九年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清14第二十二章 二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)含解析

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九年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清

二十二章二次函數(shù)

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)

知識點一：二次函數(shù)的定義

一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

知識要點

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.

知識點二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

當(dāng)時

開口向上

當(dāng)時

開口向下(軸)(0，0)

(軸)(0，)

(，0)

(，)

()

2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).

知識要點

求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．

知識點三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解

知識要點

二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

知識點04：利用二次函數(shù)解決實際問題

利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.

利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.

知識要點

常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

考點一：二次函數(shù)的定義

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A．y＝2xB．y＝C．y＝x2D．y＝

2．（2022秋普蘭店區(qū)期末）是二次函數(shù)，則m的值是（）

A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝±1

考點二：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

若二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+2有最大值6，則y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值為（）

A．﹣1B．﹣2C．﹣6D．2

5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+a和y＝﹣ax2+a（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象可以是（）

A．B．C．D．

6.對于二次函數(shù)y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

A．開口向下

B．對稱軸是直線x＝1

C．頂點坐標(biāo)是（﹣1，2）

D．當(dāng)x≥﹣1時，y隨x增大而減小

7.已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3，當(dāng)1≤x≤a時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則a的值為．

考點三：二次函數(shù)與一元二次方程

8.拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②若（x1，y1）和（x2，y2）是拋物線上的兩點，則當(dāng)|x1+1|＞|x2+1|時，y1＜y2；③若拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，m），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1無實數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．3B．2C．1D．0

已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．c+8a＝0B．c+8a＞0

C．c+8a＜0D．c+8a的符號無法確定

考點四：二次函數(shù)的實際應(yīng)用

10.某體驗館建造了一幢“森林“主題場館，如圖是館內(nèi)拋物線形模擬洞穴的橫截面，現(xiàn)需要在洞穴內(nèi)壁架設(shè)平行于地面的鋼架AB，兩端分別在洞穴最高點兩側(cè)．在鋼架正下方隔離出一片矩形區(qū)域ABCD，且CD在水平地面上．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點、水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線與x軸相交于O、E，經(jīng)測量OE長8米．

（1）若在拋物線上，求該拋物線表達(dá)式．

（2）在（1）的條件下，若隔離區(qū)其中一條邊長為2米，則隔離區(qū)的最大面積為多少？

11.如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA＝2米，在點A處安裝噴水裝置，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點（頂點）C距離水池面2.5米，且與OA的水平距離為2米．

（1）求拋物線C2的解析式；

（2）求拋物線C1與x軸的交點B的坐標(biāo)；

（3）小明同學(xué)打算操控微型無人機在C1，C2之間飛行，為了無人機的安全，要求無人機在豎直方向上的活動范圍不小于0.5米，設(shè)無人機與OA的水平距離為m，求m的取值范圍．

考點五：二次函數(shù)的綜合

12.拋物線G：y＝ax2+c與x軸交于A、B兩點，與y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．

（1）直接寫出拋物線G的解析式：yx2﹣1；

（2）如圖1，點D（﹣1，m）在拋物線G上，點P是拋物線G上一個動點，且在直線OD的下方，過點P作x軸的平行線交直線OD于點Q，當(dāng)線段PQ取最大值時，求點P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點M在y軸左側(cè)的拋物線G上，將點M先向右平移4個單位后再向下平移，使得到的對應(yīng)點N也落在y軸左側(cè)的拋物線G上，若S△CMN＝2，求點M的坐標(biāo)．

13.如圖，已知直線yx+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）線段OC＝3，線段AD＝4；

（2）點M在CD上，且CM＝OM，拋物線y＝2x2+bx+c經(jīng)過點C，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長；若不存在，請說明理由．

針對訓(xùn)練

二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是

A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2

2.根據(jù)二次函數(shù)（，、、為常數(shù)）得到一些對應(yīng)值，列表如下：

判斷一元二次方程的一個解的范圍是

A．B．

C．D．

3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2經(jīng)變換后得到拋物線y=x2+2，則這個變換可以()

