《復(fù)變函數(shù)》教案 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系

《復(fù)變函數(shù)》教案第三章復(fù)變函數(shù)的積分伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系PAGEPAGE3第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)教學(xué)課題：第一節(jié)復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)教學(xué)目的：1、理解關(guān)于復(fù)積分的定義；2、掌握復(fù)積分的計(jì)算方法、熟悉復(fù)積分的基本性質(zhì)；3、理解積分估值定理、注意復(fù)積分中值定理與實(shí)積分定理的區(qū)別；4、了解多值函數(shù)的積分的注意事項(xiàng)。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)積分的計(jì)算方法、熟悉復(fù)積分的基本性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)積分中值定理與實(shí)積分定理的區(qū)別教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具。但復(fù)積分仍是作為一種和的極限來定義的，它的許多性質(zhì)與實(shí)積分既有相同的地方也有不同的地方，因此，學(xué)習(xí)時(shí)需要加以注意。教學(xué)過程：為了敘述上的方便，今后如無特別聲明，所提到的曲線均制光滑或逐段光滑曲線，逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)稱為圍線，其方向在第一章已經(jīng)作過規(guī)定，不是閉的曲線的方向，則只須指出它的起點(diǎn)和終點(diǎn)即可．1、復(fù)變函數(shù)的積分的定義：定義3.1設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續(xù)函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。把曲線C用分點(diǎn)分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn)是在曲線C上按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點(diǎn)，那么和式，可以寫成或者在這里分別表示的實(shí)部與虛部。按照關(guān)于實(shí)變函數(shù)的線積分的結(jié)果，當(dāng)曲線C上的分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無窮增加，而且時(shí)，上面的四個(gè)式子分別有極限：這時(shí)，我們說原和式有極限這個(gè)極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為于是，我們有定理3.1若沿曲線C連續(xù)，則沿C可積，且說明：復(fù)積分的計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的曲線積分的計(jì)算問題．例3.1設(shè)表示連續(xù)點(diǎn)和的任一曲線，則(1)(2)證明：(1)因?yàn)樗怨?2)，分別選取和，則得及由定理3.1可知積分存在，因而存在故所以特別地，當(dāng)為圍線時(shí)，有，2、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題設(shè)有光滑曲線C:,這就表示在上連續(xù)且有不為零的導(dǎo)數(shù).又設(shè)沿C連續(xù).今,由公式(3.1)我們有即 (3.2)或 (3.3)用公式(3.2)或(3.3) 計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑C的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.(3.2)或(3.3)稱為復(fù)積分的變量代換公式.例3.2(重要的常用例子) 這里C表示以為心,為半徑的圓周.(注意;積分值與均無關(guān))證C的參數(shù)方程為:故當(dāng)為整數(shù)且時(shí),如果C是簡(jiǎn)單光滑曲線：，并且，那么上式右邊的積分可以寫成黎曼積分的形式，例如其中第一個(gè)可以寫成，因此，我們有我們可以看到，把dz形式地?fù)Q成微分，就直接得到上式，因此有，當(dāng)是分段光滑簡(jiǎn)單曲線時(shí)，我們?nèi)匀豢梢缘玫竭@些結(jié)論。用此公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分，是從積分路徑C的參數(shù)方程入手的，稱為參數(shù)方程法。3、復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)：設(shè)f(z)及g(z)在簡(jiǎn)單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）（3），其中曲線C是有光滑的曲線連接而成；（4）其中如果曲線用方程：表示，那么曲線就由給出。