電磁場(chǎng)與電磁波（第五版）PPT完整全套教學(xué)課件

第1章矢量分析與場(chǎng)論1.1節(jié)矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.2節(jié)圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.3節(jié)矢量場(chǎng)1.4節(jié)標(biāo)量場(chǎng)1.5節(jié)亥姆霍茲定理全套教學(xué)課件1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算

本節(jié)要點(diǎn)標(biāo)量與矢量矢量的代數(shù)運(yùn)算1.標(biāo)量與矢量標(biāo)量(scalar)--------

一個(gè)僅用大小就能夠完整地描述的物理量

如：電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等矢量(vector)--------

一個(gè)有大小和方向的物理量

如：電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等(1)矢量的表示矢量的一般表示

A=0,空矢(nullvector)或零矢(zerovector)

a為單位矢量(unitvector)矢量A的大小代表矢量A

的方向r(2)位置矢量(positionvector)

位置矢量能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。

任一矢量可以表示為：

從原點(diǎn)指向空間任一點(diǎn)P

的矢量，稱為位置矢量。直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)P的位置矢量P(X,Y,Z)xyzOaxXayYazZ(3)矢量的代數(shù)運(yùn)算

加法和減法矢量的乘積1.矢量的加法和減法結(jié)論:矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合平行四邊形法則。

矢量的代數(shù)運(yùn)算2.矢量的乘積(1)點(diǎn)積(dotproduct)結(jié)論如果兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直。在直角坐標(biāo)系中AB

也稱為標(biāo)量積(scalarproduct)。它等于一個(gè)矢量在另外一個(gè)矢量上投影與該矢量大小之乘積。矢量的標(biāo)量積(2)叉積(crossproduct)任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量，故也稱為矢量積。方向垂直于矢量A與B組成的平面，且A、B與C成右手螺旋關(guān)系A(chǔ)B

C大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們的夾角的正弦之乘積矢量的叉積(2)叉積（續(xù)）

在直角坐標(biāo)系中，叉積還可以表示為

結(jié)論

在直角坐標(biāo)系中

如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行。結(jié)論矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合平行四邊形法則。任意兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量如果兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互垂直。如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行。1.2

圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系本節(jié)要點(diǎn)a

aza

1.1圓柱坐標(biāo)系x=

cos

y=

sin

z=zr=a

+azzxyz=常數(shù)z=常數(shù)P點(diǎn)=常數(shù)xyz

z圓柱坐標(biāo)系1.2圓柱與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系(1)單位矢量之間的轉(zhuǎn)換a

=axcos

+aysin

a

=axsin

+aycos

az=aza

a

xy

(2)圓柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)圓柱坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P沿

、

和z方向的長(zhǎng)度增量它們與各自坐標(biāo)增量之比分別為

拉梅系數(shù)(lameconstant)

(3)圓柱坐標(biāo)系的積分xyz=常數(shù)z=常數(shù)=常數(shù)dS

=a

d

dzdS

=a

d

dzdV=

d

d

dzxyz

xy

dSz=az

d

d

積分用拉梅系數(shù)表達(dá)是否更容易記憶?2.1球坐標(biāo)系xyzr

a

a

ar=常數(shù)

=常數(shù)

P點(diǎn)rxyzOx=rsin

cos

y=rsin

sin

z=rcos

r=rarz球坐標(biāo)系2.2-1球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

xyzOazcos

ar

aysin

sin

axsin

cos

(1)單位矢量之間的轉(zhuǎn)換類似可得另兩個(gè)單位矢量與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系(2)球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)球坐標(biāo)中的拉梅系數(shù)為

空間一點(diǎn)沿r、

和

方向的長(zhǎng)度增量分別為(3)球坐標(biāo)系的積分dS

=a

dlrdl

=a

rdrd

dS

=a

dlrdl

=a

rsin

drd

dSr

=ardl

dl

=ar

r2sin

d

d

dV=r2sin

drd

d

xyz1.3矢量場(chǎng)(vectorfield)賦予物理意義的矢性函數(shù)稱為矢量場(chǎng)

本節(jié)要點(diǎn)

矢量線

通量和散度

環(huán)量和旋度1.矢量線(vectorline)如：靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等矢量線的方程為在直角坐標(biāo)系中，其表達(dá)式為所謂矢量線，乃是這樣一些曲線，在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。xyz例1-1式中，q和

0均為常數(shù),r=axx+ayy+azz為場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量。設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為求的矢量線方程并畫出矢量線圖。得矢量線方程為

解：例1-2設(shè)無(wú)限長(zhǎng)直線通有電流I，方向沿z軸，它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式為試畫出矢量線圖

解：其矢量線圖為I討論如果將產(chǎn)生場(chǎng)的物理量稱為源，有標(biāo)量源和矢量源；點(diǎn)電荷為標(biāo)量源，它所產(chǎn)生的場(chǎng)是從源點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散場(chǎng)。我們是否可以得到結(jié)論：由標(biāo)量源所產(chǎn)生的場(chǎng)均為發(fā)散場(chǎng)，或者稱為無(wú)旋場(chǎng)？電流源為矢量源，它所產(chǎn)生的場(chǎng)是連續(xù)的，或者說是有旋的場(chǎng)？實(shí)際上，后面的分析就會(huì)證明上述結(jié)論的正確。2.通量(flux)通過閉曲面的總通量可表示為面元矢量單位矢量n為面元dS的外法向矢量矢量場(chǎng)A與面元dS的標(biāo)量積---通量dSn

A矢量場(chǎng)的通量討論假定矢量場(chǎng)A為流體的速度，通量的物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體從曲面S內(nèi)穿出的正流量與從曲面S外流入的負(fù)流量的代數(shù)和。當(dāng)

>0，流出多于流入，表示在S內(nèi)必有產(chǎn)生流體的正源；當(dāng)

<0，流入多于流出，表示在S內(nèi)必有吸收流體的負(fù)源；當(dāng)

=0，流入等于流出，表示在S內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，或者說S內(nèi)沒有源。矢量場(chǎng)在閉合面S上的通量是由S內(nèi)的源決定的，它是一個(gè)積分量3.散度(divergence)