A．向左平移2個單位B．向上平移2個單位

C．向下平移2個單位D．向右平移2個單位

4.已知A（m，），B（4，）為拋物線上的兩個不同點，若＞，則可知m的取值范圍為（）

A．m＞4B．m＜2或m＞4C．m＜2D．2＜m＜4

5.下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為元，隨著不同幅度的降價，日銷量（單位為件）發(fā)生相應(yīng)的變化．如果售價為元時，日銷量為（）件．

降價（元）

日銷量（件）

A．1200B．750C．1110D．1140

6.拋物線的部分圖像如圖所示，則當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是_____．

7.拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個結(jié)論：

①abc＜0；

②2a+b＝0；

③4a﹣2b+c＞0；

④若m＞n＞0，則x＝m﹣1時的函數(shù)值小于x＝n﹣1時的函數(shù)值．

其中正確結(jié)論的序號是③④．

8.丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價x（元/件）…354045…

每天銷售數(shù)量y（件）…908070…

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？

(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

9.現(xiàn)有一面12米長的墻，某農(nóng)戶計劃用28米長的籬笆靠墻圍成一個矩形養(yǎng)雞場ABCD（籬笆只圍AB、BC、CD三邊），其示意圖如圖所示．

（1）若矩形養(yǎng)雞場的面積為92平方米，求所用的墻長AD．（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73，＝2.24】

（2）求此矩形養(yǎng)雞場的最大面積．

10.如圖1，拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，P為x軸下方拋物線上一點，若OC＝2OA＝4．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，若∠ABP＝∠ACO，求點P的坐標(biāo)；

（3）如圖3，點P的橫坐標(biāo)為1，過點P作PE⊥PF，分別交拋物線于點E，F(xiàn)．求點A到直線EF距離的最大值．

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二十二章二次函數(shù)

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)（解析版）

知識點一：二次函數(shù)的定義

一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

知識要點

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.

知識點二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

當(dāng)時

開口向上

當(dāng)時

開口向下(軸)(0，0)

(軸)(0，)

(，0)

(，)

()

2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).

知識要點

求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．

知識點三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解

知識要點

二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

知識點04：利用二次函數(shù)解決實際問題

利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.

利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.

知識要點

常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

考點一：二次函數(shù)的定義

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A．y＝2xB．y＝C．y＝x2D．y＝

【分析】利用二次函數(shù)的一般形式為：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），進(jìn)而判斷得出即可．

【解答】解：A、該函數(shù)不符合二次函數(shù)的定義，故本選項不符合題意；

B、該函數(shù)不符合二次函數(shù)的定義，故本選項不符合題意；

C、該函數(shù)符合二次函數(shù)的定義，故本選項符合題意；

D、該函數(shù)的右邊不是整式，它不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

故選：C．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是關(guān)鍵．

2．（2022秋普蘭店區(qū)期末）是二次函數(shù)，則m的值是（）

A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝±1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．

【解答】解：∵是二次函數(shù)，

∴m2+1＝2且m﹣1≠0，

解得m＝±1且m≠1，

∴m＝﹣1．

故選：B．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．

考點二：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【分析】根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限，即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵拋物線的頂點在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限，

∴不經(jīng)過第一象限．

故選：A．

【點評】此題考查了二次函數(shù)的圖象，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出n、m的符號．

若二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+2有最大值6，則y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值為（）

A．﹣1B．﹣2C．﹣6D．2

【分析】根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+2的頂點坐標(biāo)為（m，6），且易知其圖象開口向下，通過平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．

【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+2有最大值6，

∴設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+2的頂點坐標(biāo)為（m，6），

平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的頂點坐標(biāo)為（m﹣1，6），

根據(jù)關(guān)于x軸對稱可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的頂點坐標(biāo)為（m﹣1，﹣6），且開口向上，

再向上平移4個單位得到y(tǒng)＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，

此時頂點坐標(biāo)為（m﹣1，﹣2），最小值為﹣2，

故答案為：B．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征；利用頂點坐標(biāo)變換是解題的關(guān)鍵．

