專題1數(shù)學(xué)歸納法及其變種微點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的變種

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題1數(shù)學(xué)歸納法及其變種微點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的變種專題1

數(shù)學(xué)歸納法及其變種微點(diǎn)2

數(shù)學(xué)歸納法的變種【微點(diǎn)綜述】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除問題、歸納猜想證明等．一、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)n的命題（例如數(shù)列、不等式、整除問題等），可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．二、數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示：三、數(shù)學(xué)歸納的變種（一）第一數(shù)學(xué)歸納法1．第一數(shù)學(xué)歸納法及其證明步驟：假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，再結(jié)合其他條件證明當(dāng)時(shí)命題也成立即可．證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證當(dāng)（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立；（2）歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立．綜合（1）（2）得對(duì)一切自然數(shù)，，命題都成立．2．第一數(shù)學(xué)歸納法要注意的地方（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從第一項(xiàng)開始成立，可能是從某個(gè)確定的正整數(shù)項(xiàng)開始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從開始；（2）歸納假設(shè)中，要注意，保證遞推的連續(xù)性；（3）歸納假設(shè)中的時(shí)命題成立，是證明時(shí)命題成立的重要條件．在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系．（二）第二數(shù)學(xué)歸納法1．第二數(shù)學(xué)歸納法及其證明步驟：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)命題成立時(shí)，可用的條件只有，而不能默認(rèn)其他時(shí)的值成立．第二數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)第一數(shù)學(xué)歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題均成立，然后證明當(dāng)時(shí)，命題也成立．可使用的條件要比第一數(shù)學(xué)歸納法多，證明的步驟如下：對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證當(dāng)（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立；（2）歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立．綜合（1）（2）得對(duì)一切自然數(shù)，，命題都成立．2．第二數(shù)學(xué)歸納法要注意的地方對(duì)于歸納猜想證明類問題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，確認(rèn)n的初始值不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè)．（三）反向數(shù)學(xué)歸納法（倒推歸納法）對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，（1）驗(yàn)證對(duì)無窮多個(gè)自然數(shù)命題成立；（2）假設(shè)成立，并在此基礎(chǔ)上，推出成立．綜合（1）（2）得對(duì)一切自然數(shù)，，命題都成立．（四）跳躍數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是關(guān)于正整數(shù)的命題，若（1）成立；（2）假設(shè)成立，可以推出成立，則對(duì)一切正整數(shù)都成立．（五）螺旋數(shù)學(xué)歸納法螺旋歸納法實(shí)質(zhì)上是一種交叉過渡的歸納方法．其原理如下：設(shè)是兩串與正整數(shù)有關(guān)的命題，若（1）成立；（2）由成立，可得成立，由成立，可得也成立，則對(duì)所有正整數(shù)，命題都成立．以上每種形式的數(shù)學(xué)歸納法都由兩步組成：“奠基”和“歸納”，兩步缺一不可．在“歸納”的過程中必須用到“歸納假設(shè)”這一不可缺少的前提．四、數(shù)學(xué)歸納法證明技巧1．“起點(diǎn)前移”或“起點(diǎn)后移”：有些關(guān)于自然數(shù)n的命題P（n），驗(yàn)證P（1）比較困難，或者P（1），P（2），…，P（p－1）不能統(tǒng)一到“歸納”的過程中去，這時(shí)可考慮到將起點(diǎn)前移至P（0）（如果有意義），或?qū)⑵瘘c(diǎn)后移至P（r）（這時(shí)P（1），P（2），…，P（r－1）應(yīng)另行證明）．2．加大“跨度”：對(duì)于定義在M={n0，n0+r，n0+2r，…，n0+mr，…}（n0，r，m∈N*）上的命題P（n），在采用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)考慮加大“跨度”的方法，即第一步驗(yàn)證P（n0），第二步假設(shè)P（k）（k∈M）成立，推出P（k+r）成立．3．加強(qiáng)命題：有些不易直接用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題，通過加強(qiáng)命題后反而可能用數(shù)學(xué)歸納法證明比較方便．加強(qiáng)命題通常有兩種方法：一是將命題一般化，二是加強(qiáng)結(jié)論．