2023導(dǎo)數(shù)解密通關(guān)練基礎(chǔ)篇專題01 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算含解析

2023導(dǎo)數(shù)解密通關(guān)練基礎(chǔ)篇專題01導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法基本原則：先化簡(jiǎn)、再求導(dǎo)；具體方法：(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)．【例題選講】[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．[例2](1)(2020·全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________．(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，則f(1)＝．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx(4)(多選)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xex(5)已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若滿足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，則f(x)的解析式可能是()A．x2－xlnx＋xB．x2－xlnx－xC．x2＋xlnx＋xD．x2＋2xlnx＋x【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5xD．(x2cosx)′＝－2xsinx2．函數(shù)y＝xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx3．(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，則f′(x)＝．5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，記f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，則f2019(x)＋f2021(x)＝()A．－2cosxB．－2sinxC．2cosxD．2sinx6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，則x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，則a＝．8．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝．9．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．11．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，則f′(1)＝．12．已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，則f′(2)＝()A．eq\f(12－8ln2,1－2ln2)B．eq\f(2,1－2ln2)C．eq\f(4,1－2ln2)D．－213．(多選)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x)D．f(x)＝ex＋x14．f(x)＝eq\f(3,ex＋1)＋x3，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值為()A．1B．2C．3D．415．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，則f′(－2020)＝______．16．分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)．(5)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)． 專題01導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法基本原則：先化簡(jiǎn)、再求導(dǎo)；具體方法：(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)．【例題選講】[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．解析(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx．(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f((cosx)′ex－cosx(ex)′,(ex)2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex)．(3)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x．(4)令u＝2x－5，y＝lnu．則y′＝(lnu)′u′＝eq\f(1,2x－5)·2＝eq\f(2,2x－5)，即y′＝eq\f(2,2x－5)．[例2](1)(2020·全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________．答案1解析f′(x)＝eq\f(ex(x＋a)－ex,(x＋a)2)＝eq\f(ex(x＋a－1),(x＋a)2)，則f′(1)＝eq\f(ae,(a＋1)2)＝eq\f(e,4)，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，則f(1)＝．答案－eq\f(7,4)解析∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋eq\f(1,x)，將x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝eq\f(5,4)．∴f(x)＝2x2－eq\f(15,4)x＋lnx，∴f(1)＝2－eq\f(15,4)＝－eq\f(7,4)．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx答案C解析∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故選C．(4)(多選)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xex答案AB解析對(duì)于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴f″(x)＜0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)，故A正確．對(duì)于B：f′(x)＝eq\f(1,x)－2，f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選AB．(5)已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若滿足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，則f(x)的解析式可能是()A．x2－xlnx＋xB．x2－xlnx－xC．x2＋xlnx＋xD．x2＋2xlnx＋x答案C解析由選項(xiàng)知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由題意得eq\f(xf′(x)－f(x),x2)＝1＋eq\f(1,x)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),x)))′＝1＋eq\f(1,x)，故eq\f(f(x),x)＝x＋lnx＋c(c為待定常數(shù))，即f(x)＝x2＋(lnx＋c)x．又f(1)≥1，則c≥0，故選C．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5xD．(x2cosx)′＝－2xsinx1．答案B解析(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，故B正確．2．函數(shù)y＝xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx2．答案B解析y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．3．(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x3．答案BCD解析∵a為常數(shù)，∴sina為常數(shù)，∴(sina)′＝0，故A錯(cuò)誤．由導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則知B，C，D正確，故選BCD．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，則f′(x)＝．4．答案eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3)解析f′(x)＝eq\f((sinx)′·cosx－sinx·(cosx)′,cos2x)＋(x－2)′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＋(－2)x－3＝eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3)．5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，記f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，則f2019(x)＋f2021(x)＝()A．－2cosxB．－2sinxC．2cosxD．2sinx5．答案D解析由題意，f(x)＝xsinx，f1(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx＋cosx－xsinx＝2cosx－xsinx，f3(x)＝f′2(x)＝－3sinx－xcosx，f4(x)＝f′3(x)＝－4cosx＋xsinx，f5(x)＝f′4(x)＝5sinx＋xcosx，…，據(jù)此可知f2019(x)＝－2019sinx－xcosx，f2021(x)＝2021sinx＋xcosx，所以f2019(x)＋f2021(x)＝2sinx，故選D．6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，則x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e6．答案B解析f′(x)＝2021＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2022＋lnx，又f′(x0)＝2022，得2022＋lnx0＝2022，則lnx0＝0，解得x0＝1．