散度的定義在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式S

VPA

dS=ndSdivA為一數(shù)量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。它表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率。討論當(dāng)divA>0，稱為源點(diǎn)(sourcepoint)---表示矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處有散發(fā)通量之正源；當(dāng)divA<0，稱之為匯點(diǎn)(sinkpoint)---表示矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處有吸收通量之負(fù)源；當(dāng)divA=0，表示矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處無(wú)源。稱divA=0的場(chǎng)是連續(xù)的(continuous)或無(wú)散的（螺線管式）矢量場(chǎng)(solenoidalvectorfield)。源與匯4.哈米爾頓（Hamilton）算子矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中

5.散度定理(divergencetheorem)高斯散度定理xyz矢量場(chǎng)散度的體積分等于矢量場(chǎng)在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分例1-3

在矢量場(chǎng)中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，試求矢量場(chǎng)A的散度；從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。解：xyz例1-3（續(xù)）

可見，從單位立方體內(nèi)穿出的通量為2，且有6.環(huán)量環(huán)量（circulation）的定義

矢量的環(huán)量也是一數(shù)量如果環(huán)量

0，則在l內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場(chǎng)的旋渦源；如果環(huán)量

=0，則我們說在l內(nèi)沒有旋渦源。矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣都是描繪矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要物理量，它同樣是一個(gè)積分量。矢量場(chǎng)的線積分7.環(huán)量面密度環(huán)量面密度若極限存在，則稱它為矢量場(chǎng)在點(diǎn)P處沿方向n的環(huán)量面密度。必存在某一固定矢量R，這個(gè)固定矢量在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度！若面元與旋渦面間有一夾角，環(huán)量面密度總是小于最大值；若面元與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大；若面元與旋渦面相垂直，則環(huán)量面密度等于零。8.旋度(curl或rotation)矢量R稱為矢量A的旋度在點(diǎn)P處沿n方向的環(huán)量面密度與旋度的關(guān)系

在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式

矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量旋度和環(huán)量面密度討論矢量場(chǎng)的旋度表示該矢量每單位面積的環(huán)量，它描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。若rotA

0

，則該矢量場(chǎng)是有旋的（rotational）若rotA=0，則稱此矢量場(chǎng)是無(wú)旋的(irrotational)或保守的場(chǎng)(conservative)旋度的一個(gè)重要性質(zhì)：旋度的散度恒等于零!龍卷風(fēng)的旋度9.斯托克斯定理(Stokes’theorem)

它表明矢量場(chǎng)A圍繞曲線邊界的線積分等于該矢量場(chǎng)的旋度沿此沿曲線所包圍曲面的面積分。例1-4已知一矢量場(chǎng)

求該矢量場(chǎng)的旋度求該矢量沿如圖所示的半徑為3的四分之一圓盤的線積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解：例1-4（續(xù)）矢量沿四分之一圓盤的線積分顯然，有討論矢量場(chǎng)的性質(zhì)可以用其散度和旋度來(lái)表征：散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律；旋度描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。

如果矢量場(chǎng)的散度為零，則該矢量場(chǎng)是連續(xù)的或無(wú)散的（螺線管式）；如果矢量場(chǎng)的旋度等于零，則稱此矢量場(chǎng)是無(wú)旋的或保守的。矢量場(chǎng)的散度等于零該矢量可以用另一個(gè)矢量的旋度來(lái)表示1.4標(biāo)量場(chǎng)(scalarfield)

一個(gè)僅用其大小就可以完整表征的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)本節(jié)要點(diǎn)等值面方向?qū)?shù)梯度梯度的積分1.等值面例如，根據(jù)地形圖上等高線及其所標(biāo)出的高度，我們就能了解到該地區(qū)的高低情況，根據(jù)等高線分布的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個(gè)方向上地勢(shì)的陡度。

稱為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面，隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面.

100200300400標(biāo)量場(chǎng)的等值線等值面與等值線標(biāo)量場(chǎng)在不同方向上的變化率一般說來(lái)是不同的

2.方向?qū)?shù)(directionalderivative)

方向?qū)?shù)

在直角坐標(biāo)系中

如果上式的極限存在，則稱它為函數(shù)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)增大的方向。也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。

3.梯度（gradient）

方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影即

梯度的旋度恒等于零如果一個(gè)矢量場(chǎng)滿足

F=0，即是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則該矢量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，即F=

u

梯度就是變化率最大方向上的方向?qū)?shù)。

梯度的性質(zhì)

等值線與梯度4.梯度的積分

如在靜電場(chǎng)中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)（第二章介紹）

由斯托克斯定理，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零

P2點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)，則P2點(diǎn)的函數(shù)值可表示為

沿閉合路徑的積分為零等價(jià)于積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與始點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考點(diǎn)）結(jié)論一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，求其梯度得到的矢量場(chǎng)一定為無(wú)旋場(chǎng)；無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分一定等于零，或者說積分與路徑無(wú)關(guān)；無(wú)旋場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示。無(wú)旋場(chǎng)也稱為保守場(chǎng)或有勢(shì)場(chǎng)。1.5

亥姆霍茲定理矢量場(chǎng)的散度、旋度和標(biāo)量場(chǎng)的梯度都是場(chǎng)的重要量度，亥姆霍茲定理(Helmholtztheorem)是矢量場(chǎng)共同性質(zhì)的總結(jié)。本節(jié)要點(diǎn)亥姆霍茲定理矢量場(chǎng)的性質(zhì)，完全可以由它的散度和旋度來(lái)表明；標(biāo)量場(chǎng)的性質(zhì)則完全可由它的梯度來(lái)表明。如果一個(gè)場(chǎng)的旋度為零，則稱為無(wú)旋場(chǎng)；如果一個(gè)場(chǎng)的散度為零，則稱為無(wú)散場(chǎng)。就矢量場(chǎng)的整體而言，無(wú)旋場(chǎng)的散度不能處處為零；同樣無(wú)散場(chǎng)的旋度也不能處處為零，否則場(chǎng)就不存在源看作是場(chǎng)的起因散度對(duì)應(yīng)發(fā)散源(divergencesource)旋度對(duì)應(yīng)旋渦源(rotationalsource)設(shè)一個(gè)矢量場(chǎng)既有散度，又有旋度，則它可以表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量和無(wú)散場(chǎng)分量之和，即亥姆霍茲定理其中無(wú)旋場(chǎng)分量A1的散度不等于零，設(shè)為

