信號與系統(tǒng)2第二章

信號與系統(tǒng)第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析光電學院二零一一年第一學期1引言LTI系統(tǒng)的時域分析法微分方程法LTI系統(tǒng)的輸入-輸出模型——微分方程LTI系統(tǒng)響應的物理意義LTI系統(tǒng)響應的求法卷積積分法卷積積分及意義卷積積分的性質卷積積分的求法奇異函數(shù)及意義第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2

卷積積分法§2.1引言時域分析法：

微分（差分）方程法x(t)y(t)已知微分或差分方程求解系統(tǒng)（變換）1．微分或差分方程法第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析32.

卷積積分法x(t)y(t)系統(tǒng)h(t)h(t)—系統(tǒng)的單位沖激響應（已知）y

(t)=h(t)*

x(t)—卷積積分意義：直觀，物理概驗清楚，是其他方法（變換域法等）的基礎?！?.1

引言45§2.1.1微分方程法1.LTI系統(tǒng)的輸入-輸出模型—微分方程;k

0n

k

0dk

x(t)d

tkbkd

tkdk

y(t)

mak(1)

LTI系統(tǒng)模型是常系數(shù)微分方程Dd

tkkk

dn

m

ak

Dk

y(t)

bk

Dk

x(t);k

0

k

0或其中x(t)y(t)系統(tǒng)h

(t)§2.1

時域分析法6電路系統(tǒng)的模型理論依據(jù)：I=U/R、KVL、KCL、及R、C、L的伏安特性：

tLLiV

Ldt0(t)dt

(0)1LiL

(t)

V

(t)

L

di(t)

或

cccCVicCdttVi0(t)dt

(0)1CV

c

(t)

V

(t)

Qd

(t)(t)

C

或

(2)LTI系統(tǒng)模型建立的基礎理論§2.2.1微分方程法7例1.求is(t)與il(t)的關系解：①

is

(t)=

ic

(t)+

il

(t)②20R

idtid

(t)R

ii1Cll1

ctc

(t)

(t)(t)

L

(

)d

si

(t)ci

(t)li

(t)L=2HC=1/4FR1=1R2=5力學系統(tǒng)的模型理論依據(jù)：牛頓運動定律。dtd

il

(t)d

t2d

2

il

(t)

R2

(t)

Ldtd

ic

(t)1C

ic

(t)

R1對②式求導得：

2d

is

(t)1

d

is

(t)

2

il

(t)

2d

il

(t)3d

t2d

2

il

(t)

dtdt①式代入上式：§2.2.1微分方程法

mk

0k

x(t)，

bk

Dn

k

0k

y(t)

ak

D

y(0

),y`(0

),

y(0

)(n

1)—初始條件。1）解的形式：——完全解（完全響應）

yo

(t)

yx

(t)y(t)

yh

(t)

y

p

(t)

瞬態(tài)解

穩(wěn)態(tài)解§2.2.1微分方程法2.LTI系統(tǒng)的響應（微分方程的解）及意義系統(tǒng)的模型：h

p

y

(t)

y

(t)

注意:任何響應都是這種形式，只是所用的初始條件不同而已。8y(t)

yh

(t)

yp

(t)

yo

(t)

yx

(t)

瞬態(tài)解

穩(wěn)態(tài)解2)解的意義§2.2.1微分方程法9

零狀態(tài)響應—

全響應

零輸入響應—自由響應

自由響應p

受

強迫響應

特解(

y

或y

）

齊次解(yh或y自）

解的具體意義§2.2.1微分方程法y(t)

yh

(t)

yp

(t)

yo

(t)

yx

(t)

瞬態(tài)解

穩(wěn)態(tài)解y(t)完全解或通解（完全響應）yh(t)奇次解（自然響應），反映系統(tǒng)本身的特征和狀態(tài)yp(t)特解（受迫響應），由輸入信號和系統(tǒng)特征決定y0(t)零輸入響應，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)特征決定，與輸入信號無關，（x(t)=0

的解）yx(t)零狀態(tài)響應，由系統(tǒng)特征和輸入信號決定，與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關yh(t)=y0(t)+(yx

(t)中系統(tǒng)固有頻率對應的一部分）yx(t)=yp(t)+ ?（由輸入信號x(t)誘發(fā)的，決定于系統(tǒng)特征的響應）瞬態(tài)響應——隨時間而趨于零的響應（如e

-t）穩(wěn)態(tài)響應——隨時間而趨于一個穩(wěn)定值或常數(shù)的響應（如(1-e-t

)1011oy(k)(0-)是0-時刻的初始條件（且y(k)(0-)=y

(k)(0+)）x(0+)是系統(tǒng)含有儲能元件時(或x(t)=δ(t))，當信號x(t)接入的瞬間（0+時刻）引起的初始狀態(tài)發(fā)生變化。o注意：通常題目給出的初始條件是y

(k)(0+)=y(k)(0-)（通常寫為xy(k）(0)）；而初始狀態(tài)發(fā)生變化時的y

(k)(0+)需專門求出（后面介紹）y(k)(0-)o

xy

(k)