7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，則a＝．7．答案2解析f′(x)＝eq\f(－(ax－1)′,(ax－1)2)＋excosx－exsinx＝eq\f(－a,(ax－1)2)＋excosx－exsinx，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，則a＝2．8．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝．8．答案e2解析f′(x)＝eq\f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝eq\f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，則a＝e2．9．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)9．答案C解析因?yàn)閒(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq\f(1,x)，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋eq\f(1,2)，解得f′(2)＝－eq\f(9,4)．10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．10．答案－4解析∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4．11．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，則f′(1)＝．11．答案1＋e解析因?yàn)閒(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e．12．已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，則f′(2)＝()A．eq\f(12－8ln2,1－2ln2)B．eq\f(2,1－2ln2)C．eq\f(4,1－2ln2)D．－212．答案C解析因?yàn)閒′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝eq\f(2,1－2ln2)，所以f′(x)＝eq\f(2,1－2ln2)·2xln2＋2x，所以f′(2)＝eq\f(2,1－2ln2)×22ln2＋2×2＝eq\f(4,1－2ln2)．13．(多選)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x)D．f(x)＝ex＋x13．答案BC解析對(duì)于A，f(x)＝3cosx，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝－3sinx，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，不符合題意；對(duì)于B，f(x)＝x3＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋1，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意；對(duì)于C，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意；對(duì)于D，f(x)＝ex＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ex＋1，其導(dǎo)函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，不符合題意．14．f(x)＝eq\f(3,ex＋1)＋x3，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值為()A．1B．2C．3D．414．答案C解析f′(x)＝eq\f(－3ex,(ex＋1)2)＋3x2，f′(－x)＝eq\f(－3ex,(ex＋1)2)＋3x2，所以f′(x)為偶函數(shù)，f′(2019)－f′(－2019)＝0，因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝eq\f(3,1＋ex)＋x3＋eq\f(3,1＋e－x)－x3＝eq\f(3,1＋ex)＋eq\f(3ex,1＋ex)＝3，所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)＝3．故選C．15．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，則f′(－2020)＝______．15．答案8解析因?yàn)閒′(x)＝4ax3－bsinx＋7，所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7．所以f′(x)＋f′(－x)＝14．又f′(2020)＝6，所以f′(－2020)＝14－6＝8．16．分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)．(5)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)．16．解析(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))ex．(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3)．(3)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx．(4)∵y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)ln(1＋2x)，∴y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x)．(5)由已知f(x)＝x－lnx＋eq\f(2,x)－eq\f(1,x2)．所以f′(x)＝1－eq\f(1,x)－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x3)＝eq\f(x3－x2－2x＋2,x3)．專題02曲線的切線方程考點(diǎn)一求切線的方程【方法總結(jié)】求曲線切線方程的步驟(1)求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程的步驟第一步，求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率；第二步，由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程的步驟第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步，寫(xiě)出過(guò)P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步，將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．注意：在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．【例題選講】[例1](1)(2021·全國(guó)甲)曲線y＝eq\f(2x－1,x＋2)在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為_(kāi)_______．(2)(2020·全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1(3)(2018·全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x(4)(2020·全國(guó)Ⅰ)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為_(kāi)_______．(5)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為．(6)(2021·新高考Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea(7)已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)(8)(2019·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．(9)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為．(10)函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋1)在點(diǎn)(0，－1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．1(11)曲線y＝x2－lnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角α的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1處的切線方程為．3．(2019·全國(guó)Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)_______．4．曲線f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l的方程為()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝05．(2019·全國(guó)Ⅱ)曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝06．(2019·天津)曲線y＝cosx－eq\f(x,2)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為_(kāi)_______．7．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(a,ex)))為奇函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為．8．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為_(kāi)_______．9．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，曲線f(x)在(1，f(1))處的切線方程是()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝111．我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算．設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)_______，用此結(jié)論計(jì)算ln2022－ln2021≈________．12．