九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第03講 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（原卷版）

/第03講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：傳播問(wèn)題類型二：平均增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題類型三：幾何圖形面積問(wèn)題 類型四：數(shù)字問(wèn)題 類型五：銷售利潤(rùn)問(wèn)題類型六：其他問(wèn)題類型一：傳播問(wèn)題傳染源第一輪被傳染的第二輪被傳染的第二輪傳染后的總數(shù)．典型例題例題1．（2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有225人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)為x人，則可列方程（

）A． B． C． D．例題2．（2022·黑龍江省八五四農(nóng)場(chǎng)學(xué)校九年級(jí)期末）2021年10月10日，第七屆黑龍江綠色食品產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)開(kāi)幕，虎林市組建團(tuán)隊(duì)參加，在參加會(huì)議前團(tuán)隊(duì)每?jī)蓚€(gè)人間互送了一次名片，一共送出90張名片，這個(gè)團(tuán)隊(duì)共有_____人．例題3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染，請(qǐng)用一元二次方程的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，那么經(jīng)過(guò)三輪感染后，被感染的電腦共有多少臺(tái)？同類題型演練1．（2022·四川廣元·九年級(jí)期末）有一人感染了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100人被感染，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)x滿足的方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）有一人患了紅眼病，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了紅眼病，那每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（

）人．A．10 B．11 C．12 D．133．（2021·山東·九年級(jí)期中）今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到200個(gè)紅包，則可以列方程為_(kāi)_．4．（2022·江西九江·九年級(jí)期末）某樹主干長(zhǎng)出x根枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出x根小分支，若主干、枝干和小分支總數(shù)共133根，則主干長(zhǎng)出枝干的根數(shù)x為_(kāi)_____．5．（2021·湖北·荊州市荊南中學(xué)九年級(jí)期中）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見(jiàn)面必須握1次手．

（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會(huì)的人共握手36次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)？類型二：平均增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題（1）設(shè)基數(shù)為，平均增長(zhǎng)率為，則第一次增長(zhǎng)后的值為，兩次增長(zhǎng)后的值為，依次類推，次增長(zhǎng)后的．（2）設(shè)基數(shù)為，平均降低率為，則第一次降低后的值為，兩次降低后的值為，依次類推，次降低后的值為．典型例題例題1．（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列方程得（

）A．100(1+x)2=81 B．100(1-x2)=81C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81例題2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）某種藥品的價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)后，由每盒100元下調(diào)至64元，假設(shè)每次降價(jià)的百分率相等，這種藥品每次降價(jià)的百分率是________．例題3．（2022·河南平頂山·九年級(jí)期末）網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物已成為新的消費(fèi)方式，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，某小型的快遞公司，今年5月份與7月份完成快遞件數(shù)分別為5萬(wàn)件和6.05萬(wàn)件，假定每月投遞的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率相同．(1)求該快遞公司投遞的快遞件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率：(2)如果每個(gè)快遞小哥平均每月最多可投遞0.8萬(wàn)件，公司現(xiàn)有8個(gè)快遞小哥，按此快遞增長(zhǎng)速度，不增加人手的情況下，能否完成今年8月份的投遞任務(wù)？同類題型演練1．（2022·云南紅河·九年級(jí)期末）某商品原售價(jià)是200元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為162元，設(shè)平均每次降百分率為x，則下面所列方程中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南株洲·九年級(jí)期中）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示．從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率約為（

）．2020年1～5月份某廠家的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖A．45% B．50% C．67% D．75%3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在國(guó)家政策的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交均價(jià)由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，則11、12兩月平均每月降價(jià)的百分率是_______%．4．（2021·湖南永州·九年級(jí)期中）某工廠今年元月份的產(chǎn)值是50萬(wàn)元，3月份的產(chǎn)值達(dá)到了72萬(wàn)元．若求2、3月份的產(chǎn)值平均增長(zhǎng)率，設(shè)這兩個(gè)月的產(chǎn)值平均月增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程______．5．（2022·陜西安康·九年級(jí)期末）某商店以每件16元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批熱銷商品，出售價(jià)格經(jīng)過(guò)兩個(gè)月的調(diào)整，從每件25元上漲到每件36元，此時(shí)每月可售出160件商品．(1)求該商品平均每月的價(jià)格增長(zhǎng)率；(2)因某些原因商家需盡快將這批商品售出，決定降價(jià)出售．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每下降0.5元，每個(gè)月多賣出1件，當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)商品每月的利潤(rùn)可達(dá)到1800元．類型三：幾何圖形面積問(wèn)題幾何圖形應(yīng)用題，關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程．典型例題例題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)期末）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600例題2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，則道路的寬為_(kāi)______．例題3．（2021·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)期末）如圖，有一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍，雞舍的一邊利用長(zhǎng)為米的墻，另外三邊用米長(zhǎng)的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊上留一個(gè)米寬的門，(1)若，問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)，雞舍面積為平方米(2)若住房墻的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，問(wèn)雞舍面積能否達(dá)到平方米？同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在一塊寬為，長(zhǎng)為的矩形空地上，修筑寬相等的兩條小路，兩條路分別與矩形的邊平行，如圖，若使剩余（陰影）部分的面積為，問(wèn)小路的寬應(yīng)是多少？設(shè)小路的寬為，根據(jù)題意得（