一個(gè)命題的結(jié)論“加強(qiáng)”到何種程度為宜，只有抓住命題的特點(diǎn)，細(xì)心探索，大膽猜測(cè)，才可能找到適宜的解決方案．【典例刨析】1．個(gè)半圓的圓心在同一直線上，這個(gè)半圓每兩個(gè)都相交，且都在的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？（2005年全國高考江西卷）2．已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【反思】數(shù)列是高考考綱中明文規(guī)定必考內(nèi)容之一，考綱規(guī)定學(xué)生必須理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．當(dāng)然數(shù)列與不等式的給合往往得高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一，也成為諸多省份的最后壓軸大題，解決此類問題，必須有過硬的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與過人的數(shù)學(xué)技巧，同時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法也是比較好的選擇，不過在使用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，一定要遵循數(shù)學(xué)歸納法的步驟．3．試證用面值為3分和5分的郵票可支付任何分的郵資．【反思】上述證明的關(guān)鍵是如何從歸納假設(shè)過渡到P（k+1），這里采用了分類討論的方法．本例也可以運(yùn)用跳躍數(shù)學(xué)歸納法來證明．另證1°當(dāng)n=8，9，10時(shí)，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5知命題成立．2°假設(shè)當(dāng)n=k（k＞7，k∈N）時(shí)命題成立．則當(dāng)n=k+3時(shí)，由1．及歸納假設(shè)顯然成立．證畢．【反思】上述證明實(shí)際上采用了加大“跨度”的技巧，其“跨度”為3．（04年復(fù)旦大學(xué)優(yōu)秀生選拔考試）4．求證：1+++…+<3（nN*）【反思】要證A>B，先證A>C，再證C>B．這種證明不等式的方法稱為放縮法．本題用了放縮法．對(duì)通項(xiàng)裂項(xiàng)目的是相鄰項(xiàng)能相消后，放大為合適的常數(shù)是關(guān)鍵．5．證明：存在正整數(shù)的無窮數(shù)列：，使得對(duì)所有自然數(shù)n，都是完全平方數(shù)．【反思】本例采用了加強(qiáng)命題的技巧．加強(qiáng)命題，能得到一個(gè)較強(qiáng)的歸納假設(shè)，有時(shí)候便于完成從P（k）到P（k+1）的過渡．（第10屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題）6．若x是正實(shí)數(shù)，證明①其中[t]表示不超過t的最大整數(shù)．（1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第二試）7．已知：，滿足，求證：【反思】本命題可推廣為：設(shè)a1，a2，…，an；x1，x2，…，xn都是實(shí)數(shù)，且記則（1992年中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題）8．設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，記，試證：（令），且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．【針對(duì)訓(xùn)練】9．求證對(duì)任何正整數(shù)n，方程都有整數(shù)解．10．已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足(1)求a3；(2)證明(3)求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn．11．?dāng)?shù)列滿足且(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:;(2)已知不等式對(duì)成立,證明:,其中無理數(shù)….12．已知不等式，其中為大于的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足，，，…．(1)證明：，，…；(2)猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；(3)試確定一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有．13．將質(zhì)數(shù)由小到大編上序號(hào)，2算作第一個(gè)質(zhì)數(shù)，3算作第二個(gè)質(zhì)數(shù)，依次類推．求證：第n個(gè)質(zhì)數(shù)Pn＜．【反思】這里采用的是第二數(shù)學(xué)歸納法，Pk+1＜成立以P1＜，P2＜，…，都成立為前提．14．將凸2n+1（n≥2）邊形的頂點(diǎn)染色，使得任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)染不同的顏色．證明；對(duì)上述的任意一種染色方法，此2n+1邊形都可用不相交的對(duì)角線分為若干個(gè)三角形，使得三角形中每條對(duì)角線的端點(diǎn)不同色．【反思】由于直接驗(yàn)證n=2時(shí)的情形比較困難，我們采用了“起點(diǎn)前移”的技巧．（2002年全國高考題）15．設(shè)數(shù)列滿足(1)當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有，有①②（2005年全國高考遼寧卷）16．已知函數(shù)．設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明；(2)證明：．（2004年全國高考重慶卷）17．設(shè)數(shù)列滿足．(1)證明：對(duì)一切正整數(shù)n成立；(2)令，判斷與的大小并說明理由．18．把自然數(shù)1，2，3，…，2006依照某種順序排成一列，若列中的第一個(gè)數(shù)為k，則將此列左側(cè)的前k個(gè)數(shù)反序而重排，證明：可經(jīng)過上述的若干次操作后把1調(diào)到列的第一位．【反思】本例采用了將命題一般化的技巧．19．自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考查其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響．