2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷（滬教版）02卷（全解全析）

2020-2021學(xué)年下學(xué)期期末原創(chuàng)卷(滬教版)02卷

高一數(shù)學(xué)?全解全析

I

1.—

4

【分析】

由正弦型函數(shù)的周期公式可求得正實數(shù)。的值.

【詳解】

由2^=4萬得，a——.

2a4

故答案為：

4

2.偶

【分析】

根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；

【詳解】

解：因為y=/(x)=xsinx+x%os2x,定義域為R,

f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2cos(-2x)=xsinx+x2cos2x=/(x),所以丫=/(力=八山工+/852》為偶函數(shù),

故答案為：偶函數(shù)

3.1

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)與共輛復(fù)數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】

—1—1—1

因為區(qū)|=卜2|=23卜1,所以Z[Z]=憶「=1則Z|=—,同理有Z?=—,Z3=~

Z]z2z]

ZjZ?Z3-------1--------1—

IZ3Z2Z]/

由Z,+Z遙3+ZsZ]

4+Z2+Z3Z}+z2+Z3

Z|+Z2+z

Z3Z?Z|Z3+Z2+ZIZ|+Z2+z?3

Z1+Z2+Z34+Z2+Z34+Z2+Z3區(qū)+Z2+Z3I

故答案為：1

4.②③④

【分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)模的運算逐一判斷即可.

【詳解】

①，若取a=l+i,/3=\-i,止匕時修+尸？=2i-2i=0,①不正確；

②，設(shè)2=》+eR）,|z21=|x2-y2+2xyz|=-y2）'+4x2y2=x2+y2>

|zf=（jx2+y2）=/+/,故卜2卜目2,②正確；

③，設(shè)Z］=玉+yz?（玉，ywE）,z2=x2+y2i（x2,y2eR）,

則4=不一兆%eR）,z2=x2-y2i（x2,y2eR）,

所以Zl-z2+z1-z2=（%j一卯）（w+巾）+（玉+卯）（12—歸）

=2（內(nèi)々+y%），所以zi,Z2+Z］『2是實數(shù).

④，設(shè)％=玉+卯（石,％wR）,z2=x2+y2i（x2,y2&R）,

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得函=（3，X），瓦=（%，%）

且礪_L而，即礪?礪=Z/Z2=（）

22

憶+=zj+z,+2Z1?z2=zj+z2.

2

|zj—z,|'=zj+z；-2Z1-z2=zj+z2,

所以［Z］+Z2（=2］一zj,Hp|z1+z2|=|z,-z2|,④正確.

故答案為：②③④

D.-----

4

【分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及共輒復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點，進而求出面積.

【詳解】

設(shè)2=%+算（%,了WR）,

則x2—y2+2xyi=x—yi,

2xy=-y

f1

而zoO,所以滿足復(fù)數(shù)z=Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為頂點

Z

故答案為：巫

4

6.④

【分析】

由向量意義、向量數(shù)量積及運算法則逐一判斷.

【詳解】

因為兩個非零向量￡、各垂直時，a-b=0?故①不正確；

當(dāng)aw0，時，a.。.c、=0，但不能得出。=c，故包）不正確；

向量（a-b）c與￡共線，a（6c）與公共線，故③不正確；

可弛.力平.磯=0?磯磯￡河=0,故④正確.

故答案為:④

7.①③④

【分析】

根據(jù)向量積的分配律，可判定①正確；由向量的垂直的條件，可判定②錯誤；根據(jù)向量的三角形法則，可

判定③正確；根據(jù)向量的運算法則，可判定④正確.

【詳解】

根據(jù)向量積的分配律，可得①正確；

因為［(另?c)?Q—(c?a)?司?c=(尻c)?(q?c)一(c?a)?(萬?c)=0,

所以不與G垂直，所以②錯誤；

因為2萬不共線，所以兄|麻-4組成三角形三邊，所以同一代＜|￡—耳成立，所以③正確;

由(3a+2b)(3a-2垃=9片—4不=9—4懷，所以④正確.

故答案為：①③④.

V13

【分析】

—.—.3

本題首先可以根據(jù)AB和AC的夾角為60°得出A6?AC=萬，然后根據(jù)。為BC中點得出

AO=^(AB+AC),最后根據(jù)而2=；(而+啊2即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為而和林的夾角為60。，所以福?恁由第gcos600=l倉內(nèi)|=j,

因為0為8c中點，所以血=g(而+/)，

則桁=1(而+硝2=~(AB+AC+2^BAC]=-(1+9+3)=—,

)4V>4

…4,V13

故答案為：—

2

9.奇函數(shù)

【分析】

根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；

【詳解】

解：函數(shù)的定義域為xeR關(guān)于原點對稱

f(-x)=Jl+sinx-J1-sinx=-/(x),所以此函數(shù)為奇函數(shù);

故答案為：奇函數(shù)

10.arccos——或二r?