(0+)+

y

(k)

(0+)=

y(k)

(0+)oxy(t)=y

(t)+

y

(t)h

p=y

(t)+

y

(t)0-0

0+x(t)x(0

)

,~x

(0

)

~x

(0

)

,x(t)~x

(t)t3)解與初始條件-

∞初始條件§2.2.1微分方程法（且~x

(0是

)0-時刻的起始狀態(tài)~x

(0

)是0+時刻的初始狀態(tài)~x

(0

)

）~x

(0

)12

yo

(t)

yx

(t)y(t)

yh

(t)

y

p

(t)§2.2.1微分方程法y0

(t)

yh

(t)yx

(t)

yh

(t)

y

p

(t)解與初始條件：y(0

),

y`(0

),

y(0

)(n

1)y(0

)

y`(0

)

y(0

)(n

1)

0初始條件零狀態(tài)初始條件y(0

),

y`(0

),

y(0

)(n

1)13inkka

0的根

求特征方程

k

0①零輸入響應(x(t)=0)：由方程:

nk

0

ak

Dk

y(t)

0，

y(0),y`(0),

y(0)(n

1)—(不全為零）。

t

0bonk

0k

y(t)

x(t)，

ak

D

y(0),y`(0),

y(0)(n

1)—(不全為零）。微分方程：

求解：n

yo

(t)

ck

yk(t)k

0§2.2.1微分方程法3.LTI系統(tǒng)響應的求法零輸入響應、零狀態(tài)響應、完全響應1）初始條件無躍變時:(

x(0+)=0、yx(k）(0+)=0

)x(t)

(t)14由初始條件定出ck.即可。其中yk(t)由特征方程根的模式?jīng)Q定下表：y(0),

y`(0),

y(0)(

n

1)特征根奇次解中的對應項yk(t)對每一單根λ=γ給出一項

ceγt對于k重實根λ=γ給出k項

c1eγt+

c2t

eγt+…+ck

tk-1

eγt對于一對單復根

λ1,2=α±jβ給出兩項c1eαtcosβt

+

c2

eαtsinβt對于一對m重復根

λ1,2=α±jβ給出2m項c1eαtcosβt

+

c2

teαt

cosβt+…+cmtm-1

eαt

cosβt+

d1

eαt

sinβt

+

d2

teαt

sinβt+…

+

dmtm-1

eαt

sinβt§2.2.1微分方程法15

方程：

bonk

0k

y(t)

x(t)，

ak

D

y(0)

y`(0)

y(0)(n

1)

0

—(表零狀態(tài)）。先求特征方程nnk

0

齊次解：yh

(t)

ck

yk

(t)k

0

ak

k

0的根

i

;yp

(t)和特解yp(t)：t

0nyx

(t)

yh

(t)

y

p

(t)

ck

yk

(t)

y

p

(t)k

0§2.2.1微分方程法②零狀態(tài)響應：則，零狀態(tài)響應為：16由初始條件yp(t)參照下表決定：y(0)

y`(0)

定y(0出)(nc

1k)即

0可。其中激勵x(t)特解yp(t)eαtAoeαt當α不是特征根A1teαt當α是特征單根Ak

tk

eαt當α是k重特征根eαt

cosβt

或eαt(A1cosβt

+

A2

sinβt)當α±jβ不是特征根eαt

sinβtteαt(A1cosβt

+

A2

sinβt)當α±jβ是特征單根t

mAm

tm

+Am-1

tm-1

+…+

A1

t+

Ao注意：求y0

(t)和yx

(t)所用的初始條件不一樣.§2.2.1微分方程法17③完全響應：y(t)

yo

(t)

yx

(t)④自然響應與受迫響應：微分方程

bonk

0k

y(t)

x(t)，

ak

D

y(0),y`(0),

y(0)(n

1)—(不全為零）。先求齊次解(用上面求特征方程的根得到）：nyh

(t)

ck

yk

(t)k

0注意：此時還不定常數(shù)Ck

.§2.2.1微分方程法

yh

(t)

y

p

(t)

瞬態(tài)解

穩(wěn)態(tài)解18再求特解(用前面方法）：y

p

(t)t

0nk

0完全響應：y(t)

yh(t)

y

p

(t)

ck

yk

y

p

(t)其中ck由初始條件定出。y(0),

y`(0),

y(0)(

n

1)注意：此時完全響應的求法和1）中零狀態(tài)響應求法完全一樣，只是用的初始條件的不同而已?！?.2.1微分方程法1912

dt

23

dy(t)

dt2y(t)

y(t)

x(t)初始條件y(0)=1,y(1)(0)=0,輸入x(t)=5e-3tu(t),求系統(tǒng)的零輸入響應y0(t),零狀態(tài)響應yx(t)以及完全響y(t)。解法一：(a)求零輸入響應y0(t)。特征方程： λ2