用表示某魚群在第n年年初的總量，，且．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．(1)求與的關(guān)系式；(2)猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）；(3)設(shè)，為保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．20．求證：對(duì)任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除（2004年福建省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）21．無窮數(shù)列中，對(duì)每個(gè)奇數(shù)成等比數(shù)列，二隊(duì)每個(gè)偶數(shù)成等差數(shù)列．已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)數(shù)滿足怎樣的充要條件時(shí)，存在這樣的無窮數(shù)列？（2）求的調(diào)和平均值，即的值．22．設(shè)是一個(gè)正數(shù)數(shù)列，對(duì)一切，都有證明：對(duì)一切，都有23．若，且.求證：對(duì)于任意恒成立.24．某次體育比賽，每兩名選手都進(jìn)行一場比賽，每一場比賽一定決出勝負(fù)，通過比賽確定優(yōu)秀選手，選手A被確定為優(yōu)秀選手的條件是對(duì)任何其他選B，或者A勝B，或者存在選手C，C勝B，A勝C，如果按上述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只有一名，求證：這名選手勝所有其他選手．（1985年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）25．設(shè)，對(duì)于,,，…，定義，求證：對(duì)于，有．（1994年愛爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題）26．f（n）定義在正整數(shù)集合上，且滿足f（1）=2，f（n+1）=（f（n））2－f（n）+1，n=1，2，3，…．求證；對(duì)所有整數(shù)n>1，1－＜答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．最多分成段圓弧【分析】先設(shè)這些半圓最多互相分成段圓弧，求出，然后歸納猜想出，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】設(shè)這些半圓最多互相分成段圓弧，由圖則.猜想：.證明：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；（2）假設(shè)時(shí)，猜想正確，即，則當(dāng)時(shí)，我們作出第圓，它與前個(gè)半圓均相交，最多新增個(gè)交點(diǎn).第個(gè)半圓自身被分成了段弧，同時(shí)前個(gè)半圓又各多分出1段弧，故有，即時(shí)，結(jié)論也正確.綜合（1）（2）知對(duì)一切正整數(shù).故這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成段圓弧.【點(diǎn)睛】本題考查了由特殊到一般的思想方法，先歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，考查了學(xué)生分析觀察能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.2．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，在證明成立時(shí)，引入函數(shù)，由題意點(diǎn)在圖像上，利用其在單調(diào)遞增進(jìn)行證明；（2）對(duì)題目所給遞推公式恒等變形，引入數(shù)列，進(jìn)而得到遞推公式，通過迭代即可求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，由，，所以，結(jié)論成立，②假設(shè)時(shí)，有成立，令，在是單調(diào)遞增，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，由假設(shè)可得，又因?yàn)?，所以成立，即時(shí)，成立，由上面①②可知，對(duì)一切，不等式成立；（2）因?yàn)?，所以，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是數(shù)列的綜合問題，屬于難題，解決問題的基本思路是：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用函數(shù)方法處理數(shù)列問題；(2)函數(shù)方法處理數(shù)列問題時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)恒等變形是由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式常用的方法，通過恒等變形轉(zhuǎn)化為更為簡潔熟悉的問題來處理解決；(4)對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)列不等式,可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.3．證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】1°當(dāng)n=8時(shí)，結(jié)論顯然成立．2°假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立．若這k分郵資全用3分票支付，則至少有3張，將3張3分票換成2張5分票就可支付k+1分郵資；若這k分郵資中至少有一張5分票，只要將一張5分票換成2張3分票就仍可支付k+1分郵資．故當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．綜上，對(duì)的任何自然數(shù)命題都成立．4．證明見解析【分析】證法1：先驗(yàn)證n=1，2，3，4原命題成立，再證n=k（k5）時(shí)，1+++…+<3－成立，再用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)n=k+1時(shí)，1+++…++<3－成立；證法2：由n3>（n－1）n（n+1）取倒數(shù)變形得出<（－）=（－），又[]2==+1－）=（1+）<1，可得<（－）即可證明.