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9.2.4總體離散程度的估計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容:極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念和統(tǒng)計(jì)含義,總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì).內(nèi)容解析:本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》(人教A版)第九章第2節(jié)第4課時(shí)的內(nèi)容.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,為了了解一組數(shù)據(jù)的特征,我們可以從這組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律、集中趨勢和離散程度等進(jìn)行研究.一組數(shù)據(jù)的離散程度可以反映這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況或穩(wěn)定性.刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量有很多,最常用的是極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.極差是一種較為簡單的刻畫方式,它反映了一組數(shù)據(jù)的取值范圍.極差只用了這組數(shù)據(jù)中最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的信息,對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及,所以極差包含的信息量極少.方差運(yùn)用平均距離的思想來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度,它反映了各個(gè)數(shù)據(jù)聚集于平均數(shù)周圍的程度.方差越小,表明該組數(shù)據(jù)在平均數(shù)的周圍越集中;方差越大,表明該組數(shù)據(jù)越分散.方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.對(duì)方差開平方,取其算術(shù)平方根得到標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的單位與數(shù)據(jù)的單位相同,其含義與方差相同.假設(shè)有兩組數(shù)據(jù),而且已知每組數(shù)據(jù)的觀測個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差),可以通過它們直接計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方差,這大大提高了計(jì)算效率.如果一組數(shù)據(jù)是總體中全部個(gè)體的觀測值,那么這組數(shù)據(jù)的方差,標(biāo)準(zhǔn)差和極差就稱為總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差,如果這組數(shù)據(jù)是樣本觀測值,那么這組教據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差就是樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差.與用樣本均值估計(jì)總體均值的思想類似,可以用樣本方差,標(biāo)準(zhǔn)差和極差估計(jì)總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo):(1)通過實(shí)例、理解極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.(2)掌握用樣本的離散程度參數(shù)估計(jì)總體的離散程度的方法,體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想,發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).目標(biāo)解析:(1)知道極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差可以刻畫數(shù)據(jù)離散程度,反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性;能用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和評(píng)價(jià);能用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的取值范圍;知道多數(shù)數(shù)據(jù)在平均數(shù)減去兩倍標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)加兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi).(2)對(duì)于通過試驗(yàn)、簡單隨機(jī)抽樣等途徑獲得的樣本數(shù)據(jù),會(huì)計(jì)算樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差;對(duì)于兩組數(shù)據(jù)匯總得到的數(shù)據(jù),能通過兩組數(shù)據(jù)各自的樣本量、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差).能用樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差,在此過程中體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想.基于上述分析,本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為:方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義與計(jì)算;已知兩組數(shù)據(jù)的觀測個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或方差時(shí),兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法與思想.三、教學(xué)問題診斷分析1.教學(xué)問題一:在大數(shù)據(jù)時(shí)代,數(shù)據(jù)眾多,有時(shí)需將不同來源的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合.針對(duì)數(shù)據(jù)多、計(jì)算量大的實(shí)際問題,可以采用分步計(jì)算的方法,先分別處理不同來源的數(shù)據(jù),再計(jì)算所有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.在分層隨機(jī)抽樣中,每層得到的調(diào)查數(shù)據(jù)作為一個(gè)組,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了已知每組數(shù)據(jù)的均值和樣本量,計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)總均值的方法——加權(quán)平均,但總方差的計(jì)算需要知道每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.在推導(dǎo)總方差的計(jì)算公式時(shí),需要用符號(hào)對(duì)樣本進(jìn)行表示,通過代數(shù)變形進(jìn)行推導(dǎo),推導(dǎo)過程較復(fù)雜.學(xué)生在初中僅會(huì)計(jì)算簡單數(shù)據(jù)的方差,對(duì)這類問題未曾接觸,同時(shí)學(xué)生對(duì)大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)存在認(rèn)知障礙.解決方案:在教學(xué)過程中,教師應(yīng)盡量多用語言(符號(hào)代表的統(tǒng)計(jì)意義)對(duì)公式的含義進(jìn)行解釋,幫助學(xué)生逐步適應(yīng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào).基于上述情況,本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為:已知每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差,獲得各組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方差的計(jì)算公式,及計(jì)算中的遞推思想.四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示.為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的公式,應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái).因此,在教學(xué)過程中使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算方差.既可以解決復(fù)雜計(jì)算問題,也可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來.在教學(xué)設(shè)計(jì)中,采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué).問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間,讓學(xué)生圍繞問題主線,通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn),突破教學(xué)難點(diǎn).在教學(xué)過程中,重視極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的推導(dǎo)與證明,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)推導(dǎo)的基本過程,同時(shí),公式的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范.因此,本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試.