+3λ/2+1/2=0特征根為：

λ1=-1，λ2=

-1/2，因此，零輸入響應為d

2例1.已知某系統(tǒng)的微分方程模型為§2.2.1微分方程法由初始條件y(0)=1，y(1)(0)=0，解得c1=-1，c2=2y0(t)=-e-t

+2e-t/2y0(t)=c1e-t

+

c2e-t/2

t≧0…(1)20(b)求零狀態(tài)響應yx(t)。設特解為yp(t)=Ae-3t，代入微分方程得：A=1，零狀態(tài)響應的特解：yp(t)=e-3t零狀態(tài)響應奇次解：

yh(t)

=

c1e-t

+c2

e-t/2零狀態(tài)響應：將初始條件y(0)=y(1)(0)=0（零狀態(tài)初始條件）,代入上式得c1=-5，c2=4,因此，零狀態(tài)響應是：yx(t)=yh(t)+yp(t)=(-5e-t

+4e-t/2+e-3t

)u(t)

(u(t)表示t

>0)yx(t)

=

yh(t)

+

yp(t)

=

c1e-t

+

c2

e-t/2

+

e-3t

…

(2)§2.2.1微分方程法21(c)完全解（全響應）y(t)

=

y0(t)

+

yx(t)

=

[

-e-t

+2e-t/2-5e-t

+4

e-t/2+e-3t

]

u(t)=(-6e-t

+6

e-t/2

)

u(t)

+

e-3t

u(t)自然響應

受迫響應若方程（2）代入初始條件y(1)=1，y(1)(0)=0會得到怎樣的結果？此時，c1=-6，c2=6，則有y(t)

=

yh(t)

+

yp(t)=(-6e-t+6e-t/2

)u(t)

+

e-3t

u(t)

—全響應自然響應

受迫響應§2.2.1微分方程法yx(t)

=

yh(t)

+

yp(t)

=

c1e-t

+

c2

e-t/2

+

e-3t22分析：1.零狀態(tài)響應yx(t)=yxh(t)+yxp(t)=(-5e-t+4e-t/2

)u(t)+e-3t

u(t)中的第一項表示由輸入x(t)誘發(fā)的由系統(tǒng)自身特征所決定的響應（固有振蕩），是輸入能量的一部分，而第二項，受迫響應是輸入能量的另一部分，具有輸入信號的頻率特征（變化規(guī)律）。2.全響應y(t)

=

yh(t)+

yp(t)=

(-6e-t

+6e-t/2

)

u(t) +

e-3t

u(t)與零狀態(tài)響應比較，可見,自然響應中確包含有全部的零輸入響應和零狀態(tài)響應的一部分。

3.該例題的響應只存在瞬態(tài)響應。yx(t)=(-5e-t

+4e-t/2+e-3t

)u(t)

(u(t)表示t

>0)§2.2.1微分方程法232）初始條件有躍變時x(0+)≠0，初始條件應由

yo(k)(0+)=0→yx(k)(0+)，得y(k)(0+)不全為0。當微分方程右邊含有δ(t)或及導數(shù)時，或系統(tǒng)含有儲能元件（C、L等）時，當信號接入的一瞬間，初始條件通常將發(fā)生躍變?！?.2.1微分方程法y(k)(0-)yo(k)

(0+)+

yx(k)

(0+)=y(k)

(0+)y(t)=yo(t)+

yx(t)=y自(t)+y受(t)0-0

0+~x

(0

)

~x

(0

)

,

x(0

)

,

x(t)x(t)~x

(t)t-

∞初始條件

x(t)y(t)

k

0kbk

Dn

m

k

0k

ak

D

y(0

),y`(0

),

y(0

)(n

1)。對應的模型：24①δ函數(shù)匹配法：由于信號輸入系統(tǒng)時x

(t)

=

f

(t)

u(t)，微分方程的右邊就會出現(xiàn)δ(t)和最高為m階的導數(shù)δ（m）(t)項，因此，微分方程的左邊Dny(t)中也含有δ（m）(t)項，而其它Dk

y(t)項含δ（m）(t)的n-k重積分項。通過對微分方程兩邊m次積分，利用δ（k）(t)及δ(t)性質和y

(0-)=y`(0-)=…=y(n-1)

(0-)=0就可定出躍變時初始條件:

y(0+),y`(0+),…y(n-1)(0+)。方法：先定初始條件{y

(k)(0

+)，k

=0,1,2…n-1}。再求響應n

m

ak

Dk

y(t)

bk

Dk

x(t)k

0

k

0§2.2.1微分方程法25并由y`(0

)

y(0

)

0得y`(0

)

y`(0

)

1y(0

)

y(0

)

0初始條件：

y`(0

)

1;

y(0

)

0x(t)

e

t

u(t)y``(t)

5

y`(t)

6

y(t)

(t)

2

e

t

u(t)e000

0

(

y``(t)

5

y`(t)

6

y(t))dt

(

(t)

2

t

u(t))dt§2.2.1微分方程法例：y``(t)

5

y`(t)