，無(wú)散場(chǎng)分量A2的旋度不等于零，設(shè)為J，則A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源—標(biāo)量源A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源—矢量源。矢量場(chǎng)的分解亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理告訴我們，研究任何一個(gè)矢量場(chǎng)(如電場(chǎng)、磁場(chǎng))等，需要從散度和旋度兩個(gè)方面去研究，或者是從通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)角度去研究。一般來(lái)說，當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源(

、J)在空間的分布確定時(shí),該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理。源和場(chǎng)的關(guān)系小結(jié)A=

F

A=J

A=

0J連續(xù)場(chǎng)有旋場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)矢量源A=

u

A=

0

保守場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)標(biāo)量源

第2章靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)

2.1節(jié)電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)2.2節(jié)真空中靜電場(chǎng)的基本方程2.3節(jié)電介質(zhì)的極化及介質(zhì)中的場(chǎng)方程2.4節(jié)導(dǎo)體的電容及電耦合2.5節(jié)靜電場(chǎng)的邊界條件2.6節(jié)恒定電場(chǎng)2.1

電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)靜電場(chǎng)（electrostatics）：由靜止的且其電量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。本節(jié)要點(diǎn)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)和電位分布電荷的電場(chǎng)和電位電場(chǎng)與電位的關(guān)系電偶極子的電位與電場(chǎng)1.電場(chǎng)強(qiáng)度(electricfieldintensity)

庫(kù)侖定律（Coulom’slaw）

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度

庫(kù)侖定律表明了兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的大小和方向取極限是為了使引入試驗(yàn)電荷時(shí)不致影響源電荷的狀態(tài)r(1)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)距離矢量xyzr

R=r-r

場(chǎng)點(diǎn)(觀察點(diǎn))P(x,y,z)源點(diǎn)S

(x

,y

,z

)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)在一個(gè)空間中存在兩個(gè)點(diǎn)電荷

n個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)：

R2

E2

R1E1Or'1r'2r兩電荷的電力線

V(2)分布電荷的電場(chǎng)分布電荷的電場(chǎng)：體電荷密度：面電荷密度：線電荷密度：RrP(r)dV'r'O兩邊積分例2-1（續(xù)）電力線無(wú)限長(zhǎng)線電荷如果直線無(wú)限長(zhǎng)，則無(wú)限長(zhǎng)的線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)沿徑向發(fā)散的場(chǎng)，這是由源的性質(zhì)決定的2.電位函數(shù)(electricpotential)若正試驗(yàn)電荷qt從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過程中電場(chǎng)力所做的功為W，則P點(diǎn)處的電位當(dāng)電荷不延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，一般把參考點(diǎn)Q選在無(wú)窮遠(yuǎn)處，這時(shí)P點(diǎn)處的電位3.電位與電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)為某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度4.電位表達(dá)式點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位：

體電荷分布的電位：面電荷和線電荷分布的電位：電場(chǎng)強(qiáng)度與電位關(guān)系參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)C=0，若源延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處，參考點(diǎn)就要重新選擇，以表達(dá)式簡(jiǎn)捷、有意義為原則。線電荷的電位與電場(chǎng)例2-2球面上面元在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電位為真空中一個(gè)帶電量為Q的導(dǎo)體球，試計(jì)算球內(nèi)外的電位與電場(chǎng)。解：孤立的帶電導(dǎo)體球的電荷必定均勻分布于球表面上，因而它在空間產(chǎn)生的電位是球?qū)ΨQ的。為了方便，我們將場(chǎng)點(diǎn)選在z軸上。例2-2（續(xù)）帶電導(dǎo)體球的電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度

帶電導(dǎo)體球的電位分布

結(jié)論上述結(jié)果表明：總帶電量為Q的導(dǎo)體球產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)與集中在球心處的電荷為Q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)相同；電位在r=a處是連續(xù)的，導(dǎo)體是一等電位體，它的表面是等位面；導(dǎo)體球的內(nèi)部電場(chǎng)為零,在r=a處電場(chǎng)有一躍變，這是由于球面上的存在面電荷的緣故；在導(dǎo)體的表面上只有電場(chǎng)的法向分量，切向分量等于零。這是對(duì)靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體的普遍適用的結(jié)論。xyz練習(xí)題一個(gè)半徑為a,帶電量為Q的圓盤,試計(jì)算過圓心的軸線上任一點(diǎn)處的電位與電場(chǎng).提示:選擇面元dS

,其上的電荷為

SdS

,由它所產(chǎn)生的電位為z

R結(jié)果:5.電偶極子

(electricdipole)

偶極矩矢量(dipolemomentvector)

相距很近的兩個(gè)等值異號(hào)的電荷。

P點(diǎn)的電位：電偶極子的電力線與等位面2.2真空中靜電場(chǎng)的基本方程

根據(jù)亥姆霍茲定理，研究一個(gè)矢量，從積分的角度就是研究其通量和環(huán)量，得到兩個(gè)基本方程的積分形式；從微分的角度就要研究其散度和旋度，得到兩個(gè)基本方程的微分形式。

本節(jié)要點(diǎn)電通量與電通密度

高斯定律電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)量靜電場(chǎng)的性質(zhì)1.電通量和力線

力線(lineofforce)或通量線(fluxline)：試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)的路線人為地規(guī)定一個(gè)電荷產(chǎn)生的力線條數(shù)等于用庫(kù)侖表示的電荷的大小。力線(fieldline)表示電通量.2.電通密度和電通量電通量的性質(zhì):與媒質(zhì)無(wú)關(guān)；大小僅與發(fā)出電通量的電荷有關(guān)；如果點(diǎn)電荷被包圍在半徑為R的假想球內(nèi)，則電通量必將垂直并均勻穿過球面；單位面積上的電通量，即電通密度反比于R2。除了第一條外,電通量的性質(zhì)與電場(chǎng)強(qiáng)度相同,引入電通密度電通量為xyz練習(xí)題z軸上一個(gè)點(diǎn)電荷電量為q，試計(jì)算穿過半徑為a的圓盤的電通量.提示:z

