人教版高一數(shù)學(xué)下學(xué)期必修第二冊(cè)第六章《平面向量及其應(yīng)用》單元達(dá)標(biāo)高分突破基礎(chǔ)卷(含解析)

第第頁人教版高一數(shù)學(xué)下學(xué)期必修第二冊(cè)第六章《平面向量及其應(yīng)用》單元達(dá)標(biāo)高分突破基礎(chǔ)卷(含解析)第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．

1．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）給出如下命題：

①向量的長度與向量的長度相等；

②向量與平行，則與的方向相同或相反；

③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；

④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2022·全國·高一）設(shè)、是非零向量，則“、共線”是“”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

3．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在中，．若，，則（）

A．B．

C．D．

4．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，則在上的投影向量為（）

A．B．C．D．

5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量，，如果向量與平行，那么的值為（）

A．B．C．D．

6．（2023·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）若是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法中正確的是（）

A．不可以表示平面內(nèi)的所有向量；

B．對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)有無數(shù)多對(duì)；

C．若均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；

D．若存在實(shí)數(shù)使，則.

7．（2023·江蘇宿遷·高一期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等邊三角形

8．（2023·江蘇·南京市建鄴高級(jí)中學(xué)高一期末）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了求三角形面積的“三斜求積”公式：設(shè)△內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，面積．若，，則△面積的最大值為（）

A．B．C．D．

多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．

9．（2023·江蘇·邳州宿羊山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)

B．若，則點(diǎn)在邊的延長線上

C．若，則點(diǎn)是的重心

D．若，且，則的面積是的面積的

10．（2023·重慶市第二十九中學(xué)校高一期中）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）

A．已知均為非零向量，若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得

B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

C．若且，則

D．若點(diǎn)為的重心，則

11．（2023·重慶第二外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）以下關(guān)于正弦定理或其變形正確的有（）

A．在ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC

B．在ABC中，若sin2A＝sin2B，則a＝b

C．在ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，若A＞B，則sinA＞sinB都成立

D．在ABC中，

12．（2023·河北·滄州市一中高一階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）

A．是等邊三角形

B．若，則，，，四點(diǎn)共圓

C．四邊形面積最大值為

D．四邊形面積最小值為

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．（2023·上?！じ咭黄谀┮阎蛄浚?，．若，則________．

14．（2023·安徽·蚌埠田家炳中學(xué)高一階段練習(xí)）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為________．

15．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量，若，則______________.

16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則__________.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（2023·山東棗莊·高一期中）已知向量與的夾角為，且，.

（1）若與共線，求k；

（2）求，；

（3）求與的夾角的余弦值

18．（2023·云南·昆明八中高一階段練習(xí)）如圖所示，在中，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，，和相交于點(diǎn).

（1）用向量，表示；

（2）假設(shè)，用向量，表示并求出的值.

19．（2023·河北·深州長江中學(xué)高一期中）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

20．（2023·廣東·中山市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求周長的取值范圍.

21．（2023·浙江省寧波市鄞州中學(xué)高一期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．

（1）求角C的值；

（2）若，當(dāng)邊c取最小值時(shí)，求的面積．

22．（2023·重慶市江津中學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，.

（1）求；（2）若，求周長的最大值.

第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）全解全析

1．B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的基本概念，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析與判斷，找出正確的命題即可．

【詳解】

對(duì)于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；

對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；

對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．

綜上，正確的命題是①③．

故選：B．

2．B

【解析】

【分析】

利用特例法結(jié)合共線向量的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義判斷了得出結(jié)論.

【詳解】

解：已知、是非零向量，若、共線，取，則，

另一方面，若，則、方向相同，

即“”“、共線”，

因此，“、共線”是“”的必要而不充分條件.

故選：B.

3．C

【解析】

【分析】

根據(jù)．且，，利用平面向量的加法,減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.

【詳解】

因?yàn)椋?，?/p>

所以，

，

，

.

故選：C

4．C

【解析】

【分析】

由先求出，先表示出在上的投影，再結(jié)合投影向量概念即可求解.

【詳解】

因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋O(shè)的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.

故選：C

5．D

【解析】

【分析】

求出與的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量平行求出的值，即得解.

【詳解】

解：，

所以.

所以.

故選：D

6．D

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ與λ2+μ2均為零向量或者λ2+μ2為零向量的特殊情況，可以判定C.

【詳解】

由平面向量基本定理可知，A錯(cuò)誤，D正確；

對(duì)于B：由平面向量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，

那么該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí)，這樣的λ有無數(shù)個(gè)，

或當(dāng)λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時(shí)λ不存在，故C錯(cuò)誤；

故選：D.

