2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修1學(xué)案：實(shí)際問題的函數(shù)建模

§2實(shí)際問題的函數(shù)建模

內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

精確數(shù)據(jù)分析

1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

熟練數(shù)學(xué)建模

01謠前自主預(yù)習(xí)@-------------------------------------------------------掌握基本知識(shí)，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁

［基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)］

知識(shí)點(diǎn)一常見函數(shù)模型

預(yù)習(xí)教材Pl20T30,思考并完成以下問題

(1)①斜率k的取值是如何影響一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的？

②在幕函數(shù)模型的解析式中，a的正負(fù)如何影響函數(shù)的單調(diào)性？

提示：①人>0時(shí)直線必經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；％<0時(shí)直線必經(jīng)過二、

四象限，y隨x的增大而減小.②當(dāng)x>0,a>0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是上升的，在(0,

+8)上為增函數(shù)：當(dāng)》>0,a<0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是下降的，在(0,+8)上為減

函數(shù).

(2)①依據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型時(shí)主要依據(jù)函數(shù)的什么性質(zhì)？

②數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)？

提示：①主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值增長(zhǎng)速度的快慢.

②因?yàn)楦鶕?jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖選擇我們比較熟悉的、最簡(jiǎn)單的函數(shù)

進(jìn)行擬合，但用得到的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)就要再改選

其他函數(shù)模型.

知識(shí)梳理常見函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型y=kx+b（k,b為常數(shù),kWO）

1

(2)二次函數(shù)模型y=ax+bx+c（a9b,c為常數(shù)，aWO）

y=hax+c（a,b,c為常數(shù)，bWO,a>0

常用函數(shù)模型(3)指數(shù)函數(shù)模型

且a#l）

y=m\o^（lx+n（m,a,〃為常數(shù)，mWO,a

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型

>0且aWl）

（5）嘉函數(shù)模型〃為常數(shù)，〃W0）

ax+b(x<tn),

（6）分段函數(shù)模型尸

_cx+d(x^m)

知識(shí)點(diǎn)二解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

知識(shí)梳理利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:

（一）審題；（二）建模；（三）求模；（四）還原.

這些步驟用框圖表示如圖：

、聯(lián)想、

建立函數(shù)模型

、轉(zhuǎn)化

問

數(shù)

題

學(xué)

解

解

答

決

轉(zhuǎn)譯

I實(shí)際問題結(jié)論I數(shù)學(xué)問題結(jié)論

［自我檢測(cè)］

1.今有一組數(shù)據(jù)，如下表所示：

X12345

y356.999.0111

下列函數(shù)模型中，最接近的表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律的一個(gè)是（）

A.指數(shù)函數(shù)B.反比例函數(shù)

C.一次函數(shù)D.二次函數(shù)

解析：畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：

y

12.

10.

8?

6.

4".

2

°123456x

觀察散點(diǎn)圖，可見各個(gè)點(diǎn)接近于一條直線，所以可用一次函數(shù)表示.

答案：c

2.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，

分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與1的函數(shù)關(guān)系是（）

A.y=2xB.y=2x~］C.y=2xD.y=2x+］

解析：分裂一次后由2個(gè)變成2X2=22（個(gè)），分裂兩次后變成4X2=23（個(gè)），...,分裂

x次后變成y=2x+］個(gè).

答案：D

3.某汽車在一時(shí)間段內(nèi)速度。（km/h）與耗油量。（L）之間有近似的函數(shù)關(guān)系：0=0.0025優(yōu)

一0.175^+4.27,則車速為km/h時(shí)，汽車的耗油量最少.

解析：。=0.00254-0.175。+4.27

=0.0025(V2-70V)+4.27

=0.0025[(V-35)2-352]+4.27

=0.0025(V-35)2+1.2075.

故o=35km/h時(shí)，耗油量最少.

答案：35

02謠堂合作探究?------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁

探究一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型

［例1］某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x

元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系：

銷售單價(jià)x(元)30404550

日銷售量y(件)6030150

(1)在所給坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一

個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)；

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并

指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn).

［思路點(diǎn)撥J依據(jù)(x,y)的關(guān)系f/(x)是一次函數(shù)一建立P的函數(shù)關(guān)系一利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求最值.

［解析］實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，由圖可知y是x的V

60

一次函數(shù).50

40

(1)設(shè)_/(x)=fcr+6,30

20

60=301+"伏=-3,10

則彳解得-------，一，一

[30=40%+%,以=150.。1020304050,

-3x+150,30^X^50,檢驗(yàn)成立.

(2)P=(x-30)?(—3x+150)=—+240x-4500,30WxW50,

,對(duì)稱軸x="■…，。、=406［30,50］.

當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大.

方法技巧一次函數(shù)、二次函數(shù)均是重要的函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型在函數(shù)建模

中占有重要的地位.利用二次函數(shù)求最值時(shí)要注意取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.

