立的直流重量，應先拿出獨自求付氏變換，余下部分再用微分性質(zhì)。頻域微分若f(t)F()，則tf(t)jdFd或jtf(t)dFd5.尺度變換特征若f(t)，則1F，a為非零常數(shù)。aa信號的連續(xù)時間與信號據(jù)有頻帶成反比，有時為加快信號的傳達，要將信號連續(xù)時間壓縮，則要以睜開頻帶為代價。6.時移特征若f(t)F()，則f(tt0)F()ejt0;若F()F()ej()F()ej()jt0，則f(tt0)幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，7.當f(t)時移和尺度變換都有時若f(t)F()，1b則fatbjFea,a0aa8.頻移特征通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用若f(t)F()f(t)e則f(t)e

0t0t

FF

0為常數(shù)，注意號009.時域積分性質(zhì)若ftF，則F0tfF0時，djF0tfF0時，dF0j七．卷積定理1．時域卷積定理若f1tF1,f2tF2則f1tf2tF1F2意義：時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積2．頻域卷積定理若f1tF1,f2tF2則f1tf2t1F1F22意義：時間函數(shù)的乘積各頻譜函數(shù)卷積的1倍。23．作用卷積定理：揭露了時間域與頻次域的運算關系，在通信理論中有重要作用4．應用：用時間卷積定理求頻譜密度函數(shù)t求fd的傅立葉變換。求系統(tǒng)的響應ftgthtgtftht5．調(diào)制原理與頻分復用調(diào)制：將信號的頻譜函數(shù)搬移就任何所需的較高頻段上的過程。圖1為幅度調(diào)制(AM)。f(t)fC(t)f(t)cosCt乘法器cosCtAFC()A22COCmCCm解調(diào)將已調(diào)信號恢復成本來的調(diào)制信號的過程。圖4所示為同步解調(diào)fC(t)cosCtf(t)fC(t)理想低通乘法器濾波器cosCtH()2O

mG()AA24202CmmCGa1F1F2aF2a24頻分復用所謂頻分復用，就是以頻段切割的方法在一個信道內(nèi)實現(xiàn)多路通信的傳輸體系。發(fā)信端：調(diào)制，將各信號搬移到不一樣的頻次范圍。收信端：帶通濾波器，分開各路信號，解調(diào)。再利用一個低通濾波器（帶寬m2am,），濾除再2a鄰近的重量，即可拿出ft，達成解調(diào)。八．周期信號的傅立葉變換周期信號：ft傅里葉級數(shù)Fn1失散譜非周期信號ft傅里葉變換Fn連續(xù)譜cos0t00正弦信號：sin0tj0j0fTtFn1ejn1tn一般周期信號：FTFn1Fejn1t2Fn1n1可見：fTt的頻譜由沖激序列構成;地點:n1諧波頻次強度:2Fn1,與F(n1)成正比,失散譜2譜線的幅度不是有限值,由于F表示的是頻譜密度.周期信號的F只存在于n1處,頻次范圍無窮小,幅度為.由F求Fn1：Ttejtdt1F02f0Fn1F0TT1n12單位沖激序列的Tt111112T1T1oT12T1tTttnTFn1ejn11tejn1tnnT12nnF111T1nnFn1F1T111111211o21211o2111Tt的頻譜密度函數(shù)還是沖激序列,強度和間隔都是1周期矩形脈沖序列的傅氏變換tET1oT1t22F()E1n1n1Sa2九.抽樣信號的傅立葉變換f(t)fs(t)A/Dfk(t)gk(t)g(t)數(shù)字濾D/A量化編碼波器p(t)理想抽樣（周期單位沖激抽樣）連續(xù)信號抽樣信號ftfStt抽樣脈沖p(t)T(t)(tnTs)s(ns)fs(t)f(t)T(t)f(nTs)(tnTs)頻域:FsFftTt1FT1Fns2TSn若接一個理想低通濾波器，其增益為Ts截止頻次mcsm濾除高頻成份，即可重現(xiàn)原信號。抽樣定理fsmin2fm是最小抽樣率,稱為奈奎斯特抽樣率Tsmax1是最大抽樣間隔,稱為奈奎斯特抽樣間隔2fm一個頻次受限的信號ft,假如頻譜只據(jù)有m0~m的范圍,則信號ft可用等間隔的抽樣值來獨一地表示。其抽樣間隔一定不大于1，即Ts1（此中m2fm），或許說最低抽樣2fm2fm頻次為2fm。抽樣定理的應用---時分復用用于時分復用，在同一時間里傳遞不一樣信號。十．系統(tǒng)函數(shù)H(j)R()響應信號的傅氏變換H()E()激勵信號的傅氏變換物理意義表征系統(tǒng)固有的性質(zhì)或特征ht為沖激響應，取決于系統(tǒng)自己的構造，描繪了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。H也只是決定于系統(tǒng)構造，H是表征系統(tǒng)特征的重要參數(shù)。系統(tǒng)沖激響應的傅立葉變換當

e(t)

(t)時，

r(t)

h(t)，此時

(t)

1，R(

)

E(

)H(

)

H(

)，即

h(t)

H(

),或h(t)

H(j

)

。系統(tǒng)的頻次響應特征H()H()ej()H()~：系統(tǒng)的幅頻特征()~：相頻特征系統(tǒng)的功能系統(tǒng)能夠看作是一個信號處埋器：當激勵信號的頻譜密度函數(shù)為E時,則響應的頻譜密度函數(shù)即是HE。系統(tǒng)改變了激勵信號頻譜。E()E()eje()H()H()ejh()R()E()H()r()e()h()系統(tǒng)能夠看作是一個信號處埋器：H是一個加權函數(shù)，，對信號各頻次重量進行加權。信號的幅度由H()加權，信號的相位