5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+a和y＝﹣ax2+a（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象可以是（）

A．B．C．D．

【分析】本題可先由一次函數(shù)y＝ax+a圖象得到a的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝﹣ax2+a的圖象相比較看是否一致．

【解答】解：A、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+a的圖象應(yīng)該開口向下，對稱軸在y軸的負(fù)半軸，故選項錯誤；

B、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+a的圖象應(yīng)該開口向下，對稱軸在y軸的負(fù)半軸，故選項錯誤；

C、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＞0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+a的圖象應(yīng)該開口向上，對稱軸在y軸的正半軸，故選項錯誤；

D、由一次函數(shù)y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2+a的圖象應(yīng)該開口向下，對稱軸在y軸的負(fù)半軸，故選項正確．

故選：D．

【點評】本本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)；用到的知識點為：二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過一、三象限；小于0，經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，圖象開口向上；二次項系數(shù)小于0，圖象開口向下．

6.對于二次函數(shù)y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

A．開口向下

B．對稱軸是直線x＝1

C．頂點坐標(biāo)是（﹣1，2）

D．當(dāng)x≥﹣1時，y隨x增大而減小

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以判斷各個選項中的說法是否正確．

【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+1）2+2，

∴該函數(shù)的圖象開口向上，故選項A的說法錯誤，

對稱軸是直線x＝﹣1，故選項B中的說法錯誤；

頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），故選項C中的說法正確；

當(dāng)x≥﹣1時，y隨x增大而增大，故選項D中的說法錯誤；

故選：C．

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

7.已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3，當(dāng)1≤x≤a時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則a的值為．

【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向，頂點坐標(biāo)，將x＝a，y＝﹣2代入解析式求解．

【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標(biāo)為（2，1），

∴y≤1，

將x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，

∴x＝a時，y＝﹣2，

∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，

解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．

故答案為：2+．

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．

考點三：二次函數(shù)與一元二次方程

8.拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②若（x1，y1）和（x2，y2）是拋物線上的兩點，則當(dāng)|x1+1|＞|x2+1|時，y1＜y2；③若拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，m），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1無實數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．3B．2C．1D．0

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置可判斷①，根據(jù)拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，可根據(jù)拋物線上的點與對稱軸的距離判斷②，

由頂點（﹣1，m）及拋物線開口向上可得y≥m，進(jìn)而判斷③．

【解答】解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵對稱軸在x軸左側(cè)，

∴a，b同號，即b＞0，

∵拋物線與y軸交點在x軸下方，

∴c＜0，

∴abc＜0，①錯誤，不符合題意．

∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，

∴距離對稱軸越遠(yuǎn)的點的縱坐標(biāo)越大，

∵|x1+1|＞|x2+1|，

∴y1＞y2，②錯誤，不符合題意．

∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，m），

∴拋物線與直線y＝m有1個交點，

∴拋物線與直線y＝m﹣1無交點，

∴ax2+bx+c＝m﹣1無實數(shù)根，③正確，符合題意．

故選：C．

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．

已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．c+8a＝0B．c+8a＞0

C．c+8a＜0D．c+8a的符號無法確定

【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸求出b＝﹣2a，根據(jù)對稱軸是直線x＝1，與x軸一個交點是（﹣1，0），求出與x軸另一個交點的坐標(biāo)是（3，0），把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根據(jù)圖象得出8a+c＜0．

【解答】解：∵對稱軸是直線x＝1，與x軸一個交點是（﹣1，0），

∴與x軸另一個交點的坐標(biāo)是（3，0），﹣＝1，

∴b＝﹣2a，當(dāng)x＝3時，y＝0，

∴y＝ax2﹣2ax+c，

把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，

故選：C．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要考查學(xué)生的圖象的能力和辨析能力，題目比較好，并且是一道比較容易出錯的題目．