曲線f(x)＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)13．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)．(1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程．14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．15．(2021·全國(guó)乙)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)二求參數(shù)的值(范圍)【方法總結(jié)】處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．注意：曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．【例題選講】[例1](1)已知曲線f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))處的切線的斜率為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．(2)若函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋bx3的圖象在點(diǎn)(1，－1)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，則a＋b的值為．(4)(2019·全國(guó)Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則()A．a(chǎn)＝e，b＝－1B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e－1，b＝1D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1(5)設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－2)在點(diǎn)(1，－2)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，則eq\f(a,b)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3(6)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xlnx相切，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．(7)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,2x)，若曲線y＝f(x)存在兩條過(guò)(1，0)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．(8)關(guān)于x的方程2|x＋a|＝ex有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．若曲線y＝xlnx在x＝1與x＝t處的切線互相垂直，則正數(shù)t的值為_(kāi)_______．2．設(shè)曲線y＝eax－ln(x＋1)在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，則a＝()A．0B．1C．2D．33．若曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)4．函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．5．已知函數(shù)f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0處的切線與直線3x－y＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為．6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋b的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y－5＝0，則a＝________；b＝________．7．若函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(3,x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2，4)，則a＝________．8．若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx＋b的切線，則b＝()A．－1B．1C．2D．e9．曲線y＝(ax＋1)ex在點(diǎn)(0，1)處的切線與x軸交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，則a＝；10．過(guò)點(diǎn)M(－1，0)引曲線C：y＝2x3＋ax＋a的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若|MA|＝|MB|，則a＝．11．已知曲線C：f(x)＝x3－3x，直線l：y＝ax－eq\r(3)a，則a＝6是直線l與曲線C相切的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件12．已知點(diǎn)M是曲線y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角α的取值范圍．13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C．(1)求在曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．專題02曲線的切線方程考點(diǎn)一求切線的方程【方法總結(jié)】求曲線切線方程的步驟(1)求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程的步驟第一步，求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率；第二步，由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程的步驟第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步，寫(xiě)出過(guò)P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程，求出x1；第四步，將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．注意：在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．【例題選講】[例1](1)(2021·全國(guó)甲)曲線y＝eq\f(2x－1,x＋2)在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為_(kāi)_______．答案5x－y＋2＝0解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq\f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq\f(5,(x＋2)2)，所以y′|x＝－1＝eq\f(5,(－1＋2)2)＝5，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．(2)(2020·全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案B解析f(1)＝1－2＝－1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切線的斜率為k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．(3)(2018·全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案D解析法一因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因?yàn)閤∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．法二因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此時(shí)f(x)＝x3＋x(經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)為奇函數(shù))，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．法三易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)＝x2＋(a－1)x＋a為偶函數(shù)，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．(4)(2020·全國(guó)Ⅰ)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為_(kāi)_______．答案2x－y＝0解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)閥＝lnx＋x＋1，所以y′＝eq\f(1,x)＋1，所以切線的斜率為eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1．所以y0＝ln1＋1＋1＝2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．(5)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為．答案x－y－1＝0解析∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋lnx0)x．∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝(1＋lnx0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0．(6)(2021·新高考Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea答案D解析根據(jù)y＝ex圖象特征，y＝ex是下凸函數(shù)，又過(guò)點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則點(diǎn)(a，b)在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0<b<ea．故選D．