）A． B．C． D．以上都不正確2．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積擴(kuò)大了一倍，則小圓形場(chǎng)地的半徑為（

）A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m3．（2020·陜西商洛·九年級(jí)期末）如圖，一農(nóng)戶要建議個(gè)矩形花圃，花圃的一邊利用長(zhǎng)為12m的墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)于墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝804．（2021·江蘇淮安·九年級(jí)期中）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為、寬為的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為_(kāi)_______．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某校準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形花園內(nèi)修建一個(gè)底部為正方形的亭子如圖所示，在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的小路，亭子邊長(zhǎng)是小路寬度的倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為米．(1)花園內(nèi)的小路面積為_(kāi)_____平方米用含的代數(shù)式表示．(2)若草坪面積為平方米時(shí)，求這時(shí)道路寬度的值．類型四：數(shù)字問(wèn)題若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為、，則這個(gè)兩位數(shù)表示為；若一個(gè)三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為、、，則這個(gè)三位數(shù)表示為．典型例題例題1．（2019·全國(guó)·九年級(jí)）若兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差為36，則這兩個(gè)數(shù)為（

）A．-8和-10 B．8和10C．8和-10 D．-8和10例題2．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）已知一個(gè)數(shù)的平方減去30的差等于這個(gè)數(shù)本身，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)__．例題3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)字，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，而這兩個(gè)數(shù)字之積等于這個(gè)兩位數(shù)的，求這個(gè)兩位數(shù)．同類題型演練1．（2019·全國(guó)·九年級(jí)）兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和為85，則這兩個(gè)整數(shù)為（

）A．6，7 B．-7，-6C．6，7或-7，-6 D．不定2．（2020·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4，這個(gè)兩位數(shù)十位和個(gè)位交換位置后，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積為1612，那么原兩位數(shù)是（

）A．95 B．59 C．26 D．623．（2021·青?！の鲗幨猩蚰侵袑W(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)等于它的兩個(gè)數(shù)字積的3倍，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，由此得到方程____．4．（2021·江西南昌·九年級(jí)階段練習(xí)）在2021年10月的日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為180，則這個(gè)最小數(shù)為_(kāi)_____．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上數(shù)字與十位上數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，求這個(gè)兩位數(shù)．類型五：銷售利潤(rùn)問(wèn)題；；；．典型例題例題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）將進(jìn)價(jià)為元/個(gè)的某種商品按元/個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)每漲價(jià)1元，其銷售數(shù)量就減少個(gè)，若想使利潤(rùn)達(dá)到元，售價(jià)應(yīng)是多少？設(shè)售價(jià)為元/個(gè)，則可列方程（

）A．B．C．D．例題2．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．若商場(chǎng)平均每天銷售這種襯衫的盈利要達(dá)到1200元，則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，由題意列得方程______．例題3．（2022·陜西西安·九年級(jí)期末）為了滿足初中學(xué)業(yè)水平體育與健康考試的需求，某體育用品專賣店從廠家以單價(jià)40元進(jìn)購(gòu)了一種排球，如果以單價(jià)60元出售，那么每月可售出400個(gè)，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少5個(gè)．(1)設(shè)銷售單價(jià)提高x元，則每個(gè)排球獲得的利潤(rùn)是_____元；這種排球這個(gè)月的銷售量是_____個(gè)；(2)若該專賣店準(zhǔn)備在這種排球銷售上一月獲利10500元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品.若每件商品的售價(jià)定為元，則可賣出件，若商店計(jì)劃從這批商品中獲取400元的利潤(rùn)（不計(jì)其他成本），求售價(jià)．根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）小強(qiáng)為活動(dòng)小組購(gòu)買統(tǒng)一服裝，經(jīng)理給予如下優(yōu)惠：如果一次性購(gòu)買不超過(guò)10件，單價(jià)為80元：如果一次性購(gòu)買超過(guò)10件，那么每多買一件，購(gòu)買的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)最終不低于50元．小強(qiáng)一次性購(gòu)買這種服裝花費(fèi)1200元，則他購(gòu)買了這種服裝的件數(shù)是(