考點四：二次函數(shù)的實際應(yīng)用

10.某體驗館建造了一幢“森林“主題場館，如圖是館內(nèi)拋物線形模擬洞穴的橫截面，現(xiàn)需要在洞穴內(nèi)壁架設(shè)平行于地面的鋼架AB，兩端分別在洞穴最高點兩側(cè)．在鋼架正下方隔離出一片矩形區(qū)域ABCD，且CD在水平地面上．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點、水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線與x軸相交于O、E，經(jīng)測量OE長8米．

（1）若在拋物線上，求該拋物線表達(dá)式．

（2）在（1）的條件下，若隔離區(qū)其中一條邊長為2米，則隔離區(qū)的最大面積為多少？

【分析】（1）根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）分AD＝2和CD＝2兩種情況討論求出另一邊長，用矩形的面積公式計算即可．

【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx（a≠0），

∵OE＝8米，

∴﹣＝4，

即b＝﹣8a①，

∵（3，）在拋物線上，

∴9a+3b＝②，

把①代入②得：﹣15a＝，

解得a＝﹣，

∴b＝3，

∴拋物線表達(dá)式為y＝﹣x2+3x；

（2）設(shè)隔離區(qū)的面積為S米2，

①當(dāng)AD＝2時，即y＝2，

則2＝﹣x2+3x，

解得x＝，

∴CD＝8＝OE（不合題意）；

②當(dāng)CD＝2時，

OD＝＝＝3，

∴當(dāng)x＝3時，y＝﹣×32+3×3＝，

∴S＝×2＝（米2）．

∴隔離區(qū)的面積為米2．

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的表達(dá)式．

11.如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA＝2米，在點A處安裝噴水裝置，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點（頂點）C距離水池面2.5米，且與OA的水平距離為2米．

（1）求拋物線C2的解析式；

（2）求拋物線C1與x軸的交點B的坐標(biāo)；

（3）小明同學(xué)打算操控微型無人機在C1，C2之間飛行，為了無人機的安全，要求無人機在豎直方向上的活動范圍不小于0.5米，設(shè)無人機與OA的水平距離為m，求m的取值范圍．

【分析】（1）由題意可知C2過點A（0，2）和點C（2，2.5），且﹣＝2，代入解析式可求得解析式；

（2）兩條拋物線的形狀相同且頂點的縱坐標(biāo)相同且C1經(jīng)過點（0，2），設(shè)C1的解析式為y＝﹣x2+bx+c，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求得解析式，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍即可；

（3）無人機的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)題意列出不等式﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，求解即可．

【解答】解：（1）由已知可得：C2過點A（0，2）和點C（2，2.5），設(shè)其解析式為y＝ax2+bx+c，

代入兩點，由C的橫坐標(biāo)為﹣＝2可得，

，

解得：，

故C2的解析式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）∵兩條拋物線的形狀相同

∴設(shè)C1的解析式為y＝﹣x2+bx+c，

已知C1經(jīng)過點（0，2），故C1的解析式為y＝﹣x2+bx+2①，

∵頂點的縱坐標(biāo)相同，

∴C1的頂點的橫坐標(biāo)為4b，代入①，

可得：﹣（4b）2+b4b+2＝2.5，

解得：b＝±1，

故C1的解析式為y＝﹣x2+x+2②或y＝﹣x2﹣x+2③，

由圖可知C1的終點的橫坐標(biāo)小于0，而②中﹣＝4＞0不合題意，故舍去②，

令將y＝0代入y＝﹣x2+x+2，

解得x＝4﹣4，

故B點的坐標(biāo)為（4﹣4，0）．

（3）設(shè)無人機的橫坐標(biāo)為x，

由題意可得：﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，

解得：x．

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．

考點五：二次函數(shù)的綜合

12.拋物線G：y＝ax2+c與x軸交于A、B兩點，與y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．