【詳解】證明：證法1：易驗(yàn)證n=1，2，3，4原命題成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明，即證1+++…+<3－成立，原命題顯然成立．當(dāng)n=5時(shí)，左邊<1.761，右邊>1.775，即n=5時(shí)成立，設(shè)n=k（k5）時(shí)成立，即1+++…+<3－，則n=k+1時(shí)，左邊=1+++…++<3－+=3－又3－－（3－）=－==[]>0，當(dāng)n=k+1時(shí)，1+++…++<3－成立．即原命題成立．證法2：因?yàn)閚N*，所以n3>（n－1）n（n+1），所以<（－），又因?yàn)椋?lt;（－）=（－）．又[]2==+1－）=（1+）<1，1+++…+<1+（1－）+（－）+（－）+…+（－）=1+1+－－<1+1+3．【點(diǎn)睛】本題考查了放縮法、數(shù)學(xué)歸納法以及裂項(xiàng)相消法等知識(shí)點(diǎn).要證A>B，先證A>C，再證C>B．這種證明不等式的方法稱為放縮法；對(duì)通項(xiàng)裂項(xiàng)目的是相鄰項(xiàng)能相消，放大為合適的常數(shù)是關(guān)鍵.5．證明見解析【分析】設(shè)想用數(shù)學(xué)歸納法來證明之，其關(guān)鍵就是由，假定，，則，若結(jié)論成立，則存在z，使，由有關(guān)勾股數(shù)的知識(shí)，不難想到應(yīng)將為“完全平方數(shù)”加強(qiáng)為“奇數(shù)的平方”．【詳解】我們加強(qiáng)結(jié)論，證明存在正整數(shù)的無窮數(shù)列：，使得對(duì)所有自然數(shù)n，是奇數(shù)的平方數(shù)．當(dāng)n=1時(shí)，取即可．設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即存在k個(gè)正數(shù)，使為奇數(shù)2m+1的平方，即，取，則也是奇數(shù)的平方．又因?yàn)?，，所以，即．于是n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．從而對(duì)一切自然數(shù)n，結(jié)論成立．6．證明見解析【分析】因?yàn)樗C不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的證明問題，所以用數(shù)學(xué)歸納法即可.【詳解】(1)當(dāng)n=1，2時(shí)，①式顯然成立．(2)假設(shè)①式對(duì)n≤k－1均成立.

記，i=1，2，…，k．則有

②

③……

?將②到?式相加，得由此，由歸納假設(shè)，但是，，所以，即，此即所要證的①式．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，由（1）、（2）知，對(duì)任意正整數(shù)n，都有．7．見解析【詳解】設(shè)中非負(fù)數(shù)記為,負(fù)數(shù)記為,則所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)綜上得證.8．證明見解析【分析】當(dāng)時(shí)，顯然成立；根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法設(shè)設(shè)命題在n－1時(shí)成立，再考慮n的情形即可證明.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式寫為，它當(dāng)然成立，且為等式．設(shè)命題在時(shí)成立，考慮n的情形，由于不等式關(guān)于是循環(huán)對(duì)稱的，不妨設(shè)，于是．由歸納假設(shè)，因此，只需證明上式左邊為，這就證明了不等式成立．又等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即,當(dāng)，自然有，當(dāng)，由②知，，于是與①矛盾.證畢.9．證明見解析【分析】先證n=1，2時(shí)方程均有整數(shù)解，再用數(shù)學(xué)歸納法證明n=k+2時(shí)，也有整數(shù)解，由此即可證明對(duì)任何正整數(shù)n，方程都有整數(shù)解.【詳解】依題意，1°：當(dāng)n=1時(shí)，任取正整數(shù)x，y，方程均有正整數(shù)解．當(dāng)n=2時(shí)，x=3，y=4，z=5是方程的一個(gè)正整數(shù)解．2°：設(shè)當(dāng)n=k方程的一個(gè)正整數(shù)解為．則，則有，即n=k+2時(shí)，也有正整數(shù)解．10．(1)2；(2)證明見解析；(3)；.【分析】(1)代入，可得，求得；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；(3)隔項(xiàng)差為定值，采用奇偶分析法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榫鶠榉秦?fù)整數(shù)，所以的可能的值為1，2，5，10．若，則與題設(shè)矛盾；若，則與題設(shè)矛盾；若，則與題設(shè)矛盾．所以．（2）①當(dāng)時(shí)，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即由題設(shè)又所以，即，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立根據(jù)①和②，可知結(jié)論對(duì)一切n≥3正整數(shù)都成立．（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為2，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為2，所以當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以時(shí)，.綜上所述，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．11．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)先求出,判斷是否滿足,再假設(shè)時(shí)滿足題意,證明時(shí)也滿足即可;(2)由(2)的結(jié)論可得,可得,對(duì)進(jìn)行放縮,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),用累加法,然后即可用裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,求得的范圍,進(jìn)而證明不等式即可.