(7)已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)答案C解析設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直線x＋2y－1＝0的斜率為－eq\f(1,2)，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－1＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，又切點(diǎn)P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－x0＋3，∴當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝3；當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝3．∴切點(diǎn)P為(1，3)或(－1，3)．(8)(2019·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．答案(e，1)解析設(shè)A(m，n)，則曲線y＝lnx在點(diǎn)A處的切線方程為y－n＝eq\f(1,m)(x－m)．又切線過(guò)點(diǎn)(－e，－1)，所以有n＋1＝eq\f(1,m)(m＋e)．再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1．故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1)．(9)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線與直線x＋y＝0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為．答案(0，0)解析∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a．又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3xeq\o\al(2,0)＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，∴切點(diǎn)P(x0，f(x0))的坐標(biāo)為(0，0)．(10)函數(shù)y＝eq\f(x－1,x＋1)在點(diǎn)(0，－1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．1答案B解析∵y＝eq\f(x－1,x＋1)，∴y′＝eq\f((x＋1)－(x－1),(x＋1)2)＝eq\f(2,x＋12)，∴k＝y(tǒng)′|x＝0＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝eq\f(1,2)，故所求的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)．(11)曲線y＝x2－lnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是．答案eq\r(2)解析設(shè)曲線在點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)處的切線與直線x－y－2＝0平行，則＝＝2x0－eq\f(1,x0)＝1．∴x0＝1，y0＝1，則P(1，1)，則曲線y＝x2－lnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋(－1)2))＝eq\r(2)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角α的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))1．答案C解析y′＝3x2－eq\r(3)，∴y′≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3)，又α∈[0，π)，故α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故選C．2．函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1處的切線方程為．2．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝ex－eq\f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切點(diǎn)為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．3．(2019·全國(guó)Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)_______．3．答案y＝3x解析y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切線方程為y＝3x．4．曲線f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l的方程為()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝04．答案D解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－2lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(－3＋2lnx,x2)．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切線方程為y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．5．(2019·全國(guó)Ⅱ)曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝05．答案C解析設(shè)y＝f(x)＝2sinx＋cosx，則f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故選C．6．(2019·天津)曲線y＝cosx－eq\f(x,2)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為_(kāi)_______．6．答案y＝－eq\f(1,2)x＋1解析y′＝－sinx－eq\f(1,2)，將x＝0代入，可得切線斜率為－eq\f(1,2)．所以切線方程為y－1＝－eq\f(1,2)x，即y＝－eq\f(1,2)x＋1．7．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(a,ex)))為奇函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為．7．答案2x－y＝0解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＋f(1)＝0，即e＋eq\f(a,e)－eq\f(1,e)－ae＝0，解得a＝1，f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))，∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為2，又f(0)＝0，∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的方程為2x－y＝0．8．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為_(kāi)_______．8．答案3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)))，由y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))′＝x2，得y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，即過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率為xeq\o\al(2,0)，又切線過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，若x0≠2，則xeq\o\al(2,0)＝eq\f(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)－\f(8,3),x0－2)，解得x0＝－1，此時(shí)切線的斜率為1；若x0＝2，則切線的斜率為4．故所求的切線方程是y－eq\f(8,3)＝x－2或y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0．9．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為．9．答案x－y－1＝0解析∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋lnx0)x．∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝(1＋lnx0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，曲線f(x)在(1，f(1))處的切線方程是()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝110．答案A解析因?yàn)閒(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x＋f(1)lnx，所以f′(x)＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2＋eq\f(f（1）,x)．令x＝eq\f(1,2)得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×eq\f(1,2)－2＋2f(1)，即f(1)＝1．又f(1)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3，所以f′(1)＝2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋f(1)＝6－2＋1＝5．所以曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－1＝5(x－1)，即5x－y－4＝0．11．我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算．設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_(kāi)_______，用此結(jié)論計(jì)算ln2022－ln2021≈________．11．答案y＝xeq\f(1,2021)解析函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，則f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切線方程為y＝x．∴l(xiāng)n2022－ln2021＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2021)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，根據(jù)以直代曲，x＝eq\f(1,2021)也非常接近切點(diǎn)x＝0．