數(shù)學(xué)有關(guān)SAS統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的模型

#稱直線回歸，直線回歸要求變量Y服從正態(tài)分布且方差相等。當(dāng)變量間不是線性關(guān)系時(shí)，通常需要進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，再進(jìn)行線性回歸分析，或直接用原數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸。根據(jù)資料類型，SAS可以進(jìn)行各類回歸分析：常用SAS過(guò)程回歸類型資料類型因變量自變量Reg線性回歸數(shù)值變量數(shù)值變量GLM協(xié)方差模型、一般線性模型數(shù)值變量數(shù)值變量、分類變量LogisticLogistic回歸分類變量數(shù)值變量、分類變量CatmodLogistic\Poisson回歸分類變量數(shù)值變量、分類變量Nlin非線性回歸數(shù)值變量數(shù)值變量4.3.1直線回歸1背景概述多元線性回歸分析簡(jiǎn)介假定因變量y與k個(gè)解釋變量X],x2,...,Xk具有線性關(guān)系，即總體回歸模型：y二b+bx+bx+...+bx+u，卩?n（0,o2）,i=l,2,...,ni011i22ikkii/或E(y)=b+bx+bx+...+bxi011i22ikki樣本回歸模型：y-b+bx+bx+...+bxi011i22ikki殘差：e-y一yiii最小二乘法：min￡牛=叮辱?！璖i-1總離差平方和的分解式：總平方和=解釋平方和+殘差平方和TSS=ESS+RSS即工(y-亍)2-工(y-jy+工(y-y)2TSS=ESS+RSSiiii判定系數(shù)：R判定系數(shù)：R2-R2-1-(1-R2)n-1n-k-1回歸模型的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）：Ho：匕電=…=bk=012kHl：b1，b2,…，bk至少有一個(gè)不為0。12k檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FRSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FRSS/kESS/(n-k-1)?F(k,n-k-1)變量（如x.）顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）：Ho：b=0,H’：b#0i0i1ib-b檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t-ii?t（n一k一1）Sb2.reg過(guò)程格式:Procreg小8上8=數(shù)據(jù)集名選項(xiàng)；Var可參與建模的變量列表；Model因變量=自變量表/選項(xiàng)；Print輸出結(jié)果；Plot診斷圖形；Run；3?應(yīng)用舉例【例1】對(duì)數(shù)據(jù)集sasuser.class中建立以weight為因變量，height和age為自變量的線性回歸模型,并作簡(jiǎn)要回歸分析。思路：先考察weight與height'age間的線性關(guān)系，可用散點(diǎn)圖和相關(guān)分析，確定有線性關(guān)系后再作回歸分析。

Pearson相關(guān)丟數(shù)，N=當(dāng)HO:Rho=0時(shí)「Prob>r|AgeWeightHeightWeight1.000000.87779<.00010.740890.0003Height0.87779<.00011.000000.81143<.0001Age0.740890.00030.81143<.00011.00000TheREGProcedure