【詳解】（1）證明:將代入可得,①當(dāng)時(shí),,滿足,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足,③當(dāng)時(shí),有成立,故得證;（2）證明:由(1)知,,兩邊取對(duì)數(shù)可得:,,,,,將上式相加可得:,,,,得證.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式,用到了數(shù)學(xué)歸納法,放縮法,累加法,裂項(xiàng)相消,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,兩邊取對(duì)數(shù),等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,綜合能力較強(qiáng).12．(1)證明見解析(2)有極限，(3)【分析】（1）依題意可得當(dāng)時(shí)，兩邊取倒數(shù)可得，即，再利用累加法得到，結(jié)合已知不等式可得，再由代入即可得證；（2）結(jié)合（1）求出；（3）由（1）對(duì)進(jìn)行放縮得到，令，再根據(jù)取整函數(shù)及指數(shù)對(duì)數(shù)的關(guān)系得到，從而求出.【詳解】（1）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，即，所以，，，，所有不等式兩邊相加可得，又當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以?）解：有極限，且，因?yàn)?，，所以，即；?）解：因?yàn)?，令，則有，所以，故取，可使當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在對(duì)不等式變形時(shí)，利用倒數(shù)法、累加法，在確定的范圍時(shí)還用到了放縮法.13．證明見解析【分析】采用數(shù)學(xué)第二歸納法，Pk+1＜以P1＜，P2＜…Pk＜都成立為前提.【詳解】證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，P1=2＜，結(jié)論成立．2°假設(shè)n≤k時(shí)結(jié)論成立，即（i=1，2，3，…，k）將這k個(gè)不等式兩邊分別相乘，得P1·P2·P3·…·Pk＜=所以P1·P2·P3·…·Pk+1＜+1＜因?yàn)镻1，P2，P3，…，Pk都不能整除P1·P2·P3·…·Pk+1所以P1·P2·P3·…·Pk+1的質(zhì)因數(shù)q不可能是P1，P2，P3，…，Pk，只能大于或等于Pk+1，于是有Pk+1≤q≤P1·P2·P3·…·Pk+1＜，即Pk+1＜．綜上知，對(duì)任何自然數(shù)n，都有Pn＜14．證明見解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，先說明初始值成立，在假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)結(jié)論成立，然后結(jié)合圖形分類討論即可證明.【詳解】我們將起點(diǎn)前移，考慮n=1時(shí)的情形．由于n=1時(shí)是三角形，它沒有對(duì)角線，且任意兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，從而結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)結(jié)論成立．如圖，對(duì)于2k+3邊形的頂點(diǎn)A1，A2，…，A2k+3，其中必有一個(gè)頂點(diǎn)不妨設(shè)為A1，使得和它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)A2、A2k+3不同色．否則，和每一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色，但2k+3+3為奇數(shù)，這不可能．連接A2A2k+3，把2k+3邊形分成三角形A1A2A2k+3和2k+2邊形A2A3…A2k+3，對(duì)于2k+2邊形A2A3…A2k+3，有：（1）如果對(duì)于頂點(diǎn)A2，A3，…，A2k+3，中的每一個(gè)，和它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)同色，則這些頂點(diǎn)被間隔地染上了兩種顏色，且它們和A1是不同的，從而連接A1A3，A1A4，…A1A2k+3，就把2k+3邊形分成了2k+1個(gè)三角形，且其中的每條對(duì)角線的端點(diǎn)不同色．（2）頂點(diǎn)A2，A3，…，A2k+3，中存在一頂點(diǎn)不妨設(shè)為A3，和它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)A2，A4不同色，連接A2A4，對(duì)于2k+1邊形A2A4…A2k+3，利用歸納假設(shè)，它可分成若干個(gè)三角形，其中對(duì)角線端點(diǎn)不同色，再加上△A1A2A2k+3和△A2A3A4，便知對(duì)2k+3邊形A1A2…A2k+3，也是如此．綜上，結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)成立．15．(1)(2)見解析.【分析】（1）分別代入可得，，猜想；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用放縮法得，利用遞推迭代關(guān)系，得，完成證明．【詳解】（1）由，得，由，得，由，得，由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：.（2）①用數(shù)學(xué)歸納法證明：1）當(dāng)，不等式成立，2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，那么，也就是說，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)1）和2），對(duì)于所有，有.②由及①，對(duì)，有∴于是，，.16．