五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境,引入新課[問題1]有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?[問題2]甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?[問題3]難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?教師1:提出問題1.學(xué)生1:學(xué)生思考.教師2:提出問題2.學(xué)生2:經(jīng)計(jì)算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他們的平均成績一樣教師3:提出問題3.學(xué)生3:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對(duì)集中.通過具體問題,讓學(xué)生感受反映樣本數(shù)字離散程度的估計(jì)量;極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題中的運(yùn)用,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。探索交流,解決問題[問題4]標(biāo)準(zhǔn)差和方差各指什么?[問題5]標(biāo)準(zhǔn)差和方差的特征各是什么?[問題6]分層隨機(jī)抽樣的方差是什么?[問題7]如何理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念?教師4:提出問題4.學(xué)生4:1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為=,標(biāo)準(zhǔn)差為.2.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為eq\x\to(Y),則稱S2=eq\f(1,N)eq\i\su(i=1,N,)(Yi-eq\x\to(Y))2為總體方差,S=eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差.如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=eq\f(1,N)eq\i\su(i=1,k,f)i(Yi-eq\x\to(Y))2.3.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為eq\x\to(y),則稱s2=eq\f(1,n)eq\i\su(i=1,n,)(yi-eq\x\to(y))2為樣本方差,s=eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.教師5:提出問題5.學(xué)生5:差、標(biāo)準(zhǔn)差特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越?。诳坍嫈?shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.教師6:提出問題6.學(xué)生6:設(shè)樣本容量為n,平均數(shù)為eq\x\to(x),其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1,n2,兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(-))1,eq\o(x,\s\up6(-))2,方差分別為seq\o\al(2,1),seq\o\al(2,2),則這個(gè)樣本的方差為s2=eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)+(eq\o(x,\s\up6(-))1-eq\o(x,\s\up6(-)))2]+eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)+(eq\o(x,\s\up6(-))2-eq\o(x,\s\up6(-)))2].教師7:提出問題7.學(xué)生7:(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.通過思考,引入方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差的概念,提高學(xué)生分析問題、概括能力。典例分析,舉一反三1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算例1.甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.2.分層隨機(jī)抽樣的方差例2.甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為:甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是多少?3.數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽,對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽,他們的成績(單位:m)如下:甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67;乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.經(jīng)預(yù)測,跳高1.65m就很可能獲得冠軍.該校為了獲取冠軍,可能選哪位選手參賽?若預(yù)測跳高1.70m方可獲得冠軍呢?[課堂練習(xí)1]為了參加某數(shù)學(xué)競賽,某高級(jí)中學(xué)對(duì)高二年級(jí)理科、文科兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了賽前模擬測試,成績(單位:分)記錄如下.理科:79,81,81,79,94,92,85,89文科:94,80,90,81,73,84,90,80計(jì)算理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差,并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析,哪組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好?[課堂練習(xí)2]在一個(gè)文藝比賽中,8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組,給參賽選手打分.在給某選手的打分中,專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7,觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.教師8:完成例題1.學(xué)生8:(1)eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\f(1,6)(99+100+98+100+100+103)=100,eq\o(x,\s\up6(-))乙=eq\f(1,6)(99+100+102+99+100+100)=100.seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,6)[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=eq\f(7,3),seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,6)[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同,又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙),所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.教師9:完成例題2.學(xué)生9:由題意可知eq\o(x,\s\up6(-))甲=60,甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為eq\f(1,1+4)=eq\f(1,5),eq\o(x,\s\up6(-))乙=70,乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為eq\f(4,1+4)=eq\f(4,5),則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,5)×60+eq\f(4,5)×70=68(kg),甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為s2=eq\f(1,5)[200+(60-68)2]+eq\f(4,5)[300+(70-68)2]=296.教師10:完成例題3.學(xué)生10:甲的平均成績和方差如下:eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\f(1,8)(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,8)[(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.0006.乙的平均成績和方差如下:eq\o(x,\s\up6(-))乙=eq\f(1,8)(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68,seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,8)[(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.00315.顯然,甲的平均成績高于乙的平均成績,而且甲的方差小于乙的方差,說明甲的成績比乙穩(wěn)定.由于甲的平均成績高于乙,且成績穩(wěn)定,所以若跳高1.65m就很可能獲得冠軍,應(yīng)派甲參賽.在這8次選拔賽中乙有5次成績?cè)?.70m以上,雖然乙的平均成績不如甲,成績的穩(wěn)定性也不如甲,但成績突破1.70m的可能性大于甲,所以若跳高1.70m方可獲得冠軍,應(yīng)派乙參賽.教師11:布置課堂練習(xí)1、2.學(xué)生11:完成課堂練習(xí),并核對(duì)答案.通過實(shí)例分析,讓學(xué)生掌握反映樣本數(shù)字離散程度的估計(jì)量;極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法,并熟悉的應(yīng)用,提升推理論證能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。[課堂練習(xí)1]鞏固方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式.[
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