6

y(t)

x`(t)

x(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：先求初始條件，據(jù)題有：26由初始條件定出c1=3，c2=-2；yx(t)=

3e-2t

-2e-3t

-

e-ty`(0

)

1;

y，(0

)

0=瞬態(tài)響應§2.2.1微分方程法∵u(t)的存在和t≥0+；δ(t)=0只要求

y``(t)

5

y`(t)

6

y(t)

2

e

t

u(t)

的響應yx(t)=

yh(t)+

yp(t)yp(t)=-e-t

；yh(t)=c1

e-2t

+c2

e-3t。yx(t)=c1

e-2t

+c2

e-3t

-e-t27e(t)c

+

Vc(t)-KR

i(t)±例：一電路系統(tǒng)如右圖，對應的微分方程為

1

1i`(t)

i(t)

e`(t)RC

R其中e(t)=u

(t),

求零狀態(tài)響應。解：顯然有初始條件：i(0+)=1/R;解得應用初始條件i(0+)=1/R，得A=1/R，i(t)

Ae

t

RCRi(t)

1

e

t

RC②物理概驗法一些簡單電路可以用物理概驗分析出初始條件。§2.2.1微分方程法28③微分特性法LTI

系統(tǒng)：x(t)→y(t);Dkx(t)→Dky(t)?！?）k

0

i

0的零狀態(tài)響應yx(t)：n

m方程

ak

Dk

y(t)

bi

Di

x(t)

0(n

1)n

ak

Dk

y?(t)

b0

x(t)

k

0

y?(0

)

y?`(0

)

y?(0

)注意：此時x(t)中應不含δ(t)及其導數(shù)，否則不能用這樣的初始條件求解。可先求

x(t)

y?(t)的解：則，方程（2）的零狀態(tài)響應為?1b

bm

DoD

)

y(t)xm

by

(t)

(bm

1m

1

D

LTIy(t)m

bi

Di

x(t)i

0§2.2.1微分方程法29解：先求的解令x(t)

e

t

u(t)

y?``(t)

5

y?`(t)

6

y?(t)

x(t),x(t)

e

t

u(t)(1)

0

0?

?y`( )

0y( )

21e?

(t)

y（注意：x(t)中不含δ(t)及導數(shù)）

tp得A

,A

,并將其代入方程(1)e

tpy?

(t)

21求得奇次解為則)u(t)12y?h

(t)

c1

e

c2

e

2t

3t21

3t

2tec

e

c

ey?x

(t)

y?h

y?

p

(

t

由初始條件得：c1=-1,c2=1/2,22e

1

e

t

)u(t)

2t

1

e

3txy?

(t)

(

e

eedt(t)d

y?xxx

t

3t

2t

)u(t)

2

y?

(3y

(t)

的零狀態(tài)響應?！?.2.1微分方程法例：再解

y``(t)

5

y`(t)

6

y(t)

x`(t)

x(t),303）單位沖激響應系統(tǒng)h

(t)δ(t)u(t)h(t)s(t)x(t)=δ(t)→h(t)

——單位沖激響應（零狀態(tài)響應）x(t)=

u(t)→s(t)——單位階躍響應（零狀態(tài)響應）h(t)與s(t)的關系：由

(t)

du(t)

h(t)

ds(t)dt

dt§2.2.1微分方程法31①δ(t)函數(shù)匹配法求h(t)令x(t)

(t)n

m

ak

Dk

h(t)

bk

Dk

x(t),k

0

k

0n先求

ak

Dk

h?(t)

(t)的解。k

0先用δ(t)函數(shù)匹配法求初始條件：∵t≥0+，δ(t)=0，∴再求則：nh?(t)

ck

h?k(t)k

0用初始條件定出ckh(t)

m

k

0kkh(t)b

D?nk

0

ak

D的k

h?(零t)

狀0態(tài)響應：0(

)?0

0?

?

h

),

h`(h((n

1)

),

,§2.2.1微分方程法32②微分方程特性法求h(t)：n

m

ak

Dk

h(t)

bk

Dk

x(t),—

x(t)

(t)k

0

k

0m注意：方程（1）中n≤m時，h(t)中包含δ(t)及δ(t)的最高到m-n階的導數(shù)項（即，在h(t)中要加相應的項直到有δ(t)項）。先求…(1)nk

h(t)的

解(t)（∵t≥0+，δ(t)=0）h(t)

hh

(t)

hp

(t)

ck

hk

(t)

0

ak

Dk

0k

0上式代入（1）定出ck?！?.2.1微分方程法33例：求由方程y``(t)

5y`(t)

6

y(t)

x`(t)

x(t)決定的系統(tǒng)的單位沖激響應。

(1)h?``(t)

5h?`(t)

6h?(t)

(t)①δ(t)函數(shù)匹配法求h(t)對（1）式在（0-~0+）范圍內積分得h：?(0

)

0,h?`(0

)