即積分是在相反的方向上取的。如果C是一條簡(jiǎn)單閉曲線，那么可取C上任意一點(diǎn)作為取積分的起點(diǎn)，而且積分當(dāng)沿C取積分的方向改變時(shí)，所得積分相應(yīng)變號(hào)。定理3、2（積分估值）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，證明：因?yàn)閮蛇吶O限即可得結(jié)論。設(shè)C是連接及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線，那么，如果是C閉曲線，即，那么積分都是零。例2、設(shè)C是圓，其中是一個(gè)復(fù)數(shù)，是一個(gè)正數(shù)，那么按反時(shí)針方向所取的積分。證明：令，于是，從而試證積分路徑C是連接i和2+i的直線。試證例3.3計(jì)算積分其中積分路徑（圖３.２）為：圖3.2(1)連接由點(diǎn)到點(diǎn)的直線段．(2)連接由點(diǎn)到的直線段及連接由到點(diǎn)的直線段所組成的折線．解：(1)連接及的直線段的參數(shù)方程為：故(2)連接與的直線段的參數(shù)方程為：連接與的直線段的參數(shù)方程為：.第二節(jié)初等解析函數(shù)教學(xué)課題：第二節(jié)初等解析函數(shù)教學(xué)目的：1、了解復(fù)正、余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；2、了解正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性；3、理解指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)；4、充分掌握整冪函數(shù)及有理函數(shù)的解析性；教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的常見性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：正、余切函數(shù)、雙曲函數(shù)的解析性和周期性教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：這一節(jié)主要是討論初等單值函數(shù)的解析性，這可從他們的可微性來判定，他們是數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的自然推廣。教學(xué)過程：1、指數(shù)函數(shù)定義2.4對(duì)于任何復(fù)數(shù)我們用關(guān)系式來規(guī)定指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它有如下性質(zhì)：當(dāng)（為實(shí)數(shù)）時(shí)，則即為通常的實(shí)指數(shù)函數(shù)．(2)（故），．(3)在平面上解析，且（例2.7）(4)加法定理成立，即(5)以為基本周期．因?yàn)閷?duì)任意整數(shù)，．(6)不存在．因?yàn)楫?dāng)沿實(shí)軸趨于時(shí)，，當(dāng)沿實(shí)軸趨于時(shí)，，當(dāng)時(shí)就得到歐拉公式即是歐拉公式的推廣．2、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)：由于Euler公式，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，我們有：，所以有因此，對(duì)任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：則對(duì)任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù):4、；證明：，所以5、注解：由于負(fù)數(shù)可以開平方，所以由此不能得到，例如z=2i時(shí)，有6、cosz和sinz在整個(gè)復(fù)平面解析，并且有：證明：7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)：cosz在復(fù)平面的零點(diǎn)是，，sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)是，。8、同理可以定義其他三角函數(shù)：雙曲函數(shù)規(guī)定并分別稱為z的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙區(qū)余切、雙曲正割及雙曲余割。這四個(gè)函數(shù)均在平面上除墳?zāi)篂榱愕狞c(diǎn)外解析，且．正切、余切的基本周期為，正割、余割的基本周期為．柯西積分定理教學(xué)課題：第二節(jié)柯西積分定理教學(xué)目的：1、充分掌握柯西積分定理以及其等價(jià)形式；2、理解柯西積分定理的推廣形式；3、理解復(fù)積分的不定積分與原函數(shù)概念并了解與實(shí)積分定理的區(qū)別；4、了解多連通區(qū)域內(nèi)的變上限積分。教學(xué)重點(diǎn)：柯西積分定理以及其等價(jià)形式；教學(xué)難點(diǎn)：柯西積分定理以及其等價(jià)形式教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具。