跟蹤探究1.某校高一(2)班共有學(xué)生51人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來每人每年

用于購(gòu)買飲料的平均支出是〃元，若該班全體學(xué)生改飲某品牌的桶裝

純凈水，經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，其年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購(gòu)買純凈水的費(fèi)用，另一

部分是其它費(fèi)用228元，其中，純凈水的銷售價(jià)式元/桶)與年購(gòu)買總量y(桶)之間滿足如圖所

示關(guān)系.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)。=120時(shí)，若該班每年需要純凈水380桶，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息比較，該班全體學(xué)

生改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用與該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)用，哪一種更少？說明你的

理由；

(3)當(dāng)〃至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)

買飲料的年總費(fèi)用少？

解析：(1)設(shè))，=履+儀AW0),

：x=8時(shí)，y=400:x=10時(shí)，y=320.

400=Sk+b,僅=-40,

［320=10&+8,歷=720,

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_y=-40A+720(X>0).

(2)該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為51X120=6120(元).

當(dāng)y=380時(shí)，380=-40A+720,得X=8.5,

該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380X8.5+228=3458(元)，

所以，飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用少.

(3)設(shè)該班每年購(gòu)買純凈水的費(fèi)用為P元，則

P=jty=x(-40尤+720)=-40(彳-9)2+3240,

.,.當(dāng)X=9時(shí)，Pmax=3240.

要使飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用一定比該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)用少，

則51a2Pmax+228,解得a》68,故〃至少為68元時(shí)全班飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用一

定比該班全體學(xué)生購(gòu)買飲料的年總費(fèi)用少.

探究二指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

［例2］某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%,試解答以下

問題：

(1)寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y(萬人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系；

(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)計(jì)算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年).

(參考數(shù)據(jù)：1.012901.113,-1*0.079,lg2=0.3010,lg1.012M).005).

［解析］(1)2009年底人口總數(shù)為100萬人，

經(jīng)過1年，2010年底人口總數(shù)為100+100X1.2%=100X(1+1.2%),

經(jīng)過2年，2011年底人口總數(shù)為100X(l+1.2%)+100X(l+1.2%)X1.2%=100X(l+

1.2%)2,

經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為1OOX(1+1.2%)2+1OOX(1+1.2%)2X1.2%=1OOX(1+

1.2%)3,

所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100X(1+1.2%產(chǎn)，

所以)，=100X(1+1.2%上

(2)10年后該城市人口總數(shù)為100X(1+1.2%嚴(yán)仁112.7(萬人).

(3)由題意得100X(1+1.2%r>120,

兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg[l00x(1+1.2%)']>lg120,

整理得2+xlg1.012>2+lg1.2,得x216,

所以大約16年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人.

方法技巧指數(shù)型函數(shù)模型：)'=根〃+伏〃>0且機(jī)W0),在實(shí)際問題中，有關(guān)人口

增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：y

=mk)g.x+c5z#0,。>0且。#1),對(duì)數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)

算求解.

跟蹤探究2.燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子

的飛行速度可以表示為函數(shù)。=510826，單位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位？

(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？

解析：⑴由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度為0,代入題目所給公式可得0=51og2^.

解得。=10,即燕子靜止時(shí)的耗氧量為10個(gè)單位.

(2)將耗氧量。=80代入公式得：

80

o=51og2而=51og28=15(m/s),

即當(dāng)一只燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，飛行速度為15m/s.

探究三分段函數(shù)模型

[例3]某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該

商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：

消費(fèi)金額(元)的范圍[188,388](388,588](588,888](888,1188]...

獲得獎(jiǎng)券的金額(元)285888128...

根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的

商品，則消費(fèi)金額為320元，然后還能獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)券金額為28元.于是，該顧客獲得的優(yōu)

惠額為：400X0.2+28=108元.設(shè)購(gòu)買商品得到的優(yōu)惠率=%萼婆患顏試問:

(1)購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？

(2)當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為［100,600］元時(shí)，試寫出顧客得到的優(yōu)惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)

系式；

(3)當(dāng)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)不超過600元的商品時(shí)，該顧客是否可以得到超過35%的優(yōu)惠率？若

可以，請(qǐng)舉一例；若不可以，試說明你的理由.

［思路點(diǎn)撥］結(jié)合實(shí)例計(jì)算(1);當(dāng)xG［100,235),［235,485］,(485,600］,求y與x的關(guān)系

式；在(2)的基礎(chǔ)上計(jì)算每一段上的優(yōu)惠率，分析是否達(dá)到35%.

I解析］(1)由題意，標(biāo)價(jià)為1000元的商品消費(fèi)金額為1000X0.8=800元，

故優(yōu)惠額為：1000X0.2+88=288元，則優(yōu)惠率為：力7=28.8%.

1UUU

(2)由題意，當(dāng)消費(fèi)金額為188元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為235元；當(dāng)消費(fèi)金額為388元時(shí)，其標(biāo)價(jià)

為485元；

當(dāng)消費(fèi)金額為588元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為735元.

由此可得，當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為［100,600］元時(shí)，顧客得到的優(yōu)惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)

關(guān)系式為：

rn2x

丁=0.2,xE[100,235),

0.2r+2828

xx+0.2,X€[235,485J,

0.2x+5858

+0.2,x。(485,600].