R結(jié)果:選擇面元dS,穿過

dS的通量為3.高斯定律(Gauss’law)

從封閉面發(fā)出的總電通量數(shù)值上等于包含在該封閉面內(nèi)的凈正電荷。高斯定律(Gauss’law)如果封閉曲面包圍的是分布電荷,則S

V利用高斯通量定理空間任意存在正電荷密度的點(diǎn)都發(fā)出電通量線，如果電荷密度為負(fù)，電通量線指向電荷所在的點(diǎn)。[例2-3]

用高斯定律求無(wú)限長(zhǎng)線電荷在任意點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：過P點(diǎn)作一單位長(zhǎng)度的高斯柱面P由于上下底面的貢獻(xiàn)為零，且在圓柱面電通量密度D=常數(shù)

練習(xí)題已知同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，求同軸線各區(qū)域的電場(chǎng)。同軸線的電場(chǎng)小結(jié)已知電荷求電場(chǎng)強(qiáng)度有三種方法:用電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分式(最麻煩!!)先求電位，再根據(jù)E=

用高斯定理，但要想得到其解析解，要求電荷必須對(duì)稱分布(最簡(jiǎn)單!!!)練習(xí)題半徑分別為a和b，球心距離為c的兩球面間均勻分布有體密度為

V的電荷，求空間各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度.abczyx

V

4.電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)量和性質(zhì)積分形式微分形式電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的積分等于零，電場(chǎng)強(qiáng)度為無(wú)旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。靜電場(chǎng)基本方程2.3電介質(zhì)的極化及介質(zhì)中的場(chǎng)方程

本節(jié)要點(diǎn)極化的概念極化強(qiáng)度矢量束縛面電荷密度束縛體電荷密度本構(gòu)方程介質(zhì)中的場(chǎng)方程1.電介質(zhì)的極化(polarized)

無(wú)極分子有極分子正負(fù)電荷的作用中心重合正負(fù)電荷的作用中心不相重合而形成一個(gè)電偶極子通常所有分子等效電偶極矩的矢量和為零極化的示意圖極化后介質(zhì)中的合成電場(chǎng)E+E

小于外加電場(chǎng)極化前不呈現(xiàn)電性在外加電場(chǎng)作用下，發(fā)生了極化束縛電荷產(chǎn)生的場(chǎng)束縛面電荷極化和擊穿在外加電場(chǎng)力的作用下，它們的等效電偶極矩的矢量和不為零，這種情況稱為電介質(zhì)的極化。極化的結(jié)果在介質(zhì)的內(nèi)部和表面形成極化電荷，這些極化電荷在介質(zhì)內(nèi)激發(fā)與外電場(chǎng)方向相反的電場(chǎng)。當(dāng)加大外加電場(chǎng)，當(dāng)電荷所受的電場(chǎng)力大于其內(nèi)部束縛力時(shí)，電子將擺脫內(nèi)部束縛力而成為自由電子，這種現(xiàn)象稱為擊穿。擊穿場(chǎng)強(qiáng):電介質(zhì)在擊穿前所能承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度(也稱為電介質(zhì)強(qiáng)度)，如空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為30kV/cm

2.極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度矢量(polarizationintensityvector)

單位體積內(nèi)的電偶極矩在線性、均勻、各向同性的介質(zhì)中極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

某些聚合物材料極化后，即使去掉外加電場(chǎng)，極化強(qiáng)度一直保留，可成為永久性極化體，稱為駐極體。PRrP(r)dV'r'O3.極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電位在極化介質(zhì)中取一體積元dV

,其內(nèi)的電偶極矩為dp=PdV

,它在P產(chǎn)生的電位R=r

r=RaRPRrP(r)dV'r'O極化介質(zhì)的電位表達(dá)式對(duì)上式積分，并對(duì)第一項(xiàng)應(yīng)用散度定理4.束縛電荷密度束縛體電荷密度

束縛面電荷密度如果電介質(zhì)中除了束縛電荷密度還有自由電荷密度，則自由電荷的作用也必須考慮在內(nèi)以決定電介質(zhì)中的電場(chǎng)anan5.媒質(zhì)的本構(gòu)方程對(duì)于線性各向同性媒質(zhì)媒質(zhì)的本構(gòu)方程相對(duì)介電常數(shù)在自由空間中

r=1，因此有D=

0E媒質(zhì)的介電常數(shù)6.介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程2.4導(dǎo)體的電容電容器的電容雙導(dǎo)體的電容單導(dǎo)體的電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容本節(jié)要點(diǎn)1.雙導(dǎo)體的電容電容器(capacitor)電容(capacitance）導(dǎo)體a導(dǎo)體b相互接近而又相互絕緣的任意形狀的導(dǎo)體構(gòu)成電容器

一個(gè)導(dǎo)體上的電荷量與此導(dǎo)體相對(duì)于另一導(dǎo)體的電位之比(1)

雙導(dǎo)線的電容設(shè)雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的電荷為

l，由高斯定理P點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度為DdxzP平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電容平行雙導(dǎo)線的電場(chǎng)與電容(2)同軸線的電容(練習(xí)題)同軸線單位長(zhǎng)度的電容2.單導(dǎo)體電容以單導(dǎo)線為例。設(shè)導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上所帶電荷為

l，則它在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)為則單導(dǎo)線與大地間的電位差為hd地xy單位長(zhǎng)度的單導(dǎo)線與大地間的電容為

3.多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容當(dāng)有三個(gè)或三個(gè)以上導(dǎo)體存在時(shí)，稱之為多導(dǎo)體系統(tǒng)。此時(shí)每?jī)蓚€(gè)導(dǎo)體間的電壓要受到其余導(dǎo)體上電荷的影響，這時(shí)要計(jì)算系統(tǒng)中兩導(dǎo)體之間的電容時(shí)就必須考慮其它導(dǎo)體的存在，引入部分電容的概念。

