專題05指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（教師版）

專題05指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（文科），第16題,5分對數(shù)型函數(shù)奇偶性求參2022年全國乙（理科），第16題,5分指數(shù)型函數(shù)根據(jù)極值求參2022年全國甲（文科），第12題,5分指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)比大小不等式2022年全國甲（理科），第5題,5分指數(shù)型函數(shù)圖象三角函數(shù)2022年全國甲（理科），第6題,5分對數(shù)型函數(shù)導(dǎo)函數(shù)2023年全國甲（文科），第8題,5分指數(shù)型函數(shù)求切線2023年全國乙（文科），第5題,5分指數(shù)型函數(shù)奇偶性奇偶性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考必考點，考查指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、圖象等；2.和冪函數(shù)一起考查比較大小?！緜淇疾呗浴?.了解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，能根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算；2.會畫指數(shù)函數(shù)的圖象，知道圖象與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系；3.掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用；4.會進行對數(shù)的運算；會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)和圖象之間的對應(yīng).5.了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；6.掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用。【命題預(yù)測】1.利用指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)比較大??；2.函數(shù)解析式中含有指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)，求切線、求極值、求參數(shù)；3.根據(jù)指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)找出正確的函數(shù)圖象。知識講解一、根式1.根式的概念若xn=a,則x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.na叫作根式,這里n叫作根指數(shù),a叫作被開方數(shù)2.a的n次方根的表示xn=a?x二、有理數(shù)指數(shù)冪1.冪的有關(guān)概念(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*,(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=1nam(a>0,m,n∈N(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

2.實數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)a>10<a<1圖象圖象特征在x軸上方,過定點(0,1)

當(dāng)x逐漸增大時,圖象逐漸上升當(dāng)x逐漸增大時,圖象逐漸下降性質(zhì)定義域R值域(0,+∞)

單調(diào)性單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=0時,y=1

當(dāng)x<0時,0<y<1;

當(dāng)x>0時,y>1

當(dāng)x<0時,y>1;

當(dāng)x>0時,0<y<1

1.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個特殊的點:(1,a),(0,1),-1,12.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象如圖所示,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象離x軸越遠,底數(shù)越大.3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān),要特別注意分a>1與0<a<1來研究.1.指數(shù)冪的運算先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算,但應(yīng)注意:(1)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;(2)運算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的3個技巧:(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(1,a)，(0,1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象,一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這些點,若不滿足則排除.(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到的.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.比較指數(shù)式大小的方法:(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時,構(gòu)造指數(shù)函數(shù)比較大小.(2)當(dāng)指數(shù)相同,底數(shù)不同時,構(gòu)造冪函數(shù)比較大小.(3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同,指數(shù)也不同時,常借助1,0等中間量進行比較.1.解指數(shù)方程或不等式的依據(jù):①af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時,等價于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時,等價于f(x)<g(x).2.解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時,一要考慮復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減;二要注意當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時,要分類討論.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題,首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時,一般要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.四、對數(shù)概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù),logaN叫作對數(shù)式結(jié)論對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?x=logaN

loga1=0,logaa=1,alogaN=運算性質(zhì)loga(M·N)=logaM+logaN

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)

換底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>換底公式的三個重要結(jié)論(1)logab=1lo(2)logambn=nmlog(3)logab·logbc·logcd=logad.五、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1圖象圖象特征在y軸右側(cè),過定點(1,0)

當(dāng)x逐漸增大時,圖象是上升的

當(dāng)x逐漸增大時,圖象是下降的

性質(zhì)定義域(0,+∞)值域R單調(diào)性在(0,+∞)上是增函數(shù)

在(0,+∞)上是減函數(shù)

函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=1時,y=0

當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0

當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0

對數(shù)函數(shù)圖象的特點(1)對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過點(1,0),(a,1),1a,-1,(2)函數(shù)y=logax與y=log1ax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x(3)對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較.如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.六、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.1.在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)運算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算法則,轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應(yīng)注意互化.利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想;(2)對一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進行分類討論底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進行比較解對數(shù)不等式的類型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0<a<1兩種情況討論;②形如logax>b的不等式,需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式再進行求解.已知f(x)=loga[g(x)]在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)遞增函數(shù),對于這類問題,應(yīng)從兩個方面考慮:一是根據(jù)a與1的大小關(guān)系確定g(x)在[m,n]上的單調(diào)性;二是g(x)>0在x∈[m,n]時恒成立,此時只需g(x)min>0即可.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外,解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.考點一、指數(shù)冪運算1．(2023年杭州模擬)化簡的結(jié)果是（

）.A． B．C． D．【答案】B【詳解】2．（2023年浙江省模擬）已知函數(shù)，則________，________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為，所以，所以.1．(1)計算:

.【答案】【詳解】原式.(2)若,則.