Model：M0DEL1

DependentVariable：WeightNumberofObservationsRead19NumberofObservationsUsed19AnalysisofVarianceSourceDFSumofSquaresMeanSquareFValuePr>FModel27215.637103607.8185527.23<.0001Error162120.09974132.50623CorrectedTotal189335.73684RootMSE11.51114R-Square0.7729DependentMean100.02632AdjR-Sq0.7445CoeffVar11.50811ParameterEmtimsitegVariableDFParamet亡rEstimgteStandardErrortValuePr>|t|Intercept1-141.2237633.38309-4.230.0006Height13.597030.905463.970.0011Age11.278393.110100.410.6865分析：由散點(diǎn)圖和相關(guān)分析可知weight和height,age間有較強(qiáng)的線性關(guān)系。A(1)回歸方程為：weight=-141.22376+3.59708height+1.27839age判定系數(shù)：R2=0.7729R2=0.7445，說(shuō)明因變量Y的變異中由模型能解釋的部分占到77.29%,模型擬合效果較好。（2）回歸模型的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)Ho：b]=b2=0,由輸出結(jié)果的方差分析表中F統(tǒng)計(jì)量為27.23，檢驗(yàn)的p值小于0.0001，在a=0.05的顯著性水平下，應(yīng)拒絕H0,說(shuō)明模型是顯著成立的。（3）變量的顯著性檢驗(yàn)對(duì)變量height而言，檢驗(yàn)的零假設(shè)Ho：b1=0，由輸出結(jié)果的參數(shù)估計(jì)部分的t統(tǒng)計(jì)量值為3.97，雙邊檢驗(yàn)p值為0.0011，所以在a=0.05的顯著性水平下，應(yīng)拒絕H0,說(shuō)明height變量對(duì)weight變量有顯著性影響。類似可得對(duì)變量age，t統(tǒng)計(jì)量值為-0.41，雙邊檢驗(yàn)p值為0.6865，在a=0.05的顯著性水平下，應(yīng)接受H0,說(shuō)明模型是age變量對(duì)weight變量影響不顯著性。說(shuō)明：（1）如果要自動(dòng)挑選最優(yōu)變量，可在model語(yǔ)句中增加選項(xiàng)'selection=選擇方法'選擇方法有none（全用，默認(rèn)）、forward（逐步引入法）、backward（逐步剔除法）、stepwise（逐步篩選法）等。如modelweight=heightage/selection=stepwise;/*逐步回歸*/run;（2）要輸出其它結(jié)果可以print語(yǔ)句，如PrintcliRun;（3）若是一元線性回歸，可以在因變量和自變量的散點(diǎn)圖上加上回歸直線和均值置信界限，程序如下：procregdata=sasuser.class;modelweight=height;plotweight*height/conf95;

run;（4）若是要輸出多元線性回歸中殘差對(duì)預(yù)測(cè)值診斷圖，可用如下語(yǔ)句:plotresidual?*predicted?;run;4.3.2非線性回歸許多情況下變量間呈曲線關(guān)系，求解變量間的曲線關(guān)系的方程，可以直接擬合所選擇的曲線方程式但有時(shí)也可以變量代換成直線方程，再應(yīng)用直線駕照的方法求解?！纠?】某地大氣中氰化物測(cè)定結(jié)果如下：距離污染物距離X（m）50100許多情況下變量間呈曲線關(guān)系，求解變量間的曲線關(guān)系的方程，可以直接擬合所選擇的曲線方程式但有時(shí)也可以變量代換成直線方程，再應(yīng)用直線駕照的方法求解?！纠?】某地大氣中氰化物測(cè)定結(jié)果如下：距離污染物距離X（m）50100氰化物濃度Y（mg/m3）0.6870.3981500.22000.1212500.093000.054000.025000.01散點(diǎn)圖分析表明Y和散點(diǎn)圖分析表明Y和X間呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)關(guān)系y=10a+bx，現(xiàn)求回歸方程。方法一：TheREGProcedure

Model：MODEL1

DependentVariable：logyNumberofObservationsReadNumberofObservationsUsedSourceDFSumofSquaresMeanSquareTheREGProcedure

Model：MODEL1

DependentVariable：logyNumberofObservationsReadNumberofObservationsUsedSourceDFSumofSquaresMeanSquareFValuePr>FModel12.709602.70960701.70<.0001Error60.023170.00386CorrectedTotal12.73277AnalysisofVarianceRootMSEDependentMeanCoeffVar0.06214R-Square0.9915-1.02814AdjR-Sq0.9901-6.04403VariableDFParameEstimsit已StandardErrortValuePr>|t|Intercept1-0.031840.04356-0.730.4923X1-0.004090.00015430-26.49<.0001ParameterEmtimates分析：logy與x間的直線回歸議程為：logy=—0.03184—0.00409xA代入logy=loglO(y),得指數(shù)方程為：y=10-。①⑻-0.00409x方法二：方法二：Nlinj±程直接作非線性回歸襯-datab2;inputkycards;500.6871000.3981500.22000.1212500.0903000.054000.025000.01run;-procgplot:plotK*y;run;-procnlindata=b2:parmsa=0b=0;modely=10**(a+b*z);run;