(1)電容系數(shù)在有N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，若已知各導(dǎo)體的電荷，則根據(jù)電位疊加原理，各導(dǎo)體上的電位

i可以表示為

ij稱為電位系數(shù)若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體上的電荷量可以表達(dá)為

ij稱為電容系數(shù)(2)部分電容導(dǎo)體與大地間的自有部分電容

導(dǎo)體i與j互有部分電容

所有部分電容都為正值，且Cij=Cji。從系統(tǒng)來(lái)看，一個(gè)多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)等效于一個(gè)多端電容網(wǎng)絡(luò)。(3)考慮大地時(shí)的雙導(dǎo)線和同軸線導(dǎo)體12兩端、導(dǎo)體1對(duì)地及導(dǎo)體2對(duì)地的等效輸入電容分別為12地C12C11C22用實(shí)驗(yàn)測(cè)得C1、C2和C3后，由以上三式即可求得各部分電容。事實(shí)上，多導(dǎo)體之間分布電容的存在也是信號(hào)相互串?dāng)_（cross-talk）的主要原因之一。在高速數(shù)字系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中必須予以考慮。

2.5靜電場(chǎng)的邊界條件

邊界條件（boundaryconditions）決定分界面兩側(cè)各場(chǎng)量變化關(guān)系的方程

本節(jié)要點(diǎn)電通量密度的法向分量電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量分界面上電場(chǎng)的方向電位函數(shù)的邊界條件兩種常用的媒質(zhì)分界面1.電通量密度的法向分量分界面在兩種理想電介質(zhì)之間

分界面在理想電介質(zhì)與導(dǎo)體之間(媒質(zhì)2為導(dǎo)體)0hD1D2n在兩種媒質(zhì)的分界面上作一高度趨于零的高斯面at為分界面的切線方向，n為分界面的法線，s為有向閉合路徑的法線方向,它們的關(guān)系為2.電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量0hE1E2nsat在兩種媒質(zhì)的分界面上作一寬度h趨于零、長(zhǎng)度為

l的矩形討論分界面為兩種理想電介質(zhì)時(shí)，分界面上電場(chǎng)的方向滿足

一般情況下，在兩種不同介質(zhì)的分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度和電通量密度一定要改變方向；只有當(dāng)

1或

2等于零時(shí)，分界面上的電場(chǎng)方向才不改變，象平行板、同軸線和同心球中的電場(chǎng)就是這種情況。[例2-4]

若玻璃的相對(duì)介電常數(shù)

r=7，絕緣強(qiáng)度為60kV/cm，空氣的絕緣強(qiáng)度為30kV/cm，板間距離為d=0.5cm，當(dāng)兩極板間接電壓為10kV時(shí)電容器是否會(huì)擊穿？分別求出有介質(zhì)填充區(qū)域和無(wú)填充區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度，板上及分界面上的自由面電荷密度、束縛電荷密度電容器的電容量

平行板電容器的長(zhǎng)和寬分別為a和b，板間距離為d，電容器的一半厚度用介電常數(shù)為的玻璃介質(zhì)填充，另一半為空氣，若板上外加電壓為U0，求解：由邊界條件[例2-4]（續(xù)）兩區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

上極板（z=d)上自由電荷面密度

下極板（z=0）上自由電荷面密度

分界面上的自由電荷面密度為零

介質(zhì)中的極化強(qiáng)度

[例2-4]續(xù)在z=d/2和z=0處介質(zhì)上的束縛電荷面密度電容器的總電荷和電容

結(jié)論：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度小于真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度，這是由于介質(zhì)表面的束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與外加電場(chǎng)相反所致，且介質(zhì)填充后電容器的電容增大。介質(zhì)[例2-4]續(xù)由于，所以玻璃介質(zhì)不會(huì)被擊穿。將和d=0.5cm及U0代入電場(chǎng)的表達(dá)式得可見，E2大于空氣的絕緣強(qiáng)度，空氣介質(zhì)被擊穿。空氣擊穿后，玻璃板承受全部電壓，其場(chǎng)強(qiáng)為兩層同軸線的電場(chǎng)2.6恒定電場(chǎng)

(steadyfield)

電流與電流密度恒定電場(chǎng)的基本方程接地電阻電動(dòng)勢(shì)

邊界條件

恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較

恒定電場(chǎng)：恒定電流在空間中存在的電場(chǎng)。它是由作恒定運(yùn)動(dòng)但不隨時(shí)間變化的分布電荷所產(chǎn)生的。本節(jié)要點(diǎn)1.電流設(shè)空間分布的電荷在電場(chǎng)作用下作定向運(yùn)動(dòng)，在該體積空間中任取一個(gè)面積S，若在時(shí)間內(nèi)穿過

t的電量為

q，則電流的大小定義為

恒定電流（steadycurrent）-----若電荷流動(dòng)的速度不變，即電流是一個(gè)標(biāo)量，從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，它是一個(gè)具有通量概念的量，它沒有表明導(dǎo)體橫截面上每一點(diǎn)的電流分布狀況。2.電流密度(currentdensity)

J的方向規(guī)定為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向

電荷流動(dòng)的空間是一個(gè)電流密度矢量場(chǎng)，場(chǎng)中任意面積上通過的電流量為在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一面積元

S，若流過

S的電流為

I，電流密度矢量J的大小體電流密度電流密度與電流的關(guān)系，就是一個(gè)矢量場(chǎng)與它的通量的關(guān)系。電流密度(currentdensity

)電流方向則定義面電流的線密度矢量JS的大小為：JS的方向仍為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向。

線電流——當(dāng)電荷在一根很細(xì)的導(dǎo)線中流過或電荷通過的橫截面很小時(shí)，可以把電流理想看作為線電流I。不論是體電流、面電流還是線電流，它們的大小都正比于相應(yīng)電荷的運(yùn)動(dòng)速度，方向均為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向。面電流與體電流的概念的區(qū)別!在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一線元

l,若流過

l線元的電流為

I3.恒定電場(chǎng)的基本方程

電流連續(xù)性方程(equationofcurrentcontinuity)微分形式對(duì)于恒定電流此時(shí)電流連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為從任意閉合面S流出的電流應(yīng)等于由S所包圍的體積V中單位時(shí)間內(nèi)電荷減少的數(shù)量通過任一閉合曲面的凈恒定電流為零，導(dǎo)電媒質(zhì)通過恒定電流時(shí)，其內(nèi)部電流密度是無(wú)散或連續(xù)的。nJ任意閉合曲面恒定電場(chǎng)的基本方程(續(xù))恒定電場(chǎng)(電源外空間)為保守場(chǎng)電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，對(duì)于線性媒質(zhì)：