但柯西積分定理是整個(gè)復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。教學(xué)過程：1、柯西積分定理：定理3.3設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)C是D內(nèi)的一個(gè)多角形的周界。那么,在這里沿C的積分是按反時(shí)針方向取的。證明：先對(duì)C是三角形周界的情形進(jìn)行證明，然后證明一般情形。（1）C為三角形的周界設(shè)，下面證明M=0。等分給定的三角形的每一邊，兩兩連接這些分點(diǎn)，給定的三角形被分成四個(gè)全等的三角形，它們的周界分別是，我們顯然有：因此，沿周界的積分中，至少有一個(gè)的模不小于M/4。不妨假設(shè)這個(gè)周界為：對(duì)于這個(gè)三角形周界為，我們也把它等分成四個(gè)全等的三角形，其中一個(gè)的周界滿足：把這種作法一直進(jìn)行下去，我們得到具有周界：一個(gè)三角形序列，其中每一個(gè)包含后一個(gè)，而且有下面的不等式：，用U表示周界的長度，于是周界的長度是。現(xiàn)在估計(jì)的模。由于三角形序列中每一個(gè)每一個(gè)包含它后面的全部三角形，而且，因此由數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)域套定理，得存在著一點(diǎn)屬于序列中的所有三角形。又因?yàn)閒(z)在有導(dǎo)數(shù)，所以，使得當(dāng)時(shí),于是當(dāng)時(shí)，。顯然，當(dāng)n充分大時(shí)，所確定的圓盤內(nèi)，因此當(dāng)時(shí)，上式成立，且有，所以，其次，由于，我們有于是當(dāng)n充分大時(shí)，因此，有即，由于的任意性，我們得到M=0。(2)C為一個(gè)多角形的周界P：如圖，用對(duì)角線把以P為周界的多角形分成若干個(gè)三角形，就可以把沿P的積分表示成沿這些三角形周界的積分之和：因此每條對(duì)角線上積分彼此相互抵消，再利用第一步的證明，有。設(shè)f(z)及F(z)是區(qū)域D內(nèi)確定的函數(shù)，F(xiàn)(z)是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，并且在D內(nèi)，有F’(z)=f(z)，那么函數(shù)F(z)稱為f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的一個(gè)不定積分或原函數(shù)；除去可能相差一個(gè)常數(shù)外，原函數(shù)是唯一確定的。即f(z)的任意兩個(gè)不定積分或原函數(shù)的差是一個(gè)常數(shù)。事實(shí)上，設(shè)F(z)及G(z)都是f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的原函數(shù)，則有其中，我們已經(jīng)證明，在D內(nèi)，有，因此，。凸區(qū)域：區(qū)域D是一個(gè)凸區(qū)域，如果連接D中任意兩點(diǎn)的線段也包含在D內(nèi)，即。定理3.1設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，設(shè)C是D內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線，那么,其中，沿曲線C的積分是按反時(shí)針方向取的。推論3.5C是在D內(nèi)連接及z兩點(diǎn)的任一條簡(jiǎn)單曲線，那么沿C從到z的積分值由及z所確定，而不依賴于曲線C，這時(shí)，積分記為.證明：先證明(1)成立。在C上任取一點(diǎn)，可以作出圓盤：,因?yàn)閳A盤是凸區(qū)域，由引理2.2，f(z)在內(nèi)有原函數(shù)。由于C是一個(gè)緊集，由數(shù)學(xué)分析中的有限覆蓋定理，存在有限個(gè)圓盤覆蓋了C；把這些圓盤按反時(shí)針方向依次排列為并且用表示f(z)在這些圓盤中的原函數(shù)。取其中是C上依序按反時(shí)針方向取的。由引理2.3，有這里，用表示沿C從的弧上的積分，用表示從的線段上的積分。由引理2.3，有因?yàn)闃?gòu)成中的一條閉合折線，所以由引理2.1，得；下面證明（2）成立。設(shè)是在D內(nèi)連接及z兩點(diǎn)的另一條簡(jiǎn)單曲線。則是D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，由（1），有,而所以定理的結(jié)論成立。定理3.1設(shè)C是一條簡(jiǎn)單閉曲線，函數(shù)f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域D上解析，那么。定理3.2設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，由定理3.1，得是在D內(nèi)確定得一個(gè)函數(shù)。取充分接近，把D中兩個(gè)積分看作沿兩條簡(jiǎn)單曲線取的，而其中一條是另一條曲線與連接及z的線段的并集。于是有這里積分是沿及z的聯(lián)線取的，同樣可證，有。