IheNL1NHrocedure

DependentVariabley

Method：Gauss-NewtonIterati^ePhaseIterabSumofSquares0005.54411-0.2147-0.000550.72932-0.2021-0.001740.13363-0.0263-0.003490.017940.0638-0.004630.0016350.0810-0.004890.0010760.0823-0.004910.0010670.0824-0.004910.0010680.0S24-0.004910.00106NOTE：Convergenceeriterionmet.EmtimsiticinSummaryMethodGauss-NewtonIterationg8R2.069E-6PPC(a)7.644E-7RPC(a)0.000022Object3.737E-9Obj已utive0.001063ObservationsRead8ObservationsUsed8ObservationsMissing0NOTE：AninterceptwasnotspecifiedforthismodelSourceDFSourceDFModel2Error6Uncorrect胡Totsil8SumofMeanApproxSquaresSquareFValuePr>F0.69510.34751960.85<.00010.001060.0001770.6961ParameterEwtimsiteStdErrorParameterEwtimsiteStdErrora0.08240.0142b-0.004910.000169ApproxApproximate95XConfidenceLimitw0.04760.1172-0.00533-0.00450Approximat亡Approximat亡CorreiationaMatrixba1.0000000a1.0000000b-0.8731961-0.87319611.0000000A分析：指數(shù)方程為A分析：指數(shù)方程為y=100.0824-0.00491x4.3.3二分類變量的Logistic回歸（Logistic過(guò)程）引言：有時(shí)候會(huì)遇到因變量為分類變量，這時(shí)可建立Logistic模型，本節(jié)只針對(duì)取值只有兩種（發(fā)生或不發(fā)生）的情況。模型簡(jiǎn)介：設(shè)P為某事件發(fā)生的概率，取值范圍為0~1，1-p為事件不發(fā)生的概率，將比數(shù)p/（l-p）取自然對(duì)數(shù)得

