二次函數(shù)的實際應用“黃岡賽”一等獎

第三章函數(shù)及其圖象第15講二次函數(shù)的實際應用1.如圖，一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃筐內(nèi).已知籃圈中心距離地面高度為3.05m.下列說法正確的是(

)A.此拋物線的解析式是B.籃圈中心的坐標是(4，3.05)C.此拋物線的頂點坐標是(3.5，0)D.籃球出手時離地面的高度是2mA2.(2020·綿陽)三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為()A.

米B.米C.米D.7米B3.飛機著陸后滑行的距離s(單位：m)與滑行的時間t(單位：s)的函數(shù)解析式是s＝80t－2t2，飛機著陸后滑行的最遠距離是_______m.4.(2020·連云港)加工爆米花時，爆開且不糊的顆粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率y與加工時間x(單位：min)滿足函數(shù)解析式y(tǒng)＝－0.2x2＋1.5x－2，則最佳加工時間為__________min.8003.755.(2020·南京)小明和小麗先后從A地出發(fā)沿同一直道去B地.設小麗出發(fā)第x

min時，小麗、小明離B地的距離分別為y1

m，y2

m.y1與x之間的函數(shù)解析式是y1＝－180x＋2250，y2與x之間的函數(shù)解析式是y2＝－10x2－100x＋2000.(1)小麗出發(fā)時，小明離A地的距離為_________m；(2)小麗出發(fā)至小明到達B地這段時間內(nèi)，兩人何時相距最近？最近距離是多少？250解：(2)設小麗出發(fā)第x

min時，兩人相距sm，則s＝(－180x＋2250)－(－10x2－100x＋2000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，∴當x＝4時，s取得最小值，此時s＝90.答：小麗出發(fā)第4min時，兩人相距最近，最近距離是90m．6.(2020·濱州)某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克.(1)當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？解：500－10×(55－50)＝450(千克)．答：當售價為55元/千克時，每月銷售水果450千克．(2)當月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元？解：設每千克水果售價為x元．由題意，得(x－40)[500－10(x－50)]＝8750，解得x1＝65，x2＝75.答：每千克水果售價為65元或75元．(3)當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？解：設每千克水果售價為m元，獲得的月利潤為y元．由題意，得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9000，∴當m＝70時，y有最大值，最大值為9000.答：當每千克水果售價為70元時，獲得的月利潤最大．7.為響應“創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成.設在矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝x

m，面積為y

m2(如圖).(1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；解：y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x(9≤x＜18)．(2)若矩形空地的面積為160m2，求x的值；解：由題意，得－2x2＋36x＝160，解得x＝10或x＝8.當x＝8時，36－16＝20＞18，不符合題意，∴x的值為10.(3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵(每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表).問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由.甲乙丙單價/元141628合理用地/(m2·棵－1)0.410.4解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴x＝9時，y有最大值162.設購買了乙種綠色植物a棵，購買了丙種綠色植物b棵．由題意，得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500，∴b的最大值為214，此時a＝2，需要種植的面積為0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)．∵161.2＜162，∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上．

8.(2019咸寧)某工廠用50天時間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件80元的價格全部訂購，在生產(chǎn)過程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第x天的生產(chǎn)成本y(元/件)與x(天)之間的關(guān)系如圖所示，第x天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量z(件)與x(天)滿足關(guān)系式z＝－2x＋120.(1)第40天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤是_______元；1600(2)設第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤為w元.①求w與x之間的函數(shù)解析式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少；解：設直線AB的解析式為y＝kx＋b.把(0，70)，(30，40)代入，得解得∴直線AB的解析式為y＝－x＋70.當0＜x≤30時，w＝[80－(－x＋70)](－2x＋120)＝－2x2＋100x＋1200＝－2(x－25)2＋2450，∴當x＝25時，w有最大值，最大值為2450.當30＜x≤50時，w＝(80－40)×(－2x＋120)＝－80x＋4800，∴當x＝31時，w有最大值，最大值為2320.綜上所述，w＝第25天的利潤最大，最大利潤為2450元．②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中，當天利潤不低于2400元的共有多少天？解：當0＜x≤30時，令－2(x－25)2＋2450＝2400，解得x1＝20，x2＝30.∵拋物線w＝－2(x－25)2＋2450開口向下，對稱軸為直線x＝25，∴當20≤x≤30時，w≥2400，此時，當天利潤不低于2400元的天數(shù)為30－20＋1＝11(天)．當30＜x≤50時，由①可知當天利潤均低于2400元．綜上所述，當天利潤不低于2400元的共有11天．9.(2020·鄂州)一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y(件)與售價x(元/件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x/(元·件－1)456y/件1000095009000(1)求y與x的函數(shù)解析式；(不求自變量的取值范圍)解：設y與x的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)．把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入，得解得∴y＝－500x＋12000.(2)在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元；解：根據(jù)題意，得解得3≤x≤12.設利潤為w元，根據(jù)題意，得w＝(x－3)y＝(x－3)(－500x＋12000)＝－500x2＋13500x－36000＝－500(x－13.5)2＋55125.∵－500＜0，∴當x＜13.5時，w隨x的增大而增大．∵3≤x≤12，∴當x＝12時，w取最大值，最大值為－500×(12－13.5)2＋55125＝54000.答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元．(3)抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元(1≤m≤6)，捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大.請直接寫出m的取值范圍.解：根據(jù)題意，得w＝(x－3－m)(－500x＋12000)＝－500x2＋(13500＋500m)x－36000－12000m，∴對稱軸為∵－500＜0，∴當x≤13.5＋0.5m時，w隨x的增大而增大．∵捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，∴15≤13.5＋0.5m，解得m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6.10.(2020·青島)某公司生產(chǎn)A型活動板房，成本是每個425元.圖1表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD＝4m，寬AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m.(1)按如圖1所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示.求該拋物線的函數(shù)解析式；解：∵AD＝4m，AB＝3m，拋物線的最高點E到BC的距離為4m．∴OH＝AB＝3m，∴EO＝EH－OH＝4－3＝1(m)，∴點E，D的坐標分別為E(0，1)，D(2，0)，∴該拋物線的函數(shù)解析式為y＝kx2＋1，把D(2，0)代入，得∴該拋物線的函數(shù)解析式為(2)現(xiàn)將A型活動板房改造為B型活動板房.如圖2，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F(xiàn)在拋物線上，窗戶的成本為50元/m2.已知GM＝2m，求每個B型活動板房的成本是多少；(每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本＋一扇窗戶FGMN的成本)解：∵GM＝2m，∴OM＝OG＝1m，∴當x＝1時，y＝4(3)，∴點N的坐標為，∴MN＝4(3)，∴S矩形MNFG＝MN·GM＝(m2)，∴每個B型活動板房的成本是答：每個B型活動板房的成本是500元．(3)根據(jù)市場調(diào)查，以單價650元銷售(2)中的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個.公司每月最多能生產(chǎn)160個B型活動板房.不考慮其他因素，公司將銷售單價