1.得r1=-2，r2=-3r2

5r

6

0：h?(t)

c1

e

2t

c2

e

3t

,

t

0c1

1,

c2

1.特征方程：方程（1）的解為由初始條件得：則：解：令dt

2

e

3t

)u(t)

(

e

2th(t)

(

dt

0

e

3t

,

1)h?(t)h?(t)

e

2t§2.2.1微分方程法34②微分方程特性法求h(t)仍先求

h?``(t)

5h?`(t)

6h?(t)

(t)21)u(t)e

A

e

3t

2th(t)

(

A

h``(t)

5h`(t)

6h(t)

`(t)

(t)

(

A1

A2)

`(t)

(3A1

2

A2)

(t)

`(t)

(t)(

A1

A2)

1,(3A1

2

A2)

1,

1,

A2

2.h(t)

(

e

2t

2

e

3t

)u(t)§2.2.1微分方程法的解，r2

5r

6

0得r1=-2，r2=-335③由單位介躍響應求h(t)δ(t)與u(t)的關系：dt

dt

(t)

du(t)

h(t)

ds(t)例如右圖，電路的時間常數(shù)RC=1,求該電路的沖擊響應h(t)。令x(t)=u(t)，則有解：可得方程y(t)

x(t)dy(t)

dt單位沖擊響應h(t)：dtds(t)

s(t)

u(t)ds(t)h(t)

dt

t

e

u(t)+x(t)-+y(t)-RC§2.2.1微分方程法通過求s(t)再求h(t)

s(t)

(1

e

t

)u(t)注：這里用到初始條件s(0)=0：36

§2.2.2卷積積分法1.卷積積分及意義1）．用沖激函數(shù)表示任意函數(shù)

k

0

0則：x(t)

lim

x?(t)

lim物理意義：任意信號x(t)可以由單位沖激函數(shù)（基函數(shù)）的加全積分表示。

0

,

1

,k

t

(k

1)

其它t位移脈沖：

(t

k

)

……0Δt1/Δ

δΔ(t-kΔ)x?(t)0tx(t)第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析t1/Δ0ΔδΔ(t)k

2,

1,0,1,2

位移脈沖近似任意函數(shù)：x?(t)

x(k

)

(t

k

)

k

當

0時

k

,

d

,

kΔ

x(k

)

(t

k

)

x(

)

(t

)d

即：x(t)

x(

)

(t

)d

37

x(

)h(t

)dx(

)

(t

)d

y(t)

x(t)

y(t)

y(t)

x(

)h(t

)d

x(t)

h(t)——

卷積LTI系統(tǒng)h(t)x(t)x(t)

x(τ)δ(t-τ)

→

x(τ)h(t-τ)§2.2.2卷積積分法2）.卷積積分及意義LTI系統(tǒng)由δ(t)→h(t);δ(t)y(t)h(t)38LTI系統(tǒng)對于任意信號x(t)的零狀態(tài)響應可以由該信號與系統(tǒng)的單位沖激響應的卷積得到：

y(t)

x(

)h(t

)d

y(t)

x(t)

h(t)③穩(wěn)定系統(tǒng)：或

注：①h(t)是系統(tǒng)特性的描述和表征,與輸入信號沒關系。②因果系統(tǒng)：h(t)=0，t<0。

|

h(t)

|

dt

§2.2.2卷積積分法結論392、卷積積分的性質1）．卷積的代數(shù)運算B.結合律：x1(t)*（x2(t)*

x3(t)）=（x1(t)*x2(t)）*

x3(t);y(t)=w(t)*

h2(t)）=[x(t)*h1

(t)]*

h2(t)

=

x(t)*[h1

(t))*

h2(t)]=

x(t)*h

(t)A.交換率：

x1(t)*x2(t)=

x2(t)

*x1(t);y(t)=x(t)*h(t)=

h(t)*

x(t)結論h1

(t)h2

(t)x(t)

y1(t)

y(t)h2

(t)h1

(t)x(t)y2(t)y(t)h

(t)=

h1(t)*

h2(t)x(t)y(t)§2.2.2卷積積分法系統(tǒng)的級聯(lián)用級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應與子系統(tǒng)聯(lián)結順序無關。 級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積；C.分配律：x1(t)*（x2(t)

+

x3(t)）=

x1(t)*x2(t)

+

x1(t)*x3(t)y(t)=x(t)*（h1(t)

+

h2(t)）=

x(t)*h1(t)

+

x(t)*h2(t)=

x(t)*h(t);h(t)=

h1(t)

+

h2(t).結論：對于系統(tǒng)的并聯(lián)，單位沖激響應等于并聯(lián)接中各個子系統(tǒng)沖激響應之和；x2

(t)y2(t)x1(t)y1(t)x(t)y(t)h1

(t)h2

(t)h

(t)=

h1(t)+

h2(t)x(t)y(t)§2.2.2卷積積分法402).卷積的微積分性質dtx(1)

(t)

dx(t)

(t)

tx(

)d

要求x(

1)(

)

0。x(

1)A.微分性質x

(t)=x1(t)*x2(t)x(1)(t)=x(1)1(t)*x2(t)=

x1(t)*x(1)2(t)；證明略…推廣：x

(n)