ogitP為ln（p/（l-p）），即Logit變換，記為L(zhǎng)ogitP。則LogitP的取值范圍為-g至到+w。以LogitP為因變量，建立線性回歸模型為：LogitP二b+bx+bx+...+bxez則模型變形為P=i+eez則模型變形為P=i+e；1l+e-z記z=b+bx+bx+...+bx0lli22ikki數(shù)據(jù)要求：因變量為二分類變量，自變量可以是分類變量或等間隔測(cè)度的變量。如果為分類變量，則應(yīng)為二分類或重新編碼為指示變量?！纠??3】數(shù)據(jù)集data09-02.sav是乳腺癌患者的數(shù)據(jù)。變量包括：age（年齡）、time（患病時(shí)間）、pathscat（月中瘤擴(kuò)散等級(jí)）、pathsize（腫瘤大小）、histgrad（腫瘤史）、ln-yesno（癌變部位的淋巴結(jié)是否含有癌細(xì)胞）。建立一個(gè)Logistic模型，并預(yù)測(cè)一個(gè)腫瘤大小為1cm,腫瘤史為1年，腫瘤擴(kuò)散等級(jí)v2cm患病時(shí)間為1個(gè)月的60歲人癌變部位的淋巴結(jié)是否含有癌細(xì)胞。給定顯著性水平o=0.05輸出：TheLOGISTICProcedureModelInformationDataSetResponseVariableNumberofResponseLeveIsModelOptimizationTechniqueWORK.NEWIruyesno滯巴結(jié)是否含有癌細(xì)胞binarylogitFisher?sscoring輸出：TheLOGISTICProcedureModelInformationDataSetResponseVariableNumberofResponseLeveIsModelOptimizationTechniqueWORK.NEWIruyesno滯巴結(jié)是否含有癌細(xì)胞binarylogitFisher?sscoringNumberofObservationsReadNumberofObservationsUsed12071207OrderedValueln_yesnoTotalFrequency1092921278ResponseProfiIeProbabiIitymodeIedisln_yesno=0.ModeIFitStatisticsModelConvergenceStatusConvergencecriterion(GC0NVz1E-8)satisfied.CriterionInterceptOnlyandCovariat曲AIC1304.7551247.668SC1309.8511278.243-2LogL1302.7551235.668InterceptTestingGlobalNullHypothesis：BETA=0DFPr>ChiSqLikelihoodRatio67.0873Score68.0813Wald62.5532TestChi-Square<.0001<.0001<.0001ParameterDFEmtimsiteStandardErrorWaldChi-SquarePr>ChiSqIntercept1-0.24240.4130DFPr>ChiSqLikelihoodRatio67.0873Score68.0813Wald62.5532TestChi-Square<.0001<.0001<.0001ParameterDFEmtimsiteStandardErrorWaldChi-SquarePr>ChiSqIntercept1-0.24240.41300.34460.5572age10.02740.0055624.3272<.0001time10.002400.002420.98520.3209psithscat10.56440.108527.0668<.0001psithsize1-0.56560.109126.8750<.0001histgwd10.04510.08050.31400.5753AnalysisofMaximumLikeIihoodEmtimatesOddsRatioEwtimsitewPoint95第WaldEffectEmtimsiteConfidenceLimitsage1.0281.0171.039time1.0020.9981.007psithscat1.7581.4222.175psithsize0.5680.4590.703histgraid1.0460.8931.225TheLOGISTICProcedureAssociaticinandObservedResponsesPercentConcordant65.8Somers5D0.321PercentDiscordant33.7Gamma0.322PercentTied0.6Tau-a0.114Pairs258262c0.660ofPredictedProbabiIitieg結(jié)論：Logistic回歸模型擬合結(jié)果為:LogitP=一0.2424+0.0274xage+0.00240xtime+0.5644xxpathscat—0.5656xpathsize+0.0451xhistgradz=logitP=—0.2424+0.0274x60+0.00240x12+0.5644x1—0.5656x1+0.0451x1=1.4742則P=—^=1一=0.8137>0.51+e—z1+e-1.4742故該病人癌變部位的淋巴結(jié)會(huì)含有癌細(xì)胞。作業(yè)：P15916補(bǔ)充：某調(diào)査中收集了350大學(xué)生的數(shù)據(jù)信息，研究戀愛(ài)與否（變量V）與年齡（age）、地區(qū)（Location）,各科平均成績(jī)（score）、性別（sex）及身高（height）等變量的關(guān)系。各變量定義如下：戀愛(ài)與否（變量V）年齡（age）地區(qū)(Location)各科平均成績(jī)（score）性別(sex)身高(height)0：未戀愛(ài)單位：歲0：農(nóng)村單位：分0：女單位：厘米1已戀愛(ài)1城市1：男假設(shè)收集數(shù)據(jù)如下：agelocationscoreheightweightsexv21159318315410191467178185112O155O17717O1O2114141751141O1915O216O98OO21O3611751261O21O595166112112OO4O917814O11222145O17O16O1O2314821681O6OO18OO16O1O6OO2O147517O12O112OO6151651O6OO19154916811O1O試建立Logistic模型，并分析22歲農(nóng)村男生、身高170cm,平均成績(jī)?yōu)?60時(shí)的戀愛(ài)概率。4.4屬性數(shù)據(jù)分析變量分為數(shù)值型變量（連續(xù)型變量）和分類變量（離散型變量），而分類變量又分為名義變量（如性別分為：男、生，種族分為白、黃、黑）和有序變量（年級(jí)分為一、二、三、四，成績(jī)等級(jí)分為優(yōu)、良、中、差）。前面所講到的統(tǒng)計(jì)分析是針對(duì)數(shù)值型變量，本節(jié)是針對(duì)離散型變量，討論單個(gè)離散變量分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)兩個(gè)離散變量的獨(dú)立性殘聯(lián)表檢驗(yàn)，有序變量的關(guān)聯(lián)性度量（不作要求）。4.4.1單個(gè)離散變量的擬合優(yōu)度卡方檢驗(yàn)1?功能：檢驗(yàn)離散變量的取值規(guī)律是否符合某種給定的比例。Pearson提出的卡方檢驗(yàn)的零假設(shè)為:H:Pr(X=a)=p(i=1,2,...,k)0ii統(tǒng)計(jì)量為：X2=X2=丈i=1(n—np)2iinpiDX2(k—1)其中：n.為事件A.的觀測(cè)頻數(shù)，p.為事件A.的頻率。iiii例1：某工廠近5年來(lái)發(fā)生了63次事故，按事故發(fā)生的星期號(hào)分類如下：星期-一一二三四五六次數(shù)9101181312問(wèn)事故的發(fā)生是否與星期幾有關(guān)？思路分析：米用擬合優(yōu)度卡方檢驗(yàn)六種情況發(fā)生的概率是否相等，HO：Pr（X=i）=1/6（i=1,2,…6）。程序?yàn)椋?/p>