7．A

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡得，故或者，進(jìn)而可判斷出三角形的形狀

【詳解】

因?yàn)?，由正弦定理可得：?/p>

整理可得：，

即，所以或者，

所以或，

而當(dāng)時(shí)則，

所以三角形為直角三角形，

所以，

則中，這時(shí)，分母為0無意義

所以，

故選：A．

8．C

【解析】

【分析】

由正弦定理邊角關(guān)系得，則，由題設(shè)得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求△面積的最大值.

【詳解】

∵，

∴由正弦定理得且，即且，

∴，

∴時(shí)，△面積取最大值．

故選：C．

9．ACD

【解析】

【分析】

判斷命題真假；將前面條件進(jìn)行化簡，去判斷點(diǎn)M的位置（D中若能判斷M位置也是一定得出面積比值）.

【詳解】

A中：,即：

,則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)

B.,則點(diǎn)在邊的延長線上，所以B錯(cuò)誤.

C.

設(shè)中點(diǎn)D,則,，由重心性質(zhì)可知C成立.

D．且設(shè)

所以，可知三點(diǎn)共線，所以的面積是面積的

故選擇ACD

【點(diǎn)睛】

通過向量加減運(yùn)算，進(jìn)行化簡去判斷點(diǎn)M的位置，難度較大.

10．AD

【解析】

【分析】

由向量共線定理可判斷選項(xiàng)A；由向量夾角的的坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)B；由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；由三角形的重心性質(zhì)即向量線性運(yùn)算可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：由向量共線定理知選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：，若與的夾角為銳角，則

解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得：，此時(shí)，，此時(shí)夾角為，不符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，因?yàn)椋瑒t或與垂直，

故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若點(diǎn)G為的重心，延長與交于，則為的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：兩個(gè)向量夾角為銳角數(shù)量積大于，但數(shù)量積大于向量夾角為銳角或，由向量夾角為銳角數(shù)量積大于，需要檢驗(yàn)向量共線的情況.兩個(gè)向量夾角為鈍角數(shù)量積小于，但數(shù)量積小于向量夾角為鈍角或.

11．ACD

【解析】

【分析】

對(duì)于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于B，由題得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于D，由正弦定理可得右邊＝＝左邊，故該選項(xiàng)正確.

【詳解】

對(duì)于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinBa＞bA＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于D，由正弦定理，可得右邊＝＝左邊，故該選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理及其變形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

12．AC

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點(diǎn)，，，共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．

【詳解】

由正弦定理，

得，

，

，B是等腰的底角，，

是等邊三角形，A正確；

B不正確：若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，

由A正確知，

但由于時(shí)，

，

∴B不正確．

C正確，D不正確：

設(shè)，則，

，

，

，

，

，

，

，∴C正確，D不正確；

故選：AC.．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

13．

【解析】

【分析】

由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．

【詳解】

由題可得

,即

故答案為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

14．.

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理將題中的式子化為，化簡求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，可以斷定為銳角，從而求得，進(jìn)一步求得，利用三角形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椋?/p>

結(jié)合正弦定理可得，

可得，因?yàn)椋?/p>

結(jié)合余弦定理，可得，

所以為銳角，且，從而求得，

所以的面積為，故答案是.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住、、等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

15．5

【解析】

【分析】

根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】

由可得，

又因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

16．.

【解析】

【分析】

建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別寫出向量而求解．

【詳解】

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，．

因?yàn)椤?，，所以?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

所以直線的斜率為，其方程為，

直線的斜率為，其方程為．

由得，，

所以．

所以．

【點(diǎn)睛】

平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用坐標(biāo)方法更為方便．

17．（1）；（2），；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用向量共線定理即可求解.

（2）利用向量數(shù)量積的定義：可得數(shù)量積，再將平方可求模.

（3）利用向量數(shù)量積即可夾角余弦值.

【詳解】

（1）若與共線，

則存在，使得

即，

又因?yàn)橄蛄颗c不共線，

所以，解得，所以.

（2），

，

（3）.

18．（1）；（2），.

【解析】

【分析】

（1）把放在中，利用向量加法的三角形法則即可；

（2）把，作為基底，表示出，利用求出.

【詳解】

解：由題意得，，所以，

（1）因?yàn)?，?/p>

所以

.

（2）由（1）知，而

而

因?yàn)榕c不共線，由平面向量基本定理得

解得

所以，即為所求.

【點(diǎn)睛】

在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算:

(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；

(2)樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算.

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）

即：

由正弦定理可得：

（2），由正弦定理得：

又，

整理可得：

解得：或

因?yàn)樗?，?

（2）法二：，由正弦定理得：

又，

整理可得：，即

由，所以

.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.

20．（1）；（2）