設(shè)D是不含a的一個(gè)單連通區(qū)域，并且，那么其中m是不等于1的整數(shù)。另外，還設(shè)D在復(fù)平面上沿從a出發(fā)的任何射線割開而得得區(qū)域內(nèi)，我們有其中對(duì)數(shù)應(yīng)理解為Ln(z-a)在D內(nèi)的一個(gè)解析分支在z及的值。注解1、我們可以用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分；注解2、區(qū)域的單連通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推廣到多連通區(qū)域：設(shè)有n+1條簡(jiǎn)單閉曲線曲線中每一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)，而且所有這些曲線都在的內(nèi)區(qū)域，圍成一個(gè)有界多連通區(qū)域D，D及其邊界構(gòu)成一個(gè)閉區(qū)域。設(shè)f(z)在上解析，那么令C表示D的全部邊界，我們有其中積分是沿C按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。即沿按反時(shí)針方向，沿按順時(shí)針方向取積分；或者說當(dāng)點(diǎn)沿著C按所選定取積分的方向一同運(yùn)動(dòng)時(shí)，區(qū)域D總在它的左側(cè)。因此也有：注解4、上面規(guī)定區(qū)域D的方向稱為正向，以后，我們總是規(guī)定取正向，除非另有說明；注解5、以上結(jié)論的證明見右圖：注解6、多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分與多值函數(shù)：設(shè)f(z)是多連通區(qū)域D的解析函數(shù)。在D內(nèi)作連接及z兩點(diǎn)的任一條簡(jiǎn)單曲線。在某兩條這樣的曲線所包成的閉區(qū)域上，f(z)可能不解析，因此不能應(yīng)用柯西定理，所以f(z)沿這兩條曲線的積分可能不相等。假定這兩個(gè)積分不相等。那么函數(shù)：是多值的。可是z當(dāng)屬于包含在D內(nèi)的某一單連通區(qū)域D’時(shí)，取曲線如下：從沿一個(gè)固定的簡(jiǎn)單曲線到D’內(nèi)一點(diǎn)，然后從沿在D’內(nèi)一條簡(jiǎn)單曲線到z。沿這種曲線取積分所得的函數(shù)F(z)在D’內(nèi)解析。改變從的曲線，我們能夠得到不同的解析函數(shù)；它們是F(z)在D’內(nèi)的不同解析分支。例2、在圓環(huán)內(nèi)，解析，在D內(nèi)取定兩點(diǎn)。作連接的兩條簡(jiǎn)單曲線，如圖，取定Argz在的值為。當(dāng)z沿從連續(xù)變動(dòng)到時(shí)，z的幅角從連續(xù)變動(dòng)到。于是當(dāng)z沿從連續(xù)變動(dòng)到時(shí)，z的幅角從連續(xù)變動(dòng)到?，F(xiàn)在求沿的積分。令，則從而同樣求得這樣，在含的一個(gè)單連通區(qū)域（在D內(nèi)）內(nèi)，相應(yīng)，多值函數(shù)有兩個(gè)不同的解析分支相應(yīng)于連接的其它曲線，還可得到F(z)在D內(nèi)的其它解析分支，F(xiàn)(z)就是對(duì)數(shù)函數(shù)定理3.4設(shè)f(z)是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，任取，由區(qū)域D的凸性，有連接及z的線段一定包含在D中。令，記為。則F(z)是在D內(nèi)確定的一個(gè)函數(shù)。下面證明F是f在D內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。取，連接及z的線段一定包含在D中?？紤]頂點(diǎn)為的三角形，由定理3.3，得其中所以由于f(z)在連續(xù)，，使得于是，從而有。定理3.5設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在D內(nèi)有原函數(shù)F(z)。如果，并且C是D連接的一條曲線，那么注解1、此定理說明，如果某一個(gè)區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)有原函數(shù)，那么它沿這個(gè)區(qū)域內(nèi)曲線的積分可以用原函數(shù)來計(jì)算，這是數(shù)學(xué)分析中牛頓-萊布尼茨公式的推廣；注解2、這時(shí)，積分值只與曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。證明：如果曲線是C光滑曲線，那么有，因?yàn)?，并且因?yàn)槲⒎e分基本定理對(duì)實(shí)變量復(fù)值函數(shù)顯然成立，所以如果曲線是分段光滑的曲線，那么分段計(jì)算，也可以證明結(jié)論成立。第三節(jié)柯西積分公式及其推論教學(xué)課題：第三節(jié)柯西積分公式及其推論教學(xué)目的：1、充分掌握柯西積分公式以及其解析函數(shù)的平均值定理；2、了解柯西高階導(dǎo)數(shù)分公式；3、切實(shí)掌握解析函數(shù)的無窮可微性；4、理解柯西不等式、劉威爾定理及解析函數(shù)的一些等價(jià)刻畫。