235Illi/*擬合優(yōu)度卡方檢驗(yàn)235Illi/*擬合優(yōu)度卡方檢驗(yàn)-dataaccident;inputdaytimes;cards;1312run;-procfreqdata=accident;tablesday/chisqtestp=(0.1666670.1666670.1666670.1666670.1666670.166667);weighttimes;頻數(shù)變量*/run;輸出為：FREQ過(guò)程day頻數(shù)百分比檢驗(yàn)百分比累積頻數(shù)累積百分比1914.2916.67914.2921015.8716.671930.1631117.4616.673047.624812.7016.673860.3251320.6316.675180.9561219.0516.6763100.00卡方1.6667自由度5"》卡方0.8931樣本大小=63結(jié)果分析：零假設(shè)HO：Pr(X=i)=l/6(i=l,2,...6),由輸出擬合優(yōu)度卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量X=1.667,p=0.8991,對(duì)于給定的顯著性水平a=0.05,p>a，所以接受H0,說(shuō)明事故發(fā)生與星期幾沒(méi)有關(guān)系。注明：檢驗(yàn)的是等概率情形時(shí)，選項(xiàng)testp語(yǔ)句可以省略。4.4.2兩個(gè)離散變量的列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)1.列聯(lián)表的輸入與制表列聯(lián)表的概念：根據(jù)兩個(gè)離散變量的交叉分類取值把樣本進(jìn)行分類，得到每一小類的觀測(cè)個(gè)數(shù)制成表格的形式稱為列聯(lián)表，如根據(jù)學(xué)生的性別和來(lái)源把學(xué)生分為4組，得到如下統(tǒng)計(jì)表：學(xué)生性別、來(lái)源分布表男生女生本地46外地147輸入方式一：枚舉法—每一行為一個(gè)樣本觀測(cè)，即一個(gè)學(xué)生的信息記錄，如:dataclass;inputsnosex$from$;labelsno='編號(hào)'sex='性另U'from='來(lái)源'；cards;1男本地2女外地3男外地/*所有學(xué)生的記錄*/;run;然后使用freq過(guò)程可以制成列聯(lián)表，使用tables語(yǔ)句指定行變量和列變量，procfreqdata=class;tablesfrom*sex;run;輸入方式二：頻數(shù)表法一一沒(méi)有具體每行樣本觀測(cè)的信息，只有匯總的頻數(shù)表，則需要設(shè)置一個(gè)代表觀測(cè)頻數(shù)的變量，如/*輸入方式二：頻數(shù)法*/dataclass2;inputfrom$sex$numcell;labelfrom='來(lái)源'sex='性另0'numcell='單元格頻數(shù)'；cards;本地男4本地女6外地男14外地女7;run;然后用freq過(guò)程可以制成列聯(lián)表，使用tables語(yǔ)句指定行變量和列變量，weight語(yǔ)句指定單元格頻數(shù)變量procfreqdata=class2;tablesfrom*sex;weightnumcell;run;兩種方式的輸出結(jié)果一樣，如下圖，每一個(gè)格子中有4個(gè)數(shù)：Frequency（頻數(shù)）、percent（百分比）、RowPct（行百分比）、ColPct（列百分比）。在表的右側(cè)有行總計(jì)的頻數(shù)及百分比，在表的下側(cè)有列總計(jì)的頻數(shù)及百分比。