(t)=x

(n)

1(t)*x2(t)=x1(t)*x(n)2(t)（注意時限函數(shù)的條件）§2.2.2卷積積分法4142B.積分性質x(t)=x1(t)*x2(t),x(-1)(t)=x(-1)1(t)*x2(t)=

x1(t)*x(-1)2(t)；證明略…推廣：①

x(-m)

(t)=x(-m)

(t)*x

(t)=

x

(t)*x(-m)

(t)；1

2

1

22

1

2②

x

(n-m)

(t)=x

(n)1

(t)*x(-m)

(t)=

x(-m)

(t)*x(n)

(t).注：利用卷積的微積分性質可化簡運算。3）任意函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積x(t)

(t)

x(t);x(t)

(t

to)

x(t

to);x(t

t1)

(t

to)

x(t

t1

to);§2.2.2卷積積分法43

m

例1．單位沖激串（或梳狀函數(shù)comb(t)）

T

(t)

(t

m，T

)m為整數(shù)，xo(t)如下圖x(t)

xo

(t)

T

(t)x(t)

xo

(t)

T

(t)求：解：(1)

x(t)

xo

(t)

T

(t)

xo

(t)

(t

mT

)m

-3T-2T

–T

0

T

2T

3Ttx(t)……oT

=3T——連續(xù)函數(shù)的離散化§2.2.2卷積積分法δT(t)0

Tt……xo(t)-To

0

To

t

x(t)

xo

(mT

)

(t

mT

)m

xo

(t)

(t

mT

)m

44

xo(t)

(t

mT

)m

x(t)

xo

(t)

T

(t)

xo

(t)

(t

mT

)m

T>

2To……x(t)-2T-T -To

0

To

T2T

t§2.2.2卷積積分法解(2)：

xo

(t

mT

)m

45卷積的圖解步驟：①令t=τ,→h(τ)，x(τ)，并畫示意圖；②畫h(-τ)圖；③畫h(t-τ)圖（h(-τ)向右平移t的值）；④將x(τ)與h(t-τ)相乘：⑤將x(τ)h(t-τ)對τ積分，即得該時刻的卷積結果。

2．卷積積分求零狀態(tài)響應yx(t)(此時常寫為y(t))y(t)

x(t)

h(t)

x(

)h(t

)d

1）卷積積分的圖解輔助法§2.2.2卷積積分法46，

t

0

0

其他

值0

tx(

)

h(t

)

e

LTI系統(tǒng)h

(t)δ(t)x(t)h(t)y(t)0ty(t)解：

t

<0時，y(t)=0。 h

(τ)

1t<0 h

(t-τ)t10

τx(τ)=e

-aτ0τa0tττt>0e-aτ0h(t-τ1)a§2.2.2卷積積分法例1：x(t)=e-atu(t)，a>0，h(t)=u(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

t

1

e

x(

)h(t

)d

y(t)

e d

1

0對于全部t:ay(t)

1

(1

e

at)u(t)47例2：已知求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

0

t

2T

0,

其它t值h(t)

t

,

0,

其它t值0

t

T

;x(t)

1,x(τ)1h(t-τ)3T<t0

T

t-2T

t

τx(τ)h(t-τ)=0x(τ)1h(t-τ)2T<t<3T0

t-2T

T

t

τ

x(τ)h(t-τ)=t-τt-2T<τ<T

2T

t

3T其它t,

T

t

2T0

t

T

TTTt

0,t

2Ty(t)

02112t2

,20(t

)d

Tt

1

t2

3

T

2

,2

2

(t

)d

Tt

(t

)d

t<0x(τ)h(t-τ)1t-2T t

0

τx(τ)h(t-τ)=0t<00

Tτx(τ)10

2T

τh(τ)1-2T

0

τh(-τ)1解：T<t<2T1x(τ)h(t-τ)t-2T

0 T

t

τx(τ)h(t-τ)=t-τ0<τ<Th(t-τ)x(τ)10<t<Tt-2T 0

t

T

τx(τ)h(t-τ)=t-τ0<τ<t§2.2.2卷積積分法48例3.求卷積x1

(t)

x2

(t)01tx1

(t)x2

(t)012

t解：（1）圖解輔助法。

2

2

t

3

d

0,

其它2

223

3t

,

1

t

22t

1

2

d

1

t2

3t

9

,12112t02tx1

(t)

x2

(t)

t

1

d

d

ttt=0-10τx1

(-τ)10

t

12

τx2

(τ)x1

(t-τ)10<t<1101

t

2

τx1

(t-τ)1<t<2x2

(t-τ)0

1,

0

t

12

t

τx2

(τ)12<t<3x1

(t-τ)t-1§2.2.2卷積積分法4901tx1

(t)x2

(t)012

t2(2)(t)1(t)12xx(

2)x(t)

x

(t)

0(t)

(t

2)