討論焦耳定律(Joule’slaw)的微分形式

電流恒定時(shí)，電荷分布

V不隨時(shí)間變化，所以恒定電場(chǎng)必定與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)具有相同的性質(zhì)，因此當(dāng)電流密度J已知時(shí)，電導(dǎo)率越大，E越小；時(shí)，E

0。即只有理想導(dǎo)體內(nèi)才有E=0與靜電場(chǎng)不同。小結(jié)在電源外的空間，恒定電場(chǎng)所滿足的方程導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)方程J=

E單位體積所消耗的功率p=J

E1）恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)有什么不同？2）能量來(lái)自何方？它們的物理意義？4.接地電阻(groundresistance)

接地電阻:電流由電極流向大地時(shí)所遇到的電阻跨步電壓(steppingvoltage):人跨一步的兩腳間的電壓我們來(lái)研究半徑為a的半球形良導(dǎo)體接地電極的接地電阻。設(shè)經(jīng)引線由O點(diǎn)流入半球形電極的電流為I，則距球心為r處的地中任一點(diǎn)的電流密度為將金屬導(dǎo)體埋入地內(nèi)，而將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接，這種埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)稱為接地體或接地電極。接地半球中的電流減小接地電阻的方法相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為電流在大地中的電壓為接地電阻為增大接地電極面積的具體辦法有：簡(jiǎn)單采用大塊接地導(dǎo)體；或采用由若干個(gè)具有一定粗細(xì)、一定長(zhǎng)度的導(dǎo)體柱組成的一個(gè)接地系統(tǒng)；或采用多根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)體輻射狀散開平鋪于地下。接地電極尺寸越大，或者說接地體的表面積越大，接地電阻越小，此時(shí)接地儀器設(shè)備的外殼越接近大地的電位。[例2-5]

一個(gè)半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面與地面重合，如圖所示。已知土壤的導(dǎo)電率為

=102S/m。求：接地電阻；若有短路電流100A流入地中，某人正以0.5米的步距向接地點(diǎn)前進(jìn)，前腳距半球中心點(diǎn)的距離為2米，求此人的跨步電壓及土壤的損耗功率。解：接地電極的接地電阻為已知流入地中的電流為I，則在距球心r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為跨步電壓損耗功率5.電動(dòng)勢(shì)

(electromotiveforce)

自由電子在電場(chǎng)作用下逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)形成電流；要在導(dǎo)體中維持一恒定電流，就必須給導(dǎo)體接上電源。電源是一種將其它形式的能量轉(zhuǎn)換為電能的裝置。庫(kù)侖場(chǎng)強(qiáng)E：不僅存在于電源內(nèi)部，還存在于電源外部，且在電源內(nèi)部與E

的方向相反。電流是靜電力與非靜電力共同作用的結(jié)果！包含電源的歐姆定律的微分形式：在電源內(nèi)部，有非靜電力即非庫(kù)侖場(chǎng)強(qiáng)E

(非靜電力與電荷的比值

)存在,使正電荷由負(fù)極向正極運(yùn)動(dòng)，它只存在于電源內(nèi)部。電源電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)(electromotiveforce)

(續(xù))這說明含電源的閉合回路中的總電場(chǎng)為E

+E，若回路中有恒定電流I且是均勻分布的，則相應(yīng)的總功率為在電源外的導(dǎo)體中，電場(chǎng)都具有無(wú)旋特性，可以用E=

來(lái)分析。假設(shè)導(dǎo)體是均勻的，導(dǎo)電率是常數(shù)，由基本方程

J=0可得非保守場(chǎng)沿閉合路徑的積分----電動(dòng)勢(shì)這表明在均勻?qū)w中不會(huì)有體電荷存在，即達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)導(dǎo)體內(nèi)自由電荷體密度處處等于零。與靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體電荷分布在表面的結(jié)論一致！只要媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，那么媒質(zhì)1中的J1和E1一定垂直于交界面，此交界面可認(rèn)為是等位面

6.邊界條件

電流密度J的法向分量連續(xù)電場(chǎng)強(qiáng)度E的切向分量連續(xù)

用電位函數(shù)表示的邊界條件兩種媒質(zhì)交界面上場(chǎng)的方向結(jié)論分界面上必有電荷分布21J1E1[例2-6]

設(shè)單位長(zhǎng)度上同軸線的漏電流為I，由電流密度的法向分量連續(xù)保證了在兩種漏電媒質(zhì)中半徑為

處的電流密度為解：由此可求得由此可求得兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，分界面半徑為b，外導(dǎo)體半徑為c；漏電導(dǎo)率為

1和

2。當(dāng)外加電壓為U時(shí)，計(jì)算介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、分界面上的自由面電荷密度及單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)。[例2-6]（續(xù)）單位長(zhǎng)度上的漏電導(dǎo)兩介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別

分界面上的面電荷密度7.恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)比較靜電場(chǎng)（的區(qū)域）

恒定電場(chǎng)（電源外）

練習(xí)題兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，分界面半徑為b，外導(dǎo)體半徑為c；兩層介質(zhì)的介電常數(shù)分為

1和

2、當(dāng)外加電壓為U時(shí)，計(jì)算單位長(zhǎng)度的電容。答案:abc

1

2兩層介質(zhì)的同軸中的電場(chǎng)第3章邊值問題的解法3.1邊值問題的提法3.2唯一性定理3.3鏡像法3.4分離變量法3.5有限差分法1.邊值問題的提法所謂邊值問題就是給定邊界條件下，求解電位函數(shù)所滿足的方程。就邊界條件而言，不同的問題有不同的給定方式，通?？梢苑譃槿?；而求解區(qū)域電位函數(shù)所滿足的方程通常有泊松方程和拉普拉斯方程2.邊值問題的分類第一類邊界問題：已知場(chǎng)域邊界面S上各點(diǎn)電位的值，即第二類邊界問題：已知場(chǎng)域邊界面S上各點(diǎn)電位法向?qū)?shù)的值，即

