初中數(shù)學(xué)平面幾何專題

初中數(shù)學(xué)平面幾何專題全國名校初高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)銜接資料匯編（附詳解）（二十一）平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時，常涉及到線段長度以及長度比的問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長度比。例如，在一張方格紙上，我們作平行線$l_1$，$l_2$，$l_3$（如圖），直線$a$交$l_1$，$l_2$，$l_3$于點$A$，$B$，$C$，其中$AB=2$，$BC=3$。另作直線$b$交$l_1$，$l_2$，$l_3$于點$A'$，$B'$，$C'$，不難發(fā)現(xiàn)$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=2$。我們將這個結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。如圖，$l_1\parallell_2\parallell_3$，有$ABDE=BCEF$。當(dāng)然，也可以得出$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$。在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應(yīng)關(guān)系，是“對應(yīng)”線段成比例。例1：如圖，$l_1\parallell_2\parallell_3$，且$AB=2$，$BC=3$，$DF=4$，求$DE$，$EF$。解：因為$l_1\parallell_2\parallell_3$，所以$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{DF}{B'C'}=\dfrac{1}{2}$。因此，$DE=\dfrac{10}{3}$，$EF=\dfrac{8}{3}$。例2：在$\triangleABC$中，$D$，$E$為邊$AB$，$AC$上的點，$DE\parallelBC$，求證：$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。證法（一）：因為$DE\parallelBC$，所以$\angleADE=\angleABC$，$\angleAED=\angleACB$，因此$\triangleADE\sim\triangleABC$。所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。證法（二）：如圖，過$A$作直線$l\parallelBC$，$l\parallelDE$，則$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$。因為$l\parallelBC$，所以$\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{AB}{AC}$，所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$。又因為$l\parallelDE$，所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。因此，$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。例3：已知$\triangleABC$，$D$在$AC$上，$AD:DC=2:1$，能否在$AB$上找到一點$E$，使得線段$EC$的中點在$BD$上。解：假設(shè)能找到，如圖，設(shè)$EC$交$BD$于$F$，則$F$為$EC$的中點，作$EG\parallelAC$交$BD$于$G$。因為$EG\parallelAC$，所以$\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AG}{GB}$，即$\dfrac{2}{1}=\dfrac{AG}{GB}$。又因為$F$為$EC$的中點，所以$\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{BG}{AG}=2$。因此，$\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{BG}{AG}$，即$FG\parallelBD$。但是，$FG$與$EG$重合，與$BD$平行，這與$BD$有交點矛盾。因此，不能找到這樣的點$E$。例6如圖，在直角三角形ABC中，$\angleBAC=90^\circ$，$AD\perpBC$于D。求證：（1）$AB^2=BD\cdotBC$，$AC^2=CD\cdotCB$；（2）$AD^2=BD\cdotCD$。證明（1）在$\triangleABC$和$\triangleABD$中，$\angleBAC=\angleBDA=90^\circ$，$\angleABD=\angleACB$，因此$\triangleABC\sim\triangleABD$，由此可得$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BC}{AB}$，即$AB^2=BD\cdotBC$。同理可證得$AC^2=CD\cdotCB$。（2）在$\triangleABD$和$\triangleACD$中，$\angleBDA=\angleCDA=90^\circ$，$\angleABD=\angleACD$，因此$\triangleABD\sim\triangleACD$，由此可得$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BD}{AD}$，即$AD^2=BD\cdotCD$。這個結(jié)論被稱為射影定理，對直角三角形的運算很有用。例7在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$于D，$DE\perpAB$于E，$DF\perpAC$于F，求證：$AE\cdotAB=AF\cdotAC$。證明：由題意可知，$\triangleADE\sim\triangleAFB$，$\triangleADF\sim\triangleAEC$。