教學(xué)重點(diǎn)：柯西積分公式；教學(xué)難點(diǎn)：柯西不等式、劉威爾定理及解析函數(shù)的一些等價(jià)刻畫教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：柯西積分公式是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，可以幫助我們?cè)敿?xì)地去研究解析函數(shù)的局部性質(zhì)?？挛鞑坏仁绞菍?duì)解析函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)式。教學(xué)過程：1、柯西積分公式：定理3.11設(shè)f(z)在以圓為邊界的閉圓盤上連續(xù)，C的內(nèi)部D上解析，則有其中，沿曲線C的積分是按反時(shí)針方向取的，這就是柯西積分公式。它是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，因而是今后我們研究解析函數(shù)的重要工具。證明：設(shè)，顯然函數(shù)在滿足的點(diǎn)處解析。以到z為心，作一個(gè)包含在D內(nèi)的圓盤，設(shè)其半徑為，邊界為圓。在上，挖去以為邊界的圓盤，余下的點(diǎn)集是一個(gè)閉區(qū)域。在上，的函數(shù)以及解析，所以有其中，沿曲線C的積分是按關(guān)于D的正向取的，沿的積分是按反時(shí)針方向取的。因此，結(jié)論成立。說明：f(z)沿C的積分為零?？紤]積分則有：（1）被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分I必然存在；（2）在上述閉圓盤上不解析，I的值不一定為0，例如；現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。作以為心，以為半徑的圓，由柯西定理，得因此，I的值只f(z)與在點(diǎn)附近的值有關(guān)。令，則有由于I的值只f(z)與在點(diǎn)附近的值有關(guān)，與無關(guān)，由f(z)在點(diǎn)的連續(xù)性，應(yīng)該有，即事實(shí)上，當(dāng)趨近于0時(shí)，有由于由f(z)在點(diǎn)的連續(xù)性，所以，使得當(dāng)時(shí)，，因此即當(dāng)趨近于0時(shí)，上式右邊的有第二個(gè)積分趨近于0；而，因此，結(jié)論成立。注解1、對(duì)于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。注解2、柯西公式是解析函數(shù)的最基本的性質(zhì)之一，對(duì)于復(fù)變函數(shù)理論本身及其應(yīng)用都是非常重要的。注解3、柯西公式有非常明確的物理背景和物理意義。2、解析函數(shù)的無窮可微性定理3.12設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),證明：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。設(shè)是D內(nèi)另一點(diǎn)。只需證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，下式也趨近于0現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個(gè)圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當(dāng)時(shí)，設(shè)|f(z)|在C上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時(shí)，要證的積分趨于0?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有由此證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)成立。定理3.13設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。注解1、以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異；注解2、任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；3、柯西不等式與劉維爾定理柯西不等式設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中。證明：令是圓，那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。注解1、上面的不等式稱為柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個(gè)整函數(shù)，例如等。關(guān)于整函數(shù)，我們有下面的劉維爾定理：劉維爾定理有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)。證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在，使得。，f(z)在上解析。由柯西公式，有，令，可見，從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。