1

t

2

解：

顯然

x1

(t)

u(t)

u(t

1)t

0

t

1其他

tx2利用§2.2.2卷積積分法2）利用卷積的微分性質求卷積例4.利用卷積的微分性質再求上題:

t

u(t)

u(t

1)

(t

2)

u(t

1)

u(t

2)

50而

1

t2

u(t)

1

(t

1)2

u(t

1)[

u(

)

(

1)u(

1)]d

tu(t)

(t

1)u(t

1)

1)]d

011

(

2)(

1)(t)(t)

xx0t[u(

)

u(

2

2x1

(t)(-1)x1

(t)0

1

2

t0

1

t

0

1

2

t(-2)x1

(t)

u(t)

2u(t

1)

u(t

2)x2

(t)

(t)

2

(t

1)

(t

2)(

2)(t

1)

(t

(t)

(t

u(t

1)

u(t

2)

(t

2)

u(t)

u(t

1)

2)

t

1)

2(1)(t)xx2

(t)1012

t012

t1-1x2

(1)(t)012

t(1)(1)(-2)x2

(2)(t)§2.2.2卷積積分法tx2

(t)

t

u(t)

u(t

1)

(t

2)

u(t

1)

u(t

2)

51

(

1

t2

3t

9

)

u(t

2)

u(t

3)

2

2

0

,

12)

,

1

t

2)

,

2

t

3其他

3t

x

x

x(t)

2x

(t

1)

x

(t

2)(t)

[

(t

1)

(t

2)]

(t)

2(t)

x(t)

x

(t)(

2)

(

2)(

2)tt(t),x3292(2(

t2

3t

1

2t

,

0

t

12

2

1

t2

u(t)

u(t

1)

(

t2

3t

3)

u(t

1)

u(t

2)

21

1

1(

2)1(

2)(2)2112§2.2.2卷積積分法52。0t-2(-1)7x1

(-1)(t)30

1

26

tx2

(1)

(t)3 x1

(t)10 1 2 6 tx2

(t)0 t1-2例5.

信號

x1

(t)、如x2

(下t)

圖所示，試計算二者的卷積x1

(t)

x2

(t)此題x2(t)不為時限信號，它在t→-∞時不趨于零?？磧煞N解法有什么結果。解法一.

利用微分積分性質計算卷積。先對x1(t)積分、對x2(t)求導其圖形如下(a),(b)所示。于是(t

2)(t)

(

(t

2))(t)

(t)

(t)

1(

1)1(

1)2(1)1(

1)12x

(t)

xxxxx§2.2.2卷積積分法53

(

2)d

u(t

2)

u(

t

2)2'

xt

t(

)d

0,

4

t

,

4

3t7 , t

1,

1

t

00

t

44

t0,t

262122

62x1

(t)

x2

(t)

t

26d

,

,

1

t

0

t

4

t3d

d3d

d

, t

10

u(-τ-2)4上述兩結果不同，解二的結果肯定是對的，解一的不對，原因是在解一中的積分不能復原x2(t)，x2’(t)不能唯一地表示x2(t)的導數(shù)。之所以這樣，是由于，才的積分復2

22

x

xx

'(

)d

(t)

(

)t當且僅當

lim

x2

(t)

0能由t

x2

'(t)

(t

2原)

x2(t).0τ1-22x

(τ)3x1

(τ)1-1

0

4τ0

1

26τx1

*

x274x2

(t-τ),t=0

時0

t+2τ1-2§2.2.2卷積積分法解法二.

利用圖解法計算卷積。5411(

1)(t

62112(

1)1(

1)

(t

2)x

(t)

1

7

xd

(t)

(t

2)2)xx3d

§2.2.2卷積積分法解法三.

將非時限信號分解再求卷積。設

x2(t)=1-

u(t+2),則x1

(t)

x2

(t)

x1

(t)

1

u(t

2)

550

12

t(b)1yx

(t)yx

(t)0t2(a)

x(

)h(t

)d

xy

(t)

解:(a)

x(t)

h(t)x(

)h(t

)d

當輸入反轉后

y?x

(t)

x(

)h(t

)d

——相關表明不是yx(t)的反轉，而成為x(t)與h(t)的相關，即x(

t)

h(t)

x(t)

h(t)§2.2.2卷積積分法例題5.(a)已知某LTI系統(tǒng)，設其沖激響應為h(t)，當輸入為x(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yx(t)如下圖(a)所示。問當輸入x(t)反轉，輸出yx(t)是否也隨之反轉？如不是，把x(t)和h(t)都反轉，輸出如何？(b)已知LTI系統(tǒng)對輸入x(t)=sin

t

u(t)的零狀態(tài)響應如下圖(b)，求該系統(tǒng)的單位沖激響應。56

y?x

(t)

x(

)h(

t

)d

x(

)h(

t

)d

yx

(

t)此時結果恰好是x(t)和h(t)卷積的反轉。解:(b)這是求反卷積的問題，這類問題可設法通過微分使輸入函數(shù)出現(xiàn)沖激，它對應的零狀態(tài)響應就是h(t).對于本題x(t)=sint

u(t)，有

sin

tu(t)