)A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件3．（2022·山東青島·二模）扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了市場(chǎng)．與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克，每千克的平均批發(fā)價(jià)比去年降低了1元，批發(fā)銷售總額比去年增加了20%．已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10000元，則這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是______元．4．（2022·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）2021年端午節(jié)期間，合肥某食品專賣店準(zhǔn)備了一批粽子，每盒利潤(rùn)為50元，平均每天可賣300盒，經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每降價(jià)1元，可多銷售10盒，為了盡快減少庫(kù)存，決定采取降價(jià)措施，專賣店要想平均每天盈利16000元，設(shè)每盒粽子降價(jià)元，可列方程________．5．（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）近兩年直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本價(jià)為60元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，該商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件，設(shè)每件商品降價(jià)x元．(1)每件商品降價(jià)x元時(shí)，日銷售量為_(kāi)_____件；(2)求x為何值時(shí)，日銷售能盈利1200元，同時(shí)又能盡快銷售完該商品；(3)麗麗的線下實(shí)體商店也銷售同款商品，標(biāo)價(jià)100元．為了提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，麗麗決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過(guò)（2）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？類型六：其他問(wèn)題典型例題例題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)期末）某校八年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)），共需安排36場(chǎng)比賽，則八年級(jí)班級(jí)的個(gè)數(shù)為(

)A．6 B．9 C．7 D．8例題2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）某年級(jí)舉行籃球比賽，賽制為雙循環(huán)賽，即每一個(gè)球隊(duì)都和其它的球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，已知共舉行了42場(chǎng)比賽，那么共有（

）支隊(duì)伍參加了比賽．A．7 B．6 C．12 D．14例題3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）某校九(1)班的學(xué)生互贈(zèng)新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九(1)班有________名學(xué)生．例題4．（2022·重慶沙坪壩·一模）助力上海疫情抗擊戰(zhàn)，愛(ài)心蔬菜送上門．志愿者將青菜與土豆打包成愛(ài)心蔬菜包，在當(dāng)?shù)胤饪匦^(qū)進(jìn)行“免費(fèi)送蔬菜”活動(dòng)，每個(gè)愛(ài)心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300個(gè)愛(ài)心蔬菜包，青菜與土豆共送出2100斤．(1)求每個(gè)愛(ài)心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？(2)第二天經(jīng)過(guò)緊急調(diào)運(yùn)，每個(gè)愛(ài)心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包個(gè)數(shù)比第一天多100m個(gè)，結(jié)果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．例題5．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)三模）海姆立克急救法是日常搶救氣管被異物堵塞的急救方法，但兒童和成人的施救方法不同．北關(guān)中學(xué)為教職工開(kāi)設(shè)“成人急救班”與“兒童急救班”．已知報(bào)名參加“成人急救班”與“兒童急救班”的人數(shù)共80人，其中報(bào)名參加“成人急救班”的人數(shù)比報(bào)名參加“兒童急救班”人數(shù)的一半還少10人．(1)報(bào)名參加“成人急救班”與“兒童急救班”的教職工各多少人？(2)開(kāi)課當(dāng)天，參加“成人急救班”的人數(shù)在報(bào)名人數(shù)基礎(chǔ)上增加了4m人，人均操作道具時(shí)間比原計(jì)劃的每人5分鐘少分鐘；參加“兒童急救班”的人數(shù)在報(bào)名人數(shù)基礎(chǔ)上減少了3m人，人均操作道具時(shí)間比原計(jì)劃的每人3分鐘多1分鐘，則兩個(gè)班所有人操作道具的總時(shí)間比原計(jì)劃增加60分鐘，求m的值．同類題型演練1．（2022·湖北襄陽(yáng)·二模）《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百九十一步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為891平方