143

【分析】

777JTTT

利用面積公式可得以8=——或B=—，當(dāng)8=一時由余弦定理可得6,根據(jù)三角形的三邊長可得答案

333

【詳解】

由已知得S=—?csinS=-x8xl2sin5=2473,

ARC22

所以sin6=Y3,因為0＜3（乃，所以8=2或5=二，

233

JT1

當(dāng)3=一時，由余弦定理得〃=/+，一2訛以）53=64+144—2x8xl2x—=112,

32

所以。=4^/7，得c=12＞。=4\萬＞a=8，即角C最大，由余弦定理得

「h2+a2-c2112+64-144=^~，所以C=arccos，^；

cosC=--------------=-----------------

2ab2ab1414

27r

當(dāng)3時，B最大.

3

arccos也或21

故答案為:

14-3~

【點睛】

本題考查解三角形問題，關(guān)鍵點是熟練掌握面積公式、余弦定理，考查了學(xué)生的計算能力.

7T

11.—

3

【分析】

先將已知式整理得—咐222再利用余弦定理求結(jié)

（a+3（/+〃-c2=0,ma+b-c=ah，cos/C,

合范圍即得結(jié)果.

【詳解】

■2得，33CCQCC3

由立3a+>‘-c=2(〃+匕-)=(+/?)2-

a+b-c

a3+b3=(a+^)c2,

...(々+人)(々2+〃2-ab)=(々+〃)02,

+/?)[^a~+b2—c2—cib^=0,而a+Z;>0,

t^a2+b2-c2-ab=0^B|Ja2-\-kr-c1=ah?

cosZC=a+b~c=—=1,而口的。中，NCw（O,乃），故NC=X.

2ab2ab23

TT

故答案為：一.

3

12.源

3

【分析】

由已知及余弦定理可求。的值，再由正弦定理計算可得.

【詳解】

解：由余弦定理可得：a2^b2+c2-2bccosA^l3>可得：”板,

a+b+c_a+b+c-2R-a-

-

由正弦定理可得：sinA+sinB+sinC?+A+_L-一sin4-sin60°一3，

2R2R2R

故答案為：2叵.

3

13.B

【分析】

設(shè)2=%+耳（匕丁€/?）,利用復(fù)數(shù)模的運算可得Z2—Z+；=；—X,再由即可求解.

【詳解】

設(shè)2=%+歹（%,了CR）,

II1221

VZ=->x-+y-=一

1124

21

z-z+-Z——+/=--%

42-2

11

——<x<—,

22

當(dāng)X=-《時，Z2-Z+!有最大值1.

24

故選：B

14.B

【分析】

ITTSTT

首先根據(jù)sinx=—可得：x=24"+V(ZeZ)或x=2七r+'(ZeZ),再判斷即可得到答案.

266

【詳解】

I7154

由sinx=—可得：x=2女乃+—(Z￡Z)或x=2左〃+—(&cZ),

266

7t1

即x=2左乃+—(ZGZ)能推出sinx=—,

62

171

但sinx=—推不出x=2Z?+—(AGZ)

26

1jr

飛也彳=一"是"犬=24%+一伏€2)"的必要不充分條件

26

故選：B

【點睛】

本題主要考查必要不充分條件的判斷，同時考查根據(jù)三角函數(shù)值求角，屬于簡單題.

15.D

【分析】

由已知/4ZutanAXanb，利用正弦定理及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系對式子進行化簡，然后結(jié)合三角

函數(shù)的性質(zhì)再進行化簡即可判斷.

【詳解】

a2:b2=tanA:tan8，

sinA

，一-sin2AtanAc；RsinAcosB

由正弦定理可得，0三=-JUnLg.一

sin"BtanB=smB=sin8cosA

cosB

sinAsinB^O，

sinAcosB

/.----=----,

sinBcosA

sinAcosA=sin3cos3即sin2A=sin25,A,5￡(0,;r),A+3￡((),〃)，

2A=23或2A+23=%,

IT

.1A=B或A+B=一,即三角形為等腰或直角三角形，

2

故選D.

【點睛】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理進行代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵和難點.

16.D

【分析】

去絕對值號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可求出值域.

【詳解】

,,f0,sinx>0

因為y=sinx—|sinx|八，

[2sinx,sinx<0

由正弦函數(shù)的值域可知一2<y<0,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的值域，考查了分段函數(shù)值域的求法，屬于中檔題.

17.(1)函數(shù)的最小正周期為T=8；(2)函數(shù)g(x)的最大值為由.

2

【分析】

JTVJTJTV-

(1)由已知中函數(shù)/(x)=sin(上一一)-2cos2—+1,利用倍角公式，和差角公式，可得函數(shù)的解析式

468

化為正弦型函數(shù)，進而求出AM的最小正周期；

(2)由(1)中所得函數(shù)/W的解析式，由y=g(x)與y=/(x)的圖象關(guān)于1=1對稱，根據(jù)函數(shù)圖象對

稱變換法則可得y=g(x)的解析式，從而求出函數(shù)的最值；

【詳解】

解：(1)/'(X)=sin—xcos--cos—xsin--cos—x

46464

=—sin—x--cos—x=\/3sin(—x-—)

242443

T=—=8

故/(x)的最小正周期￡

4

(2)在y=g(x)的圖象上任取一點(x,g(x)),

它關(guān)于X=1的對稱點為(2-x,g(x)).

