函數(shù)的周期性

09函數(shù)的周期性知識(shí)梳理1.周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)，能使得當(dāng)取定義域內(nèi)的一切值時(shí)，都有，則函數(shù)叫做以為周期的周期函數(shù)。2.與周期相關(guān)的結(jié)論(1)周期函數(shù)具有無(wú)數(shù)多個(gè)周期，如果它的周期存在著最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期，如常量函數(shù)；(2)周期函數(shù)的定義域是無(wú)界的；(3)若為的周期，則也是的周期(4)若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；(5)若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；（4）（5）以及周期性定義可概括為：“和或差為0型”即型(6)若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；(7)若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；（6）（7）可概括為：“乘積為型”即型(8)若函數(shù)是偶函數(shù)，且關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；(9)若函數(shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；(10)若函數(shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期；推論：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)、對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期。（8）（9）（10）可概括為：“滿足兩個(gè)對(duì)稱型”即“兩條對(duì)稱軸或兩個(gè)對(duì)稱中心或一個(gè)對(duì)稱中心，一條對(duì)稱軸”型（11）分式遞推型：即函數(shù)滿足由得，進(jìn)而得，由前面的結(jié)論得的周期是經(jīng)典習(xí)題（提示：本知識(shí)點(diǎn)?？夹☆}，因此練習(xí)為主）一.選擇題1.設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.52.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程=0在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（） A．5 B．4 C．3 D．23.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（）A.B.C.D.__________20.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則21.若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，的一個(gè)正周期為22.設(shè)，記，則23．已知函數(shù)滿足，則三.解答題24.設(shè)函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有成立（1）證明：是周期函數(shù)，并指出周期；（2）若，求的值25.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，又，求的值.26.已知函數(shù)是定義為上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱（1）求證：是周期為4的周期函數(shù)；（2）若，求時(shí)，函數(shù)的解析式。27.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足（1）求證：是周期函數(shù)；（2）若為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求使在上的所有的個(gè)數(shù)。28.設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上，只有．(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；(2)試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.29.定義在上的奇函數(shù)有最小正周期4，且時(shí)，。求在上的解析式參考答案（一）選擇題1～5BBBCB6～10CABDD11～15ADDDC16～17CC4、特取13、特取16、由是定義在上的正值函數(shù)及得，，，所以，即的一個(gè)周期是6（二）填空題18、119、20、021、22、，可見(jiàn)，23、令得同理兩式相加得，由此可得（三）解答題24、解：（1）；（2）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù)，且，所以在中，令得25、解：由在中，令得在中，令得所以，而，所以又，所以，26、解：（1）（2）時(shí)，時(shí)，，從而又當(dāng)時(shí)，，從而（）又因?yàn)橐矟M足上式，（）27、解：（1）（2）時(shí)，時(shí)，，從而故又當(dāng)時(shí)，從而由圖象可知在上使的所有的個(gè)數(shù)為502。28、解:（1）由,從而知函數(shù)的周期為又而，故函數(shù)是非奇非偶函