(t)

sin

tu(t)dt22d據(jù)微分性質，有22dt2ddt2y

(t)dx

sin

tu(t)

h(t)

[

(t)

sin

tu(t)]

h(t)

h(t)

[sin

tu(t)]

h(t)

h(t)

yx

(t)§2.2.2卷積積分法解:(a)當輸入和沖激響應都反轉時57即dth(t)

yx

(t)

2d

2

y

(t)xx

y

(t)

t

u(t)

u(t

1)

(t

2

t(b)（1）1（1）0

1（-2）'

yx

(t)

u(t)

u(t

1)

u(t

1)

u(t

2)yx

(t)

(t)

2

(t

1)

(t

2)''h(t)

t

u(t)

u(t

1)

(t

2)

u(t

1)

u(t

2)

(t)

2

(t

1)

(t

2)h(t)0

12

t2)

u(t

1)

u(t

2)

(b)1yx

(t)§2.2.2卷積積分法xo

0.1.

奇異函數(shù)——函數(shù)本身有不連續(xù)點或其導數(shù)與積分有不連續(xù)點1)．單位沖激函數(shù)（1）函數(shù)的補充性質

(x)

(x

xo)

0,(

(x)

(x)無定義)（2）單位沖激函數(shù)

(x的卷積積分定義問題：許多函數(shù)在極限意義下都表現(xiàn)為

(x函)

數(shù)→以某函數(shù)的極限定義δ(t)不夠嚴謹?shù)诙逻B續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析§2．3奇異函數(shù)及意義58因此，有必要更嚴謹?shù)囟x單位沖激函數(shù)?？紤]下圖的卷積（注意該知識點）1/Δ0

1tΔ1/Δ0t2Δ(a)(b)它們極限都可得到同一函數(shù)，即，上式為恒等變換，可見：1/Δ1/Δt0

2Δ(b)1/ΔΔ*=δΔ(t)δΔ(t)rΔ(t)0 2Δ

t(b)Δ0

2Δ

t0t（1）

δ(t)Δ

0§2.3奇異函數(shù)及意義59x(t)

x(t)

(t)x(t)y(t)=

x(t)y(t)

x(t)

h(t)

x(t)

(t)

x(t)另一方面，若一h(t)=δ(t)的LTI系統(tǒng):●單位沖激函數(shù)的含義：

(是x)恒等系統(tǒng)的單位沖激響應——h(t)=δ(t)。有§2.3奇異函數(shù)及意義可見：單位沖激函數(shù)的定義：滿足式的函數(shù)就是

(x)。602）

(k

)(的t)卷積積分定義考慮右邊微分系統(tǒng)y(t)=

x’(t)x(t)δ(t)δ`(t)=h(t)y(t)

x(t)

h(t)

x'(t)y(t)

(t)

h(t)

'(t)h(t)

'(t)x'(t)

x(t)

h(t)

(1)

(t的)

定義：對于任意

x(t)滿足式 的函數(shù)h(t)就是

'(x)x(t)

(t)§2.3奇異函數(shù)及意義或取有h(t)

(1)(t)的含義：是微分系統(tǒng)的單位沖激響應(h(t)

)。'(t)推廣：

(k

)(t)的定義：對于任意x(t)滿足式61x(k

)(t)

x(的t)

hh(t()t)就是

(k

)

(t)

(k的)

(含t)

義：

是

k(k個)

(t微)

分系統(tǒng)的級聯(lián)的單位沖激響應：δ(t)δ(1)(t)δ(2)(t)δ(k)(t)另一方面k個微分系統(tǒng)的級聯(lián)x(t)y(t)=x(k)(t)δ(t)h(t)=δ(k)(t)

k

(k

)

(t)

(1)

(t)

(1)

(t)

(1)

(t)§2.3奇異函數(shù)及意義62③④⑤

t

'(t)dt

(t)

t

f

(t)

'(t)dt

f

'(0)x(t)

'(t)

x(0)

'(t)

x'(0)

(t)

tot

to)dt

x'(

)x(t)

'(t

t

'(t)dt

0

(k

)

(t)

(1)

(t)

(1)

(t)

(1)

(t)

k

(1)

(

t)

(1)

(t)⑥⑦

(t)的性質：①②§2.3奇異函數(shù)及意義63643）單位階躍函數(shù)u(t)

ty(t)

x(t)dtx(t)δ(t)

th(t)

(t)dt

若x(t)dt考察如下積分系統(tǒng)y(t)

x(t)

h(t)tx(t)

(t)，則即或y(t)

x(t)

h(t)h(t)

u(t)y(t)

x(t)

h(t)

t

x(t)

u(t)

x(t)dt§2.3奇異函數(shù)及意義

th(t)

(t)dt

u(t)6501tr(t)4）單位斜坡函數(shù)

t

0r(t)

0,

t

0tu(

)dt

t

,x(t)

y(t)

tx(t)d