復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A（2019）必修第二冊(cè)

7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義在上一節(jié)，我們把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。引入新數(shù)集后，就要研究其中的數(shù)之間的運(yùn)算。下面就來討論復(fù)數(shù)集中的運(yùn)算問題。首先，我們先看復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義。虛數(shù)有理數(shù)Q整數(shù)Z自然數(shù)N實(shí)數(shù)R負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)復(fù)數(shù)C復(fù)習(xí)引入1.復(fù)數(shù)的加法我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：

設(shè)

是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么

說明:很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)。特別地，當(dāng)

都是實(shí)數(shù)時(shí)，把它看作復(fù)數(shù)時(shí)的和就是這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和

。

新課講解1.設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因?yàn)閦1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

探究

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律嗎？（2）(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

所以（結(jié)合律）(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以（交換律）z1+z2=z2+z1

新課講解思考：

我們知道，實(shí)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，類比實(shí)數(shù)減法的意義，你認(rèn)為該如何定義復(fù)數(shù)的減法？新課講解1.復(fù)數(shù)的加法和減法的運(yùn)算法則P75-77復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則：實(shí)部和虛部分別相加/減(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1＋z2＝

，z1－z2＝

___.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(2)對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有加法交換律：z1＋z2＝______，

加法結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝

__.z2＋z1z1＋(z2＋z3)新課講解由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，得

復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)與原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)。而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？xO

設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)，則,∴向量就是與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.復(fù)數(shù)的加法可按照向量的加法來進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義新課講解探究：類比復(fù)數(shù)加法的幾何意義，你能指出復(fù)數(shù)減法的幾何意義？yxO復(fù)數(shù)減法的幾何意義：說明：1.復(fù)數(shù)的減法可按照向量的減法來進(jìn)行（三角形法則）。2.由向量的幾何意義可知表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的和兩點(diǎn)之間的距離。

設(shè)，分別與復(fù)數(shù)

，

對(duì)應(yīng)，則,新課講解2.復(fù)數(shù)的加/減法的幾何意義加法的平行四邊形減法的三角形法則(a,b)(c,d)(a+c,b+d)(a-c,b-d)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i=z1+z2=z1－z2復(fù)數(shù)差的模=對(duì)應(yīng)向量差的模=兩點(diǎn)距離新課講解例1.計(jì)算：解：例題講解復(fù)數(shù)加減法→對(duì)應(yīng)向量加減法解：例2.根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)

之間的距離因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為

，所以點(diǎn)

之間的距離為例題講解(同上)例題講解其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2－3i2復(fù)數(shù)模的最值問題復(fù)數(shù)模的最值問題常見結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,z1+z2對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則四邊形OACB:①為平行四邊形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.例：已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,說明下列各式所表示的幾何意義.(1)|z－(1+2i)|(2)|z+2i|點(diǎn)A到點(diǎn)(1,2)的距離點(diǎn)A到點(diǎn)(0,－2)的距離常見的結(jié)論例題講解方法技巧1．復(fù)數(shù)加減法法則的記憶(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．(2)把i看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加減