∴可以將x＝eq\f(1,2021)代入切線近似代替f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))≈eq\f(1,2021)．12．曲線f(x)＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)12．答案D解析f′(x)＝1＋eq\f(1,x)，則f′(1)＝2，故曲線f(x)＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故選D．13．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)．(1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程．13．解析(1)∵P(2，4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，∴在點(diǎn)P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4．∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率為y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)．∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)．∵點(diǎn)P(2，4)在切線上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．14．解析(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝eq\f(7,4)x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝eq\f(1,2)．又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x)．(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0)))．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6．故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6．15．(2021·全國(guó)乙)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．15．解析(1)由題意知f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝3x2－2x＋a，對(duì)于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．①當(dāng)a≥eq\f(1,3)時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)a<eq\f(1,3)時(shí)，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝eq\f(1－\r(1－3a),3)，x2＝eq\f(1＋\r(1－3a),3)，令f′(x)>0，則x<x1或x>x2；令f′(x)<0，則x1<x<x2．所以f(x)在(－∞，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≥eq\f(1,3)時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<eq\f(1,3)時(shí)，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(1－3a),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(1－3a),3)，\f(1＋\r(1－3a),3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(1－3a),3)，＋∞))上單調(diào)遞增．(2)記曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為l，切點(diǎn)為P(x0，xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1)．因?yàn)閒′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2x0＋a，所以切線l的方程為y－(xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1)＝(3xeq\o\al(2,0)－2x0＋a)(x－x0)．由l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得2xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)－1＝0，解得x0＝1，所以切線l的方程為y＝(1＋a)x．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝(1＋a)x，,y＝x3－x2＋ax＋1))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1＋a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1－a.))所以曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1＋a)和(－1，－1－a)．考點(diǎn)二求參數(shù)的值(范圍)【方法總結(jié)】處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．注意：曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．【例題選講】[例1](1)已知曲線f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))處的切線的斜率為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．答案eq\f(1,3)解析f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，則f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝eq\f(1,3)．(2)若函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案[2，＋∞)解析直線2x－y＝0的斜率k＝2，又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)內(nèi)有解，則a＝4x＋eq\f(1,x)－2，x>0．又4x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(4x·\f(1,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)取“＝”．∴a≥4－2＝2．∴a的取值范圍是[2，＋∞)．(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋bx3的圖象在點(diǎn)(1，－1)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，則a＋b的值為．答案0解析依題意得f′(x)＝eq\f(a,x)＋3bx2，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝－1，,f′(1)＝\f(1＋1,0－1)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,a＋3b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以a＋b＝0．(4)(2019·全國(guó)Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則()A．a(chǎn)＝e，b＝－1B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e－1，b＝1D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1答案D解析因?yàn)閥′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝e－1，,b＝－1.))(5)設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－2)在點(diǎn)(1，－2)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，則eq\f(a,b)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3答案B解析由題可得y′＝eq\f(－3,（x－2）2)，所以曲線在點(diǎn)(1，－2)處的切線的斜率為－3．因?yàn)榍芯€與直線ax＋by＋c＝0垂直，所以－3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))＝－1，解得eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3)，故選B．(6)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xlnx相切，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．答案1＋ln2解析設(shè)切點(diǎn)為(m，mlnm)，y′＝1＋lnx，y′|x＝m＝1＋lnm，∴y－mlnm＝(1＋lnm)(x－m)，即y＝(1＋lnm)x－m，又y＝kx－2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋lnm＝k，,m＝2，))即k＝1＋ln2．(7)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,2x)，若曲線y＝f(x)存在兩條過(guò)(1，0)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．答案(－∞，－2)∪(0，＋∞)解析f′(x)＝1－eq\f(a,2x2)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(a,2x0)))，∴切線的斜率k＝f′(x0)＝1－eq\f(a,2x\o\al(2,0))，∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(a,2x0)))＝eq\b\lc\(\rc