【答案】【詳解】由,兩邊平方得,再平方得,∴.又∵,∴.2．化簡求值:(1)；(2)（，）.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得.【詳解】（1）.（2）3．（2023年浙江省模擬）設(shè)函數(shù)，若，則__________.【答案】【分析】分段求解方程和指數(shù)方程，則問題得解.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，(舍)．．考點二、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2023年陜西省部分名校模擬）已知函數(shù),若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的圖象，得到，問題轉(zhuǎn)化為，換元后進行求解，得到答案.【詳解】作出的圖象，如圖所示：由，可得，則，令，則，故．2．（2023年朔州市名校模擬）若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，對勾函數(shù)和都是遞增函數(shù)，當(dāng)時，對勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，對勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，所以，解之得：，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是3．（2023年高考全國甲卷（文科）真題）已知函數(shù)．記，則（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.2．若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】要使函數(shù)為R上的增函數(shù)，應(yīng)有，解得.3．已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后利用函數(shù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，所以，因為函數(shù)在R為增函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，綜上，.考點三、對數(shù)的運算1．(1)(2020年全國Ⅰ卷)設(shè),則（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】由可得,所以,所以.(2)計算:.

【答案】2【詳解】原式.(3)計算:.

【答案】6【詳解】.2．(2022年浙江卷)已知,,則（

）.A．25 B．5 C． D．【答案】C【詳解】因為,,即,所以.3．（2023年浙江省模擬）已知函數(shù)，則_______，_________.【答案】//【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值，計算出的范圍，根據(jù)函數(shù)的解析式可求得的值.【詳解】因為，則；因為，所以，，所以，.1．計算：（1）；（2）.（3）.【答案】（1）0；（2）；（3）2【分析】（1）（2）（3）根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算法則直接計算；【詳解】（1）原式；（2）＝＝＝＝（3）=22．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則____________．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳解】函數(shù)，所以.3．已知函數(shù)．則______；若，則實數(shù)m的值為______．【答案】或【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，對參數(shù)的取值范圍進行分類討論，結(jié)合函數(shù)解析式和函數(shù)值，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，，解得，滿足題意；當(dāng)時，，解得，滿足題意；綜上：的值為或.考點四、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象1．(2023年寧波適應(yīng)性考試)若,則函數(shù)的圖象大致是（

）.ABCD【答案】C【詳解】∵,且,∴指數(shù)函數(shù)為減函數(shù),∴,∴對數(shù)函數(shù)上為減函數(shù).在該函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上向右平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象,因此,C選項中的圖象為函數(shù)的圖象.2．（2022年全國高考甲卷（理）高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.3．(2023年山東二模)已知函數(shù)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關(guān)系是（

）.A．B．C．D．【答案】A【詳解】由函數(shù)圖象可知,為增函數(shù),故.函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為,由函數(shù)圖象可知,解得.綜上,.1．(2023年山東滕州模擬)函數(shù)的圖象大致為（

）.ABCD【答案】A【詳解】由函數(shù)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱.設(shè),先畫出當(dāng)時的圖象,然后根據(jù)的圖象關(guān)于軸對稱畫出當(dāng)時的圖象,最后由函數(shù)的圖象向上整體平移1個單位長度即得的圖象,結(jié)合圖象知選A.2．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；3．已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出、的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷ACD選項，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項.【詳解】由圖象可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，可得.對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由題意可知，，則，所以，，D對.考點五、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2023年陜西省模擬）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用解絕對值不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，根據(jù)集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意可得集合，，故.2．(2023年四川綿陽三模)已知,,,則,,的大小關(guān)系為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為,所以,.又因為為增函數(shù),,所以.3．（2023年浙江省模擬）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．和【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，在分析內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于函數(shù)，令，解得且，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和.1．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時,由,得.又因為函數(shù)為偶函數(shù),所以不等式的解集為.2．已知,,,則（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】又∵,∴.3．設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是（

）.【答案】【詳解】令,由上是減函數(shù)可得在上是減函數(shù),且在上恒成立又,∴，解得.考點六、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用1．若函數(shù)有最小值,則實數(shù)的取值范圍是.