FREQ過(guò)程*sex表頻數(shù)百分比行百分比列百分比男FREQ過(guò)程*sex表頻數(shù)百分比行百分比列百分比男合計(jì)本地12.9040.0022.2219.3560.0046.151032.26外地1445.1666.6777.7822.5833.3353.852167.74合計(jì)1858.061341.9431100.00fmm(來(lái)源)「性別F)說(shuō)明：簡(jiǎn)化形式的列聯(lián)表，可以在tables語(yǔ)句中加上nofreq>nopercent>norow、nocol等選項(xiàng)。如/*簡(jiǎn)化形式的列聯(lián)表：只有單元格頻數(shù)*/procfreqdata=class2;tablesfrom*sex/nopercentnorownocol;weightnumcell;run;2.列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)功能：檢驗(yàn)兩個(gè)離散變量的取值是否獨(dú)立。檢驗(yàn)的零假設(shè)為HO：離散變量X與變量y相互獨(dú)立st(n-nnn)2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量X2=￡工耳一X2((r-1)(s-1))i=1j=1nnni=1j=1i++jn=工n,

+n=工n,

+jji=1i+jj=1例2：為了探討吸煙與慢性支氣管炎有無(wú)關(guān)系，調(diào)查了339人，情況如下程序?yàn)椋狠敵鼋Y(jié)果的性檢驗(yàn)的程序?yàn)椋狠敵鼋Y(jié)果的性檢驗(yàn)的患慢性支氣管炎未患慢性支氣管炎吸煙43162不吸煙13121

幾種方法的統(tǒng)計(jì)量與p值，第三部分Fisher精確檢驗(yàn)結(jié)果。FREQ過(guò)程smoke爪bron表smoke（吸咽）bron（慢性支氣管炎）頻數(shù)期望值不患病患病合計(jì)不吸煙121111.861322.136134吸煙162171.144333.864205合計(jì)28356339smoke爪bron表的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量自由度值槻率卡方17.46880.0063似然比卡方17.92500.0049連續(xù)校正卡方16.67360.0098Mantel-Haenszel卡方17.44670.0064Phi丟數(shù)0.1484列聯(lián)系數(shù)0.1468Cramer的V0.1484Fisher精確檢驗(yàn)單元格（1,1）頻數(shù)（F）左側(cè)Pr<=F右側(cè)Pr>=F1210.99850.0041表槻率（P）雙側(cè)Pr<=P0.00260.0069樣本犬小=339結(jié)果分析：零假設(shè)H0：吸煙與慢性支氣管炎相互獨(dú)立，由輸出結(jié)果中peraons卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為X=7.4688,p=0.0063,對(duì)于給定的顯著性水平a=0.05,p<a，故拒絕H0,即認(rèn)為吸煙與患慢性支氣管炎間不是相互獨(dú)立的。說(shuō)明：各種檢驗(yàn)方法應(yīng)根據(jù)資料選?。篢――最小的單元格期望頻數(shù)，n――總樣本量當(dāng)T>5且n>40選Person卡方值，它是最常用的檢驗(yàn)方法。當(dāng)1VTV5且n>40選連續(xù)校正卡方值；似然比卡方在大樣本下與Person卡方近似。Fisher精確檢驗(yàn)法適用于2X2的交叉表，n<40或T〈5（有的教材上稱樣本量小于20）。4.4.3兩個(gè)離散變量的關(guān)聯(lián)度分析引言：對(duì)于區(qū)間變量