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式當(dāng)時(shí)成立，再假設(shè)不等式當(dāng)時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)時(shí)，不等式也成立，最后得到不等式對(duì)于所有的正整數(shù)成立；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可以利用放縮法證明，放縮后可以得到一個(gè)等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)公式，即可得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，下面用?shù)學(xué)歸納法證明不等式．①當(dāng)時(shí)，，不等式成立，②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，即，那么，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立．根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任意都成立．（2）由（1）知，．所以．故對(duì)任意，．17．(1)證明見解析；(2)，理由見解析.【分析】（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可；（2）利用作商，比較與1的大小關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)有，所以成立，綜上，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切正整數(shù)n成立；（2）由，所以.18．證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】一般地對(duì)數(shù)列1，2，…，n用數(shù)學(xué)歸納法來證明．證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．設(shè)對(duì)n－1個(gè)數(shù)的列，結(jié)論成立，下面討論n個(gè)數(shù)的情形．對(duì)n個(gè)數(shù)的列，若n排在最后，則對(duì)前n－1個(gè)數(shù)的列，用歸納假設(shè)，即知此時(shí)結(jié)論成立．若最后一個(gè)數(shù)不是n，則可設(shè)n不在第一位（否則，只要經(jīng)一次操作，就可把n調(diào)到最后），而當(dāng)n不是第一個(gè)數(shù)，也不是最后一個(gè)數(shù)時(shí)，在實(shí)行題中的操作時(shí)，最后的數(shù)永遠(yuǎn)不會(huì)涉及．故不妨將此數(shù)與n對(duì)換位置．在形式上不影響操作的實(shí)行．因此，結(jié)論仍然成立．綜上所述，對(duì)任意前n個(gè)自然數(shù)的列結(jié)論成立．特別地，當(dāng)n=2006時(shí)即要證的結(jié)論．19．(1)(2)當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變．(3)最大允許值是1，證明見解析【分析】（1）第n+1年年初的總量減去第n年年初的總量等于第n年內(nèi)魚群的繁殖量減去捕撈量減去死亡量，可求與的關(guān)系式；（2）每年年初魚群的總量保持不變，則年內(nèi)魚群的繁殖量減去捕撈量減去死亡量等于0；（3）時(shí)，由已知得，由此猜測(cè)b的最大允許值是1，用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，因此，即（2）若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于，從而由（*）式得恒等于0，，所以，即，因?yàn)?，所以．猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變．（3）若b的值使得，由，知，特別地，有．即．而，所以，由此猜測(cè)b的最大允許值是1．下證當(dāng)，時(shí)，都有，①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，．又因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)結(jié)論也成立．由①、②可知，對(duì)于任意的，都有．綜上所述，為保證對(duì)任意，都有，，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．20．證明見解析【分析】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題.【詳解】證明:1°當(dāng)n=1時(shí)，，命題成立．2°假設(shè)n=k時(shí)，能被8整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，,因?yàn)槭?的倍數(shù)，而也是8的倍數(shù)，所以Ak+1也是8的倍數(shù)，即n=k+1時(shí)，命題也成立由以上1°、2°可知，對(duì)一切正整數(shù)n，能被8整除．21．見解析【詳解】1．觀察前幾項(xiàng)猜測(cè)，．對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式．當(dāng)時(shí)，顯然成立．設(shè)如上，則，．因此，公式成立．存在這樣的無窮數(shù)列的充分必要條件是：所有的．2．時(shí)，，故=．當(dāng)時(shí)，所有的，結(jié)果也是正確的．22．證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明，要證n=k+1時(shí)，需要分和兩種情況考慮【詳解】由不等式得知，知當(dāng)n=1時(shí)，所得的不等式成立．假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即有，要證n=k+1時(shí)，不等式也成立．分兩種情況考慮：在情況（1）之下，我們有，在情況（2）之下，由于顯然有，我們有，所以無論何種情況，所證不等式都對(duì)n=k+1成立．故知對(duì)一切正整數(shù)n，不等式都成立．23．證明見解析；【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意恒成立”，得到答案.【詳解】改證“對(duì)于任意恒成立”.（1）時(shí)，由于，即；（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，且，即時(shí)結(jié)論仍成立.綜合（1），（2），對(duì)于任意恒成立，故恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的推斷能力和計(jì)算能力，改證“對(duì)于任意恒成立”是解題的關(guān)鍵.24．證明見解析