4、莫勒拉定理：應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，稱為莫勒拉定理。定理3.14如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對(duì)于D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。證明：作以為心的圓盤。在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對(duì)于K內(nèi)任何一個(gè)三角形的周界C，則可以證明f(z)在K內(nèi)有原函數(shù)F(z)，即。于是F(z)在K內(nèi)解析。由系4.1，f(z)在K內(nèi)，在解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。又因?yàn)榈娜我庑裕Y(jié)論成立。定理3.15f(z)f(z)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，對(duì)任意緯線C，只要C及其內(nèi)部全含于G內(nèi)，就有第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系教學(xué)課題：第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系教學(xué)目的：1、理解調(diào)和函數(shù)以及共軛調(diào)和函數(shù)的的定義；2、充分理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；3、切實(shí)掌握從已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部求出虛部或?qū)嵅康姆椒?。教學(xué)重點(diǎn)：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)：從已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部求出虛部或?qū)嵅康姆椒ń虒W(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：調(diào)和函數(shù)常出現(xiàn)在諸如流體力學(xué)、電學(xué)等實(shí)際問題中。由于調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的密切關(guān)系，自然會(huì)想到利用這種聯(lián)系，由解析函數(shù)的性質(zhì)去推出調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)過程：在前一節(jié),我們已經(jīng)證明了,在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)具有任何階的導(dǎo)數(shù)。因此，在區(qū)域D內(nèi)它的實(shí)部與虛部都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。現(xiàn)在我們來研究應(yīng)該如何選擇與才能使函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，則由C-R條件得因在D內(nèi)連續(xù)，它們必定相等，故在D內(nèi)有同理，在D內(nèi)有即及在D內(nèi)滿足拉普拉斯（Laplace）方程：這里是一種運(yùn)算記號(hào)，稱為拉普拉斯算子。定理3.5 如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程,則稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).調(diào)和函數(shù)常出現(xiàn)在諸如流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)等實(shí)際問題中.定義3.6 在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R條件的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中,稱為在區(qū)域D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù).由上面的討論,我們已經(jīng)證明了:定理3.18 若在區(qū)域D內(nèi)解析,則在區(qū)域D內(nèi)必為的共軛調(diào)和函數(shù).現(xiàn)在接著上面的討論.反過來,如果是任意選取的在區(qū)域D內(nèi)的兩個(gè)調(diào)和函數(shù),則在D內(nèi)就不一定解析. 要想在區(qū)域D內(nèi)解析,及還必須滿足C-R條件.即必須是的共軛調(diào)和函數(shù).由此,如已知一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部)就可以求出它的虛部(或?qū)嵅浚?。