因此，$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$，即$AE\cdotAB=AF\cdotAC$。例8如圖，在$\triangleABC$中，D為邊BC的中點，E為邊AC上的任意一點，$BE$交$AD$于點O。某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：（1）當(dāng)$\dfrac{AE}{AO}=1:1$時，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2$。（2）當(dāng)$\dfrac{AE}{AO}=2:1$時，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=5$。（3）當(dāng)$\dfrac{AE}{AO}=3:1$時，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=10$。在圖中，當(dāng)$\dfrac{AE}{AO}=n:1$時，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=f(n)$。用n表示$\dfrac{AE}{AO}=1+\dfrac{1}{n}$，參照上述研究結(jié)論，請你猜想$\dfrac{AC^2}{AD^2}$的一般結(jié)論，并給出證明（其中n為正整數(shù)）。解：依題意可以猜想：當(dāng)$\dfrac{AE}{AO}=1+\dfrac{1}{n}$時，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2n^2-1$。證明：過點D作$DF\parallelBE$交$AC$于點F，因為$QD$是$BC$的中點，$F$是$EC$的中點，由$\triangleADE\sim\triangleAFB$可知$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AD}{AB}$，即$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AF}{AB}$。又因為$\triangleADF\sim\triangleAEC$，可得$\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AD}$，因此$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$。由此可得$\dfrac{AC^2}{AD^2}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\dfrac{(1+\frac{1}{n})^2}{4}$，化簡后即得到$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2n^2-1$。1.題目：如圖，D是VABC的邊AB上的一點，過D點作DE//BC交AC于E。已知AD：DB=2：3，則SVADE:S四邊形BCDE等于（）A．2:3B．4:9C．4:5D．4:21改寫：在圖中，連接AD，BD，DE并延長至交點C。由題意可得AD:DB=2:3，因此可以設(shè)AD=2x，DB=3x。根據(jù)平行線性質(zhì)，得到AE:EC=AD:DC=2:5，因此CE=5x。根據(jù)相似三角形性質(zhì)，得到SVADE:S四邊形BCDE=AE:CE=2:5。因此，答案為C．4:5。2.題目：若一個梯形的中位線長為15，一條對角線把中位線分成兩條線段。這兩條線段的比是3:2，則梯形的上、下底長分別是__________。改寫：設(shè)梯形的上底為x，下底為y，對角線為z。由中位線的性質(zhì)可得(x+y)/2=15，即x+y=30。根據(jù)題意可得(x/y)=3/2，因此x=3y/2。根據(jù)勾股定理可得z=sqrt(x^2+y^2)，代入x和y的表達式中得到z=sqrt(13y^2/4)。又因為z是整數(shù)，因此y必須是4的倍數(shù)。代入y=4，得到x=6，因此上底為6，下底為9。3.題目：已知：VABC的三邊長分別是3，4，5，與其相似的VA'B'C'的最大邊長是15，求A'B'C'的面積SVA'B'C'。改寫：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到A'B':AB=BC':B'C'=AC':A'C'=k，其中k是相似比。又因為A'B'C'的最大邊長是15，因此k=15/5=3。因此，A'B'=3AB=9，B'C'=3BC=12，A'C'=3AC=15。根據(jù)海倫公式，得到SVA'B'C'=sqrt(p(p-A'B')(p-B'C')(p-A'C'))，其中p=(A'B'+B'C'+A'C')/2=18。代入計算得到SVA'B'C'=54。4.題目：已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。(1)請判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說明理由；(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD滿足什么條件時，EFGH是菱形？是正方形？改寫：(1)四邊形EFGH是平行四邊形。因為E、F、G、H分別是四邊形ABCD的中點，所以EF//AB，GH//CD，且EF=AB/2，GH=CD/2。因此，EFGH是平行四邊形。(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD滿足AC=BD時，EFGH是菱形；若對角線AC、BD滿足AC=BD且ABCD是菱形時，EFGH是正方形。因為AC=BD時，四邊形EFGH的對角線互相平分，因此是菱形。若ABCD是菱形，那么其對角線相互垂直且平分，因此EFGH的對角線也相互垂直且平分，因此是正方形。5.題目：如圖,點C、D在線段AB上，VPCD是等邊三角形。(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時，VACP∽VPDB？(2)當(dāng)VACP∽VPDB時，求DAPB的度數(shù)。改寫：(1)當(dāng)AC:CD:DB=1:1:2時，VACP∽VPDB。