LXx

(3)當(dāng)(0,235)時(shí)，優(yōu)惠率即為：20%;

28

當(dāng)［235,485］時(shí)，優(yōu)惠率為:y=0.2+y,

此時(shí)的最大優(yōu)惠率為0.2+急七0.319V35%.

當(dāng)xG(485,600］時(shí)，優(yōu)惠率為：y=0.2+y,

58

此時(shí)的優(yōu)惠率y<0.2+南七0.32V35%;

綜上，當(dāng)顧客購(gòu)買不超過600元商品時(shí)，可得到的優(yōu)惠率不會(huì)超過35%

延伸探究如果此人實(shí)際消費(fèi)1000元，問該人得到優(yōu)惠額共多少元？

解析：此人得到的優(yōu)惠額為：粵*X0.2+128=378元.

U.o

方法技巧1.分段函數(shù)模型是日常生活中常見的函數(shù)模型.對(duì)于分段函數(shù)，一要注意規(guī)范

書寫格式；二要注意各段的自變量的取值范圍，對(duì)于中間的各個(gè)分點(diǎn)，一般是“一邊閉，一

邊開”，以保證在各分點(diǎn)的“不重不漏”.

2.解決分段函數(shù)問題需注意幾個(gè)問題：(1)所有分段的區(qū)間的并集就是分段函數(shù)的定義

域.（2）求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，先要弄清自變量在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的解

析式來計(jì)算函數(shù)值.（3）一般地，分段函數(shù)由幾段組成，必須注意考慮各段的自變量的取值范

圍.

跟蹤探究3.如圖所示，等腰梯形A8CZ）的兩底分別為A￡>=2,BC=l,/8AO=45。，

直線交4。于M,交折線ABCO于N,記AM=x,試將梯形ABC￡>位于直線MN左

側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域.

解析：如圖，過B,C分別作4。的垂線，垂足分別為”和G,

13

則AH=y4G=],

當(dāng)M位于“左側(cè)時(shí)，AM=x,MN=x,

?'?y=S&AMN=2x^^^x<:'2,

當(dāng)M位于4,G之間時(shí)，y=TAH-HB+HM-MN=^X^X^+[x—^]x^=7：x—^,

當(dāng)M位于G,。之間時(shí)，y=S(MMSCD_(2+1)—T(2—X)(2—X)=—1JT+2X

53

1

不2

/\o?2，

二所求函數(shù)的關(guān)系式為y=<兵x<|,

153

+-

-不

22X-2

3

...函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2］,值域?yàn)?,4

探究四擬合函數(shù)模型的應(yīng)用

［例4］環(huán)境污染已經(jīng)嚴(yán)重危害人們的健康，某工廠因排污比較嚴(yán)重，決定著手整治，一

月時(shí)污染度為60,整治后前四個(gè)月的污染度如下表：

月數(shù)1234???

污染度6031130???

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用下列三個(gè)函數(shù)模型從整治

后第一個(gè)月開始工廠的污染模式:

>(x)=20|x—4|(x'l),g(x)=^(x—4)2(X21),/z(x)=30|log2x—2|(X5：1),其中x表示月數(shù)，

/(x),g(x),/z(x)分別表示污染度.

間選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理，并說明理由.

［解析］用〃(x)模擬比較合理.理由：因?yàn)?lt;2)=40,gQ尸26.7,〃⑵=30,『3)=20,

g(3)七6.7,加3)七12.5.

由此可得力(x)更接近實(shí)際值，所以用〃(x)模擬比較合理.

方法技巧對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是先建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題,

然后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答，這個(gè)過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)

擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：

(1)能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，描出數(shù)據(jù)點(diǎn).

(2)通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.如果所有實(shí)際

點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上，滴“點(diǎn)”不漏，那么這將是個(gè)十分完美的事情，但在實(shí)際應(yīng)

用中，這種情況一般是不會(huì)發(fā)生的.因此，使實(shí)際點(diǎn)盡可能地均勻分布在直線或曲線兩側(cè)，

得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.

(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.

(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù).

跟蹤探究4.為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)

量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉面積yhn?.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如下表所示.

年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hn?

115.228.6

210.421.1

321.240.5

418.636.6

526.449.8

623.445.0

713.529.2

816.734.1

924.045.8

1019.136.9

⑴描點(diǎn)畫出灌溉面積Mhn?)隨積雪深度x(cm)變化的圖像；

(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=/(x),并畫出圖像；

(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，求最大積雪深度為25cm時(shí);可以灌溉的土地?cái)?shù)量.

解析：(1)描點(diǎn)作圖如圖甲.

y/hm2

50

40

30

20

10

020xlcm

甲

(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最

大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=ar+6(a/0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),

21.1=10.4。+匕,

代入y=ar+i>,得，

45.8=24.0。+6

用計(jì)算器可算得6七2.4.

這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型｝>=1.8x4-2.4.

作出函數(shù)圖像如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它

能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.

(3)由)，=1.8X25+2.4,求得了=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25cm時(shí)，可以灌溉土地47.4

hm2.

03踝后討論探究?-----------------------總-結(jié)--規(guī)--律-方--法-，--提-升--核--心-素--養(yǎng)

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第74頁

［課后小結(jié)］

1.函數(shù)模型