河南省許昌市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

XCS2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線過，且，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因為，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.2.拋物線上一點M到焦點的距離為，則M到y(tǒng)軸距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點距離與到準線的距離是相等的，已知，則M到準線的距離也為，即點M的橫坐標，進而求出x．【詳解】∵拋物線，拋物線的準線方程為，設(shè)，由拋物線定義可知，，∴.故選：A.3.如圖，在正三棱柱中，若則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取中點，連接，把異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在中，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，分別取的中點，連接，可得且，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，因為三棱柱為正三棱柱，且，不妨設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，再取的中點，連接，可得，因為底面，所以底面，在直角中，可得，所以，所以，所以異面直線與所成的角為.故選：C.4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.為函數(shù)的零點B.是函數(shù)的最小值C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.為函數(shù)的極大值點【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值點和極值，以及零點的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】由的圖象，可得：當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，A中，是函數(shù)的一個極大值點，不一定是函數(shù)的零點，所以A不正確；B中，是函數(shù)一個極小值，不一定是函數(shù)的最小值，所以B錯誤；C中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C正確；D中，為函數(shù)的極小值點，所以D錯誤.故選：C.5.以點為圓心，且與軸相切的圓的標準方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得到圓的半徑，進而可得圓的方程.【詳解】以點為圓心，且與軸相切的圓的半徑為，故圓的標準方程是.故選：C.6.已知下列命題①已知向量，則；②已知向量，則；③已知向量共線，則與共線；④已知是平面內(nèi)的兩條相交直線.若，則.其中正確的命題的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的運算性質(zhì)判斷①；根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷②；根據(jù)向量共線的定理判斷③；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷④.【詳解】根據(jù)向量的運算性質(zhì)可知，，故①正確；根據(jù)數(shù)量積性質(zhì)，，故②正確；若向量共線，則，從而，故與共線，故③正確；根據(jù)線面垂直的判定定理，若是平面內(nèi)的兩條相交直線，，則，故④正確.故選：D.7.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點三角形的周長即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，，(，，)，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說明必要性不成立.【詳解】當時，，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，即充分性成立；，所以若數(shù)列為等差數(shù)列，則或，即必要性不成立，綜上，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A【點睛】本題考查等差數(shù)列定義以及充要關(guān)系判定，考查基本分析化簡求證能力，屬中檔題.9.已知動圓的圓心在拋物線上，且與直線相切，則此圓恒過定點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標和準線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出圓的半徑為圓心到直線的距離，對于圓心到拋物線的焦點的距離，故拋物線的焦點在圓上．【詳解】解：拋物線的標準方程為，拋物線的準線方程為，焦點為．設(shè)動圓圓心為，則到的距離．動圓與直線相切，到直線的距離為動圓半徑，即動圓半徑為，即為圓上的點．此圓恒過定點．故選：A．10.在平面直角坐標系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標為（）A. B.3 C.3或 D.2【答案】B【解析】【分析】由已知得，求得的方程，進而得，設(shè)，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以的方程為．由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點A的橫坐標為3．故選：B．11.如圖，作一個邊長為的正方形，再將各邊的中點相連作第二個正方形，依此類推，共作了個正方形，設(shè)這個正方形的面積之和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)每個正方形邊長都是相鄰前一個的可確定各正方形面積構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：從第個正方形開始，之后每個正方形邊長都是相鄰的前一個的，則從第個正方形開始，每個正方形面積都是相鄰的前一個的，將各正方形面積依次排成一列，可得等比數(shù)列，其首項，公比，.故選：C.12.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，則E的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進而利用勾股定理可得的關(guān)系，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意知延長則必過點,如圖：由雙曲線的定義知，又因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，因此，從而由得，所以，則，，，又因為，所以，即，即，故選：B.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.經(jīng)過兩點直線的方向向量為，則__________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量的定義，結(jié)合斜率的計算公式求解出的值.【詳解】因為直線的方向向量為，則為直線的斜率，又直線經(jīng)過兩點，所以.故答案為：.14.拋物線x2=-y上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】先求得與直線4x+3y-8=0平行，且與拋物線相切的直線，然后再利用平行線間的距離求解.【詳解】設(shè)直線4x+3y+c=0與拋物線相切，由，得3x2-4x-c=0，由Δ=16+12c=0，得c=-，所以兩平行線的距離為.故答案為：15.在數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前2023項的和__________.【答案】2023【解析】【分析】由題目條件分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的前項和公式、結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】由可知，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：2023.16.函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最小值的定義即可求解.【詳解】，令得，時，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，即且，則且，解得，故答案為：.三?解答題（第17題10分，第19-22題12分，共70分）17.（1）已知直線經(jīng)過，斜率為，求該直線的一般式方程；（2）已知頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8，離心率，求該雙曲線的標準方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出直線的點斜式方程，化為一般式方程即可；（2）由題意列出關(guān)于的方程，求出，即可得解.【詳解】（1）已知直線經(jīng)過，斜率為，則該直線的方程為，即該直線的一般式方程為；（2）因為兩頂點間的距離是8，離心率，則且，解得，從而，已知頂點在x軸上，即焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為.18.在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點（1）求AE的長；（2）求EF與CG所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；（2）連接，證得，把異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.【小問1詳解】解：在正方體中，可得，因為正方體的棱長為，在直角中，可得.【小問2詳解】解：取的中點，連接，可得，再連接，因為為棱的中點，可得，所以，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，因為正方體的棱長為，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得在，所以異面直線與所成的角的余弦值為19.已知為等差數(shù)列，前項和為，是首項為3且公比大于0的等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可計算得到公比的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)和求和公式，即可解出首項和公差的值，即可求得和的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式，然后運用錯位相減法求出前項和．【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則．則由可得，，解得或（舍去），所以，則，.由可得，由可得，，又，所以.所以，，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，所以.所以，，，兩式作差得，，所以，.20.已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點P的軌跡為曲線H.（1）求曲線H的方程；（2）經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用斜率公式即可化簡求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，即可結(jié)合斜率公式求解.【小問1詳解】設(shè)，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得【小問2詳解】設(shè)直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設(shè)，則，.故..21.雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.（1）求拋物線的方程；（2）如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，令，代入的方程得，結(jié)合三角形的面積求出，即可得出，從而得解；（2）由（1）知，可得的坐標，直線的方程為，代入拋物線的方程可得的坐標，進而得的方程，求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當時，，所以直線的方程為，即.所以此時直線過定點.當時，直線的方程為，此時仍過點，綜上，直線過定點.22.已知函數(shù).（