由題設(shè)條件y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

.?.點(2-x,g(x))在y=/(x)的圖象上，

從而g(x)=/(2-x)=Gsin[?(2-x)—(]=道sin[]-(x-

e?「八41一554F5TV7萬]一，.(兀5萬、「11'1一1/\G6

因為XE0,—，所以工工+丁￡—,--，所以sin+w-—,—，所以g(x)w---

3J46|_6oJ1467L22J22

故g(x)=—

0\/max2

18.(1)AB=2Hsing,AD=&Rsin(?-■|)(2)當(dāng)6=7時，面積最大為(血―1)農(nóng)？

【分析】

⑴由題目已知可求出O￡J_AB且NA0E=N80E=m，在直角三角形中，結(jié)合三角函數(shù)值可求出

AB=2Rsin?；由題目已知可求出NMOE=NNOE=工，進而可知OF=Hsin目，結(jié)合OE=Hcos2

2422

即可求出A。的長度.

⑵由⑴可求出面積的表達式，結(jié)合二倍角公式以及輔助角公式可求S=0R2sin[e+1]-R2,結(jié)合

八(c7T

6>e0,-即可求出面積的最大值.

I4

【詳解】

n

⑴解：因為E為45的中點，OA=OB=R,所以。石，AB且乙4。￡=/6?！?—,

2

nn

所以AB=2AE=2AO?sinNAOE=2Rsin—,OE=AO-cosZAOE=Reos-,

22

因為AB〃MN,所以O(shè)ELMN,即NMOE=NNOE=%,則。/=。/=AE=Rsin',

42

所以A￡)=OE—OF—/?cos--/?sin—=V27?sin

22

(2)由⑴知，矩形ABC。的面積S=A3-A￡>=2Hsing?收Hsin[f—g]

2142J

=/?22sincos-2sin2=R2^sin^-2--~=五R?sin^+^-/?2,

由題意知，,所以當(dāng)6=5時，S111ax=&R2-R2=(&T)R2.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)值的定義的應(yīng)用，考查了輔助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函數(shù)最值的

求解.

19.（1）證明見解析；（2）,5J.

【分析】

（1）分析得出=/+〃=],利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)M,可證得結(jié)論成立；

（2）分析得出一計算得出卜+21+2卜8/-12。+5,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得

,+2^+2]的取值范圍.

【詳解】

（1）由題意可得，=/+。2=[,

z+1a+1+bi（。+1+萬）（。一1一姐（a2-^-2bi+b22bi

所以,U===~~r-"~~，

z-1a-l+bi（4z-l+/?z）（6r-l-/?z）+b~（6Z-1）~+b~

z+1

則歷之），因此，U=——是純虛數(shù)；

IIZ-1

（2）?.,2+2乞+2=。+6+2（。一切）+2=（3。+2）—初，

3

所以，|z+2z+2|2=（3?+2）2+/?2=9a2+12t7+4+/?2=8?2+12a+5=8Q+一+

4Ir

因為4+從=1，貝Uh?=1-儲NO，解得一iWaWl,：同。1，則一

所以，|z+2N+2「=8a+—e—,25，因此，|z+2z+21G?

11I4；212J11L2）

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查復(fù)數(shù)模的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵在于將復(fù)數(shù)的模轉(zhuǎn)化為關(guān)于"的二次函數(shù)的

值域來求解，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域的求解.

___13-

20.OM^-a+-b

77

【分析】

直接運用向量的共線關(guān)系建立方程組求解：

【詳解】

___uuu*uuruinnrir

由4M,D二點共線，DM=?!DA?可得OM=2OA+（1—幾）。。=4。+（1—4）—b

2

uuuruumuunirr

由C,M,B三點共線，而7=〃而，可得OM=〃OC+(1-〃)=+

4=二

4

,,.解得:

］一

----4=］1一〃

I2*

uuur1r3r

:.OM^-a+-b

77

【點睛】

思路點睛:本題考查平面向量基本定理,要合理三點共線的充要條件:若點A,B,C共線則OA=AOB+^iOC

（九〃為實數(shù)），則2+〃=1,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與劃歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.（1）c=V6+V2（2）見解析（3）見解析

【分析】

（1）先根據(jù)正弦定理得再根據(jù)余弦定理求AB的長；

（2）先根據(jù)余弦定理得再根據(jù)正弦定理放縮證明結(jié)果；

（3）先根據(jù)正弦定理討論三角形解的個數(shù)，再根據(jù)余弦定理求C.

【詳解】

萬

（1）由正弦定理得b=2Rsin8=2x2x、一=20