假設(shè)是一個(gè)單連通區(qū)域，是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且即:在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由數(shù)學(xué)分析的定理，知道是全微分，命(3.21)則（3.22）,其中是內(nèi)的定點(diǎn),是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，是一個(gè)任意常數(shù)，積分與路徑無關(guān)。將（3.22）式分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得，這就是C.-R.條件.由定理3.15知在內(nèi)解析.故得定理3.19設(shè)是在單連通區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),則存在由（3.22）式所確定的函數(shù),使是內(nèi)的解析函數(shù).注(1)如單連通區(qū)域包含原點(diǎn),則（3.22）式中的顯然可取成原點(diǎn)(0,0)；如非單連通區(qū)域，則積分（3.22）可能規(guī)定一個(gè)多值函數(shù).(2)公式（3.22）不必強(qiáng)記,可以先如下去推（3.21）：由，然后兩端積分之。(3)類似地，然后兩端積分，有思考題（1）“是的共軛調(diào)和函數(shù)”，其中是否可以交換順序？（2）如果是的共軛調(diào)和函數(shù)，那么的共軛調(diào)和函數(shù)是什么？例3.15驗(yàn)證是平面上的調(diào)和函數(shù),并求以為實(shí)部的解析函數(shù),使合解因在平面上任一點(diǎn),,故在平面上為調(diào)和函數(shù).法一故要合必故法二先由C.-R條件中的一個(gè)得故.再由C.-R條件中的另一個(gè)得故即因此(下同法一)驗(yàn)證在右半平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù),并求以此為虛部的解析函數(shù).解:,,于是,故在右半平面內(nèi),是調(diào)和函數(shù).兩端對(duì)求導(dǎo)所以,從而(任意常數(shù)),故:它在右半平面內(nèi)單值解析.§5平面向量場(chǎng)——解析函數(shù)的應(yīng)用(一)說明：本節(jié)為選講內(nèi)容本節(jié)我們要計(jì)論平行于一個(gè)平面的定常向量場(chǎng)。這就是說：第一，這個(gè)向量場(chǎng)中的向量是于時(shí)間無關(guān)的；第二，這個(gè)向量場(chǎng)中的向量都平行于某一個(gè)平面，并且在垂直于的任何一條直線上所有的點(diǎn)處，這個(gè)場(chǎng)中的向量（就大小與方向來說）都是相等的。顯然，在所有的平行于的平面內(nèi)，這個(gè)向量場(chǎng)的情形都完全同樣。因此，這個(gè)向量場(chǎng)可以由位于平面內(nèi)的向量所構(gòu)成的一個(gè)平面向量場(chǎng)完全表示出來。這時(shí)，說到平面向量場(chǎng)的一個(gè)點(diǎn)，我們?cè)谛闹斜阋浧鹪谀莻€(gè)平行于平面的向量場(chǎng)中的一條無限直線，它通過所說的那個(gè)點(diǎn)而垂直于平面；說到內(nèi)的一條曲線，則是意味著一個(gè)以為基線的柱面；說到的一個(gè)區(qū)域，則是意味著以為底邊的一個(gè)柱體。我們把平面取作平面。于是向量場(chǎng)中每個(gè)向量便可以用復(fù)數(shù)來表示。由于解析函數(shù)的發(fā)展是與流體力學(xué)密切相聯(lián)系的，因此，在下面講平面向量場(chǎng)與解析函數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們常采用流體力學(xué)中的術(shù)語。盡管所講的那些內(nèi)容，都是可以關(guān)系著各種不同物理特性的向量場(chǎng)的（如在第五章5所提到的平面電場(chǎng)）。現(xiàn)在我們把江面上水的流動(dòng)（例1.1）作些補(bǔ)充,并把問題深入一步,從中就可看出解析函數(shù)是怎樣應(yīng)用于流體力學(xué)的.我們不限于水的流動(dòng),廣泛一點(diǎn)說是流體的流動(dòng).假設(shè)流體是質(zhì)量均勻的,并且具有不可壓縮性,即是說密度不因流體所處的位置以及受到的壓力而改變.我們就假設(shè)密度為1.流體的形式是定常的(即與時(shí)間無關(guān))平面流動(dòng).所謂平面流動(dòng)是指流體在垂直于某一固定平面的直線上各點(diǎn)均有相同的流動(dòng)情況(圖3.16).流體層的厚度可以不考慮,或者認(rèn)為是一個(gè)單位長.1.

流量與環(huán)量設(shè)流體在平面上某一區(qū)域內(nèi)流動(dòng),是在點(diǎn)處的流速,其中,分別為的水平及垂直分速并且假設(shè)它們都有是連續(xù)的.今考查流體在單位時(shí)間內(nèi)流過以為起點(diǎn),為終點(diǎn)的有向曲線(圖3.17)一側(cè)的流量(實(shí)際上是流體層的質(zhì)量).為此取弧元,為其單位法向量,它指向曲線的右邊(順著到的方向看).顯然,在單位時(shí)間內(nèi)流過的流量為(是在上的投影),再乘上流體層的厚度以及流體的密度(取厚度為一個(gè)單位長,密度為1).因此