第三類邊界問題：已知場(chǎng)域邊界面S上各點(diǎn)電位和電位法向?qū)?shù)的線性組合值，即如果邊界面是導(dǎo)體，三類問題如何描述？3.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程(Poisson’sequation)——在線性、各向同性、均勻的電介質(zhì)中對(duì)電荷分布在導(dǎo)體表面即

V=0，則拉普拉斯方程(Laplace’sequation)圓上的拉普拉斯方程3.2唯一性定理本節(jié)要點(diǎn)唯一性定理描述唯一性定理證明唯一性定理應(yīng)用1.唯一性定理描述

給定邊界條件給定邊界條件靜電場(chǎng)問題通常都可以歸結(jié)為：在給定邊值條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的問題。即唯一性定理(uniquenesstheorem)描述靜電場(chǎng)中，在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。設(shè)在給定邊界上的電位時(shí)，拉普拉斯方程有兩解

1和

2，2.唯一性定理證明由于方程是線性的，兩個(gè)解的差

=

1

2也滿足方程，即在第一類邊界條件下，來(lái)證明唯一性定理。

由格林第一定理令

=

=

，同時(shí)考慮

2

=0，則唯一性定理的證明（續(xù)）

在邊界上的值又，所以，因而可以推得。而非負(fù)，故只有即在邊界上，因此在第一類邊界條件下拉普拉斯方程的解是唯一的。

唯一性定理也適合其它兩類邊界條件。3.唯一性定理的應(yīng)用唯一性定理給出了拉普拉斯方程（或泊松方程）定解的充分必要條件。這個(gè)定理啟發(fā)我們，不管采用什么方法，只要能找到一個(gè)既能滿足給定的邊界條件，又能滿足方程的電位函數(shù)，則這個(gè)解就是正確的。鏡像法、分離變量法等求解方法就是唯一性定理的具體應(yīng)用。3.3鏡像法

本節(jié)要點(diǎn)鏡像法點(diǎn)電荷與平面邊界點(diǎn)電荷與球面邊界

線電荷的鏡像1.鏡像法(imagemethod)鏡像----暫時(shí)忽略邊界的存在，在所求的區(qū)域之外放置虛擬電荷來(lái)代替實(shí)際導(dǎo)體表面上復(fù)雜的電荷分布來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)虛擬的電荷被稱為實(shí)際電荷的鏡像。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條件。鏡像法---唯一性定理的應(yīng)用電荷產(chǎn)生的電位在源點(diǎn)外一定滿足拉普拉斯方程。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上滿足邊界條件，以決定鏡像電荷的大小及位置。注意！鏡像電荷是虛擬電荷鏡像電荷置于所求區(qū)域之外導(dǎo)電體的表面是等位面

2.點(diǎn)電荷與平面邊界無(wú)限大導(dǎo)電平面上方d處有一點(diǎn)電荷q，則導(dǎo)電平面對(duì)點(diǎn)電荷的影響可以用置于導(dǎo)電平面下方的鏡像電荷-q來(lái)代替，空間任一點(diǎn)P處的電位為顯然，電位函數(shù)在上半平面（除點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外）均滿足拉普拉斯方程；在邊界分界平面上，電位函數(shù)滿足邊界條件。根據(jù)唯一性定理，上式必是我們所求問題的解。r2d-qdr1zxqP(1)鏡像電荷的確定若兩平面的夾角為

，而360

/

=n（偶數(shù)），則可以用鏡像法求解，且鏡像電荷數(shù)為n-1。若360

/

不是偶數(shù)，則鏡像電荷就會(huì)出現(xiàn)在所求區(qū)域之內(nèi)，這將改變?cè)搮^(qū)域內(nèi)電位所滿足的方程，因而不能用鏡像法求解。鏡像電荷的數(shù)目對(duì)于平面邊界，鏡像電荷位于與實(shí)際電荷關(guān)于邊界對(duì)稱的位置上，且其兩者大小相等、符號(hào)相反。[例3-1]

兩平面夾角為，解：

所求點(diǎn)P(x,y,z)的電位：在（3，5，0）點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

：自由空間垂直放置的兩無(wú)限大導(dǎo)電平面，電量為100nC的點(diǎn)電荷置于（3，4，0），求（3，5，0）點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。其中3.點(diǎn)電荷與球面邊界由電位函數(shù)在球表面處滿足電位為零的邊界條件，求出

自由空間中一接地導(dǎo)體球半徑為a，一點(diǎn)電荷q置于距球心距離d處。計(jì)算導(dǎo)體球的表面電荷密度。解：由于導(dǎo)電球面彎曲，因此鏡像電荷在數(shù)量上一般不等于真實(shí)電荷q，假設(shè)為-mq；其位置應(yīng)在球內(nèi)，且位于球心與實(shí)際電荷的連線上。任意點(diǎn)的電位為點(diǎn)電荷與球面邊界(續(xù))導(dǎo)體球的表面電荷密度

顯然，只有當(dāng)真實(shí)電荷在球面上時(shí)，鏡像電荷在數(shù)量上才等于真實(shí)電荷。當(dāng)電荷遠(yuǎn)離球體移動(dòng)時(shí)，鏡像電荷則趨向于球心。

如果導(dǎo)體球不接地,結(jié)果又如何?q-mqmq點(diǎn)電荷與球面邊界4.線電荷的鏡像自由空間中無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱半徑為a，一個(gè)線電荷密度為

l的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線置于離圓柱軸線距離d處，求圓柱外空間任一點(diǎn)處的電位。

分析：導(dǎo)體圓柱在帶電線的作用下，在柱面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷。假設(shè)感應(yīng)電荷為-

l

；其位置在距原點(diǎn)b處，則柱外任意點(diǎn)P處的電位為

電位函數(shù)在圓柱表面處滿足電位為零的邊界條件，即在

=a處對(duì)任意角度有在導(dǎo)體圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量等于零，即