（1）直接寫出拋物線G的解析式：yx2﹣1；

（2）如圖1，點D（﹣1，m）在拋物線G上，點P是拋物線G上一個動點，且在直線OD的下方，過點P作x軸的平行線交直線OD于點Q，當(dāng)線段PQ取最大值時，求點P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點M在y軸左側(cè)的拋物線G上，將點M先向右平移4個單位后再向下平移，使得到的對應(yīng)點N也落在y軸左側(cè)的拋物線G上，若S△CMN＝2，求點M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵點C（0，﹣1），且AB＝4OC．

∴OC＝1，AB＝4，

∵拋物線的對稱軸為y軸，

∴點A（﹣2，0），點B（2，0），

∴，

∴，

∴拋物線解析式為：yx2﹣1．

故答案為：yx2﹣1．

（2）∵D（﹣1，m）在yx2﹣1上，

∴D（﹣1，），

∴直線OD的解析式為yx，

設(shè)P（a，a2﹣1），則Q（a2，a2﹣1），

∴PQ＝a﹣（a2）（a）2，

∵0，

∴當(dāng)a時，PQ的值最大，此時P（，）．

（3）設(shè)點M（m，m2﹣1），則N（m+4，（m+4）2﹣1），

∵點C（0，﹣1），

∴設(shè)直線MC解析式為y＝kx﹣1，

即：m2﹣1＝mk﹣1，

∴km，

∴直線MC解析式為ymx﹣1，

如圖，過點N作NE∥y軸交CM于E，

∴點E（m+4，m（m+4）﹣1），

若點N在y軸左側(cè)，EN＝﹣m﹣4，

∵S△MNC＝S△MNE+S△CNE，

∴2（﹣m﹣4）×（﹣m），

∴m1＝﹣2﹣2，m2＝﹣2+2（舍去），

綜上所述點M（﹣2﹣2，2+2）．

13.如圖，已知直線yx+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）線段OC＝3，線段AD＝4；

（2）點M在CD上，且CM＝OM，拋物線y＝2x2+bx+c經(jīng)過點C，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵直線yx+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴y＝0時，x＝﹣3，x＝0時，y＝1，

∴A點坐標(biāo)為：（﹣3，0），B點坐標(biāo)為：（0，1），

∴OC＝3，DO＝1，

∴點C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長等于4

故答案為：3，4；

（2）∵CM＝OM，

∴∠OCM＝∠COM．

∵∠OCM+∠ODM＝∠COM+∠MOD＝90°，

∴∠ODM＝∠MOD，

∴OM＝MD＝CM，

∴點M是CD的中點，

∴點M的坐標(biāo)為（，）．

將點C，M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣3，c＝3，

∴拋物線y＝x2+bx+c的解析式為：y＝2x2﹣4x+3．

（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形．

①如圖1，當(dāng)點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形．

∴∠FCE＝∠PCE，

由題意可知，OA＝OC，

∴∠ACO＝∠PCE＝45°，

∴∠FCP＝90°，

∴菱形CFEP為正方形．

過點P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形．

∴CPCHPH．

設(shè)點P為（x，2x2﹣4x+3），則OH＝2x2﹣4x+3，PH＝x，

∵PH＝CH＝OC﹣OH，

∴3﹣（2x2﹣4x+3）＝x，

解得：x

∴CPCH，

則四邊形的周長為4CP＝6．

②如圖2，當(dāng)點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形．

∴CF＝PF，CE∥FP．

∵直線AC過點A（﹣3，0），點C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y＝x+3．

過點C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM＝FM．

反向延長PF交x軸于點N，

則PN⊥x軸，∴PF＝FN﹣PN，

設(shè)點P為（x，2x2﹣4x+3），則點F為（x，x+3），

∴FCx，F(xiàn)P＝（x+3）﹣（2x2﹣4x+3）x

解得：x，

∴FCx

∴菱形CFEP的周長為104，

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為6或104．

針對訓(xùn)練

二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示：若點A（x1，y1），B（x2，y2）在此函數(shù)圖象上，x1＜x2＜1，y1與y2的大小關(guān)系是

A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2

【答案】B

【分析】結(jié)合圖象和解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

【詳解】∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，對稱軸x=1，

∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大.

∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．

2.根據(jù)二次函數(shù)（，、、為常數(shù)）得到一些對應(yīng)值，列表如下：

判斷一元二次方程的一個解的范圍是

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】觀察表格可知，2.2～2.5之間，y隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在2.3～2.4之間由負(fù)到正，故可判斷時，對應(yīng)的x的值在2.3～2.4之間．

【詳解】根據(jù)表格可知，時，對應(yīng)的x的值在2.32.4之間.

故選C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的解之間的關(guān)系.關(guān)鍵是觀察表格,確定函數(shù)值由負(fù)到正時,對應(yīng)的自變量取值范圍.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2經(jīng)變換后得到拋物線y=x2+2，則這個變換可以()

A．向左平移2個單位B．向上平移2個單位

C．向下平移2個單位D．向右平移2個單位

【答案】B

【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用點平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．

【詳解】解：拋物線y=x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），拋物線y=x2+2，的頂點坐標(biāo)為（0，2），

點（0，0）向上平移2個單位得到（0，2），

∴拋物線y=x2向上平移2個單位y=x2+2，

故選：B．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的平移，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．

4.已知A（m，），B（4，）為拋物線上的兩個不同點，若＞，則可知m的取值范圍為（）

A．m＞4B．m＜2或m＞4C．m＜2D．2＜m＜4

【答案】D

【分析】由函數(shù)解析式知拋物線開口向下，對稱軸為直線，畫出圖象，結(jié)合圖象數(shù)形結(jié)合即可求解．

【詳解】解：∵，且，

∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，

∴點B（4，）關(guān)于對稱軸對稱的點為（2，）

畫出草圖如下：

∵＞，

∴2＜m＜4，

故選：D．

【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5.下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為元，隨著不同幅度的降價，日銷量（單位為件）發(fā)生相應(yīng)的變化．如果售價為元時，日銷量為（）件．

降價（元）

日銷量（件）

A．1200B．750C．1110D．1140

【答案】C

【分析】由題意根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析得，每降元，銷售量增加件，就可求出降元時的銷售量，以此進(jìn)行分析即可．

【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)得，每降元，銷售量增加件，

即每降元，銷售量增加件，

降元時，銷售量為（件）．

故答案為：．

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用：在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解答此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式．

6.拋物線的部分圖像如圖所示，則當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是_____．

【答案】

【分析】利用拋物線的對稱性寫出拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)，然后寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．

【詳解】∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），

而拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3，0），

∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0．

故答案為﹣1＜x＜3．

【點評】本題考查了求拋物線與x軸的交點和圖像法解一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合的方法求解一元二次不等式．

7.拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，其部分圖象如圖所示．對于此拋物線有如下四個結(jié)論：

①abc＜0；

②2a+b＝0；

③4a﹣2b+c＞0；

④若m＞n＞0，則x＝m﹣1時的函數(shù)值小于x＝n﹣1時的函數(shù)值．

其中正確結(jié)論的序號是③④．

【分析】①根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與y軸的交點即可判斷；

②根據(jù)拋物線的對稱軸方程即可判斷；

③根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1可得拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣3，0），即可判斷；

④根據(jù)m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其與﹣1的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．

【解答】解：①觀察圖象可知：a＜0，b＜0，c＞0，

∴abc＞0，

所以①錯誤；

②∵對稱軸為直線x＝﹣1，

即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，

所以②錯誤；

③∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣3，0），

∴當(dāng)x＝﹣2時，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，

所以③正確；

∵m＞n＞0，

∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，

由x＞﹣1時，y隨x的增大而減小知x＝m﹣1時的函數(shù)值小于x＝n﹣1時的函數(shù)值，故④正確；

故答案為③④．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及點的坐標(biāo)特征．

8.丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價x（元/件）…354045…

每天銷售數(shù)量y（件）…908070…

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？

(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價應(yīng)定為50元(3)當(dāng)銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元

【分析】（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；

（2）根據(jù)題意得（x﹣30）（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應(yīng)定為50元；

（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+