【答案】(1,2)【詳解】令,則有最小值,欲使函數(shù)有最小值,則有，解得1<a<2,即實數(shù)a的取值范圍為(1,2).2．（2023重慶市名校模擬）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對數(shù)恒等式對題給式子進行變形，進而構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解最值.【詳解】正數(shù)、滿足，所以，即，因為，所以，利用對數(shù)恒等式有，令，，因為恒成立.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.故當(dāng)時，有最小值即，所以的最小值為.3．（2023昆明市名校模擬）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因為，所以，故，因為所以，即.1．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象找出實數(shù)a，b，c的范圍，求出，對不成立的結(jié)論可舉反例,對恒成立的結(jié)論結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)進行論證.【詳解】畫出函數(shù)圖象，如圖，

因為，且，.所以.且即.對A，因為，所以，故A成立；對B，因為，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，故B成立；

對C，因為，所以，又，則，令解得，即時，,因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，有，故C不成立；對D，因為，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，則.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D成立.2．甲、乙兩人解關(guān)于x的方程,甲寫錯了常數(shù)b,得到的根為,乙寫錯了常數(shù)c,得到的根為,則原方程的根為().A． B．C． D．【答案】D【詳解】令,則方程可化為,即,甲寫錯了常數(shù),所以是方程的兩根,所以,乙寫錯了常數(shù),所以是方程的兩根,所以,則可得原方程可化為,解得,所以原方程的根為.3．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】觀察的形式構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.【詳解】，，.構(gòu)造函數(shù)，則,當(dāng)時，,函數(shù)遞增;當(dāng)時，,函數(shù)遞減；因為,所以考點七、情景設(shè)置1．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；2．（2023湖南省名校模擬）著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數(shù)學(xué)觀點來對這句話重新詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是，一年后是；而把“不見其損”量化為每天的“落后率”都是，一年后是.可以計算得到，一年后的“進步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“進步率”和“落后率”都是20%，要使“進步”是“落后”的倍，大約需要經(jīng)過（，）（

）A．17天B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】經(jīng)過x天后，“進步”與“落后”的比，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，又，，所以，解得，所以大約經(jīng)過天后，“進步”是“落后”的倍.3．（2020年新課標(biāo)Ⅲ（理科）高考真題）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.1．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表（如下表），為當(dāng)時的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計算大大縮短了時間.即就是任何一個正實數(shù)N可以表示成，則，這樣我們可以知道N的位數(shù).已知正整數(shù)是35位數(shù)，則M的值為（）N23451112131415A．3B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式，再取常用對數(shù)即可判斷作答.【詳解】因為，則，所以，兩邊取常用對數(shù)得，于是，即，所以.2．（2023年重慶市部分名校模擬）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】設(shè)石片第次“打水漂”時的速率為，則，由于，可得，再結(jié)合對數(shù)公式，即可求解．【詳解】設(shè)石片第次“打水漂”時的速率為，則，，，則，即，解得，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為10．3．設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域為（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計算的值域.【詳解】當(dāng)時,，∴，當(dāng)時,，∴，∴函數(shù)的值域為.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023年安徽省部分名校模擬）集合，集合，全集，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)以及根式的性質(zhì)可化簡集合，即可由集合的交并補運算求解.【詳解】對于集合A,由于或，所以,，,故.2．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.據(jù)此，地震震級每提高1級，釋放出的能量是提高前的（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．倍B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】記地震震級提高至里氏震級，釋放后的能量為，由題意可推得，根據(jù)對數(shù)的運算，結(jié)合指對互化以及指數(shù)冪的運算，即可得出答案.【詳解】記地震震級提高至里氏震級，釋放后的能量為，由題意可知，，即，所以.3．（

）. 【答案】B【詳解】因,,,所以原式.4．（2023河南省部分名校模擬）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，，進而即可得到，，的大小關(guān)系．【詳解】由，且，即，又，所以c＜b＜a．5．著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數(shù)，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．39分鐘B．41分鐘 C．43分鐘 D．45分鐘【答案】B【分析】將已知數(shù)據(jù)代入模型，解之可得答案.【詳解】由題知，，，，，，，.6．（2023年浙江省部分名校模擬）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為，所以，7．（陜西省咸陽市武功縣普集高級中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月八模文科數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先得到函數(shù)的奇偶性，排除AC，再比較出，排除B，得到正確答案.【詳解】由題知，的定義域為，因為，∴是奇函數(shù)，排除A，C，因為，排除D.8．（2002年普高招生考試?yán)砜疲ù缶V卷））函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3，則______________．【答案】2【分析】由的單調(diào)性，可得其在和時，取得最值，列出方程求出的值【詳解】根據(jù)題意，由函數(shù)的性質(zhì)，可知其在上是單調(diào)函數(shù)，即當(dāng)和時，取得最值，∴，由，可得，即.9．函數(shù)的值域為______．【答案】．【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.【詳解】設(shè)，則，換元得，顯然當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域為．10．已知函數(shù),,則（