因為VPCD是等邊三角形，所以PC=PD=CD/2。又因為AC:CD:DB=1:1:2，因此AD=3AC，BD=3DB，CD=2AC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到VACP∽VPDB。(2)當(dāng)VACP∽VPDB時，由相似三角形的性質(zhì)可得AP:PD=PA:PB，因此AP/PB=PD/PA。又因為VPCD是等邊三角形，所以PD=PC=PA，因此AP/PB=1。因此，DAPB=45度。2.已知三角形VABC，連結(jié)三邊中點構(gòu)成第二個三角形，依此類推，第2003個三角形周長為多少？3.在梯形ABCD中，AD//BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF//AD。證明OE=OF，求證：OEOE/ADBC=1/12，證明ADBCEF+=1。C組1.在三角形VABC中，P是邊AB上一點，要使VACP∽VABC，還需要補充什么條件？若VACP∽VABC，且AP:PB=2:1，則BC:PC=1:3。2.在四邊形ABCD中，點E是對角線BD上一點，且∠BDC=∠DAE=∠BAC。證明BE/AD=CD/AE，猜想BC/DE可能等于哪兩條線段的比，并給出證明。3.在直角三角形RtVABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC上任一點，DE⊥AC，DF⊥AB于F，M為BC的中點。判斷VMEF的形狀，并證明結(jié)論。4.在圖a中，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于E，EF⊥AB交BD于F，證明111+=SABCDEF成立。若將圖a中的垂直改為斜交，如圖b，AB//CD，AD、BC相交于E，EF//AB交BD于F，則：（1）111+=SABCDEF是否成立？請給出證明或說明理由；（2）找出SVABD、SVBCD和SVEBD之間的關(guān)系，并給出證明。（二十三）三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。全國名校初高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)銜接資料匯編（附詳解）在三角形VABC中，有三條邊AB,BC,CA和三個頂點A,B,C。角平分線、中線、高是三角形中的三種重要線段。三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心。三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點。例1：求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1。已知D、E、F分別為VABC三邊BC、CA、AB的中點，求證AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2：1。證明：連結(jié)DE，設(shè)AD、BE交于點G，QD、E分別為BC、AE的中點，則DE//AB，且DE=1/2AB。由于VGDE∽VGAB，且相似比為1：2，AG=2GD，BG=2GE。設(shè)AD、CF交于點G'，同理可得，AG'=2G'D，CG'=2G'F，則G與G'重合，AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2:1。三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等。例2：已知VABC的三邊長分別為BC=a，AC=b，AB=c，I為VABC的內(nèi)心，且I在VABC的邊BC、AC上的射影分別為D、E、F，求證：AE=AF=c/2。證明：作VABC的內(nèi)切圓，則D、E、F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點，QA、QF為圓的從同一點作的兩條切線，AE=AF。同理，BD=BF，CD=CE。則b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE，即AE=AF=c/2。例3：若三角形的內(nèi)心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形。已知O為三角形ABC的重心和內(nèi)心，求證三角形ABC為等邊三角形。證明：連AO并延長交BC于D。由于O為三角形的內(nèi)心，故AD平分∠BAC，AB/BD=AC/CD（角平分線性質(zhì)定理）。由于O為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DC。則AB/AC=AB/BD×CD/AC=BD/CD=1，即AB=AC。同理可得，AB=BC，故VABC為等邊三角形。三角形的垂心是指三角形三條高所在直線的交點。對于銳角三角形，垂心在三角形內(nèi)部；對于直角三角形，垂心在直角頂點；對于鈍角三角形，垂心在三角形外部。要證明三角形的三條高相交于一點，可以以其中任意兩條高為直徑作圓，證明第三條高也與該圓相交，進而證明三條高的交點在圓心上。例如，以垂足H和重心G為圓心作圓，證明兩圓相交于A和B，進而證明垂線和中線交于H和G，即三條高相交于一點。如果三角形的垂心和重心重合，那么該三角形為正三角形。可以通過證明垂心和重心的距離等于重心和頂點的距離，進而證明三邊相等，即為正三角形。對于等腰三角形，底邊上的角平分線、中線和高線會合于一點，即內(nèi)心、重心和垂心在一條直線上。在已知三角形ABC中，如果AB=AC=3，BC=2，則可以通過求出高BE和中線AD的長度，進而求出面積S。內(nèi)切圓半徑r可以通過海倫公式求得，外接圓半徑R可以通過勾股定理和三角形面積公式求得。+h3不再等于h，因為此時三角形ABC不再完全包含點P。根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，點P到三邊的距離分別等于半徑，且半徑不相等。因此，我們可以猜測h1,h2,h3之間存在某種關(guān)系，但無法直接證明。在等腰直角三角形RtABC中，由勾股定理可得3∠A=∠1+∠2，化簡得3∠A=2(∠1+∠2)。在斜邊AB上任取一點D，連接DE⊥CD于點E，BF⊥CD交CD的延長線于點F，CH⊥AB于點H，交AE于點G。要證明BD=CG。對于直線和圓的位置