）. D.-3【答案】B【詳解】(法一)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)和奇函數(shù)的定義可知,是奇函數(shù),所以是奇函數(shù),故,所以,即.(法二)根據(jù)對數(shù)函數(shù)和函數(shù)圖象對稱的知識可知,函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以,即.11．（2023年廣西河池市模擬）已知函數(shù)其中，若函數(shù)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)分段確定函數(shù)的取值情況，滿足函數(shù)無最大值列不等式，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】因為，所以當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時，若函數(shù)無最大值，則，解得，又，所以a的取值范圍為.12．（2023年天津市部分名校模擬）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】注意到，，后利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)單調(diào)性可比較大小.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，則.綜上，.13．（2023太原市名校模擬）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.【能力提升】1．(2023年陜西西安模擬)已知函數(shù),則是（

）.A．非奇非偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增B．奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增C．非奇非偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減D．偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減【答案】A【詳解】要使函數(shù)有意義,需使,即,即,解得,所以函數(shù)的定義域為,定義域不關(guān)于原點對稱,所以是非奇非偶函數(shù).因為是增函數(shù),所以是增函數(shù),又y=lgx是增函數(shù),所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.2．（2023河南省名校模擬）已知函數(shù)的最大值為0，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對a作分類討論，根據(jù)題意求解.【詳解】若，即當(dāng)時，∴的最大值為0，滿足題意；若，當(dāng)時，，不滿足題意；若，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時等號成立，滿足題意；若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時等號成立，滿足題意；若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足題意；所以；3．（2023年河南省部分名校模擬）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，則可得，再由，易得，則可知，由此即可選出答案.【詳解】，由，有，可得．又由，有，有，可得．4．如圖所示，函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)及時的函數(shù)值即可得解.【詳解】∵，∴時，，當(dāng)時，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時，函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，5．定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱，因為當(dāng)時，，由，則，即，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由，由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.6．（2023年浙江省部分名校聯(lián)考試題）已知實數(shù)，其中，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的值域與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得；利用指數(shù)與對數(shù)的互換判斷；利用對數(shù)的運算法則與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得；從而得解.【詳解】因為，，所以，則；因為，所以，且，所以；因為，所以；綜上：.7．（2023江蘇省部分名校模擬）已知函數(shù)若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，整理的方程，可得的值；根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，可得的值，可得答案.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則；由題意，可得，則.由，則，即此時函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，根據(jù)題意可得，則，故.8．（2001年普高招生考試（廣東卷））若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，討論、，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的范圍.【詳解】由題意，當(dāng)，即時，在上，滿足要求；當(dāng)，即時，在上，不滿足要求.綜上，.9．（2023海南省模擬）下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題給函數(shù)在上先正值后負(fù)值的變化情況排除選項A；利用題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)排除選項C；利用當(dāng)時題給函數(shù)值為負(fù)值排除D；而選項B均符合以上要求.【詳解】當(dāng)時，，.排除A；由偶函數(shù)定義可得為偶函數(shù)，由題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；當(dāng)時，.排除D；為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.B均符合題給特征.10．已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以．此時，經(jīng)驗證，，故．（2）由（1）可知，任取，則，因為，則，，所以，所以是上的增函數(shù)．由恒成立，得恒成立，則，所以恒成立，因為，所以．實數(shù)的取值范圍為：．11．（2005年普高招生考試（文）（北京卷））對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是________．【答案】②③【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則計算得到①不正確，②正確，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到③正確，代入計算結(jié)合均值不等式得到④不正確，得到答案.【詳解】，，則①不正確；，，故②正確；在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，則，同理時成立，故③正確；，，，則，故④不成立.故答案為：②③12．（2023浙江省名校模擬）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，故.13．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性，從而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【詳解】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，【真題感知】1．(2021年全國甲卷高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知在上是減函數(shù),不符合題意;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在上是減函數(shù),不符合題意;由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上不單調(diào),不符合題意;根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,符合題意.2．（2022年北京市高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；3．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.4．（2023年北京高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為