（1）邊界條件（2）結(jié)果此時(shí)圓柱外空間任一點(diǎn)處的電位為

圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為

單位長(zhǎng)度圓柱上的感應(yīng)電荷為

感應(yīng)電荷的總量與鏡像電荷的大小相等。鏡像法的本質(zhì)就是用集中鏡像電荷代替分布感應(yīng)電荷的作用。

線電荷的鏡像[例3-2]

兩半徑均為a的無(wú)限長(zhǎng)平行雙導(dǎo)線，導(dǎo)線間距為D，若導(dǎo)線間電壓為U，求空間任一點(diǎn)的電位和單位長(zhǎng)度的電容。利用接地導(dǎo)體圓柱的鏡像（上面的分析）得以原點(diǎn)為參考點(diǎn)，線電荷在任意點(diǎn)處的電位分別為

右、左邊圓柱上任一點(diǎn)的電位為

任意點(diǎn)P處的總電位為

[例3-2]（續(xù)）結(jié)論因此，兩圓柱導(dǎo)體間的電壓為單位長(zhǎng)度的電容

可見，不考慮兩電荷之間的影響時(shí)的結(jié)果與第2章的結(jié)果完全一致。

3.4分離變量法

分離變量法是把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成幾個(gè)單變量函數(shù)乘積的方法。在直角、圓柱、球等坐標(biāo)系中都可以應(yīng)用分離變量法。本節(jié)要點(diǎn)直角坐標(biāo)系分離變量法圓柱坐標(biāo)系分離變量法球坐標(biāo)系分離變量法1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

如果待求問題的邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示,待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，且其中的每個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。電位函數(shù)的拉普拉斯方程為代入拉普拉斯方程可得到以下四個(gè)方程：分離變量法（續(xù)）kx、ky、kz稱為分離常數(shù),它們?nèi)齻€(gè)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，且它不能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)或者為零。

分離變量法（續(xù)）若kx為實(shí)數(shù)若kx為虛數(shù)，或若kx=0，則微分方程的解為

g(y)和h(z)的情況類似因而求得對(duì)于給定邊界條件的具體問題的解，拉普拉斯方程解的形式由邊界條件來(lái)確定。[例3-3]

長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，槽可以視為無(wú)限長(zhǎng)，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為U0，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：這是一個(gè)矩形域的二維場(chǎng)問題。在直角坐標(biāo)系中，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為：令由分離變量法得以下三個(gè)方程[例3-3]（續(xù)）sin(nx/a)

稱為在上述邊界條件下的本征函數(shù)

要滿足和時(shí)的邊界條件在f(x)的三種可能的解中，只有f(x)=A1sinkxx且kx的取值為n

/a

kx=n

/a

為本征值

[例3-3]（續(xù)）若要g(y)滿足時(shí)，的邊界條件電位函數(shù)的通解為

由常數(shù)方程得，即ky為虛數(shù)，因此g(y)的解必為第二種。只有[例3-3]（續(xù)）

由時(shí)的邊界條件決定，即系數(shù)Dn，利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)再對(duì)x從0到a積分得因此電位函數(shù)將等式兩邊同乘以，xampsin電位函數(shù)與求和的階數(shù)U0=100V槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度邊界條件改變槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度分離變量法（小結(jié)）根據(jù)問題所給定的邊界情況，選定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出該坐標(biāo)系的拉普拉斯（或泊松）方程的表達(dá)式；確定待求電位函數(shù)為幾個(gè)變量函數(shù)；把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)；若待求位函數(shù)為二維函數(shù)，則將其表示成兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積；將二個(gè)未知函數(shù)的乘積代入拉普拉斯（或泊松）方程，分解出二個(gè)常微分方程和一個(gè)常數(shù)方程。根據(jù)給定的邊界條件和而二個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系，寫出二個(gè)常微分方程解的通解形式；用給定的邊界條件及三角函數(shù)的正交性，確定待定常數(shù)。練習(xí)題長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，邊界條件如圖所示，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。U=U0sinx/a邊界條件變化對(duì)結(jié)果的影響

以上為直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的求解過程，三維拉普拉斯方程的求解與上述類似，只是解答形式較復(fù)雜，在展成傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)會(huì)遇到雙重傅立葉積分。

2.

圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

在求解圓柱空間或有柱面邊界的場(chǎng)問題時(shí)，采用圓柱坐標(biāo)較為方便。圓柱坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為采用分離變量法，圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的一個(gè)解為n階第一類貝塞爾函數(shù)

n階第二類貝塞爾函數(shù)或紐曼函數(shù)

式中的所有系數(shù)均由邊界條件確定！

第一類貝塞爾函數(shù)曲線特殊情況1如果我們研究的問題是圓柱沿方向無(wú)限長(zhǎng)，則電位與z無(wú)關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法上述方程的解為式中的所有系數(shù)由邊界條件確定！

特殊情況2如果圓柱的電位是圓對(duì)稱的且z方向無(wú)限長(zhǎng)，即電位與z和

方向無(wú)關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程為此時(shí)方程的解為

以上分析了幾種條件下圓柱結(jié)構(gòu)拉普拉斯方程解的可能形式，下面舉例來(lái)說明其具體應(yīng)用。式中的系數(shù)同樣由邊界條件確定！

[例3-5]

半徑為a、介電常數(shù)為

的無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱置于均勻電場(chǎng)E0中，圓柱軸線與E0垂直，求圓柱內(nèi)、外的電位和電場(chǎng)分布。分析：在均勻電場(chǎng)作用下，介質(zhì)圓柱表面將出現(xiàn)極化電荷，因而空間任一點(diǎn)的電位是均勻場(chǎng)的電位和圓柱面上的極化電荷所產(chǎn)生的電位的疊加。根據(jù)坐標(biāo)面一致的要求，選擇圓柱坐標(biāo)系如圖所示。此時(shí)，均勻電場(chǎng)的電位和圓柱表面的極化電荷所產(chǎn)生的電位均與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。[例3-5](續(xù))設(shè)柱內(nèi)、外的電位分別為

1和

2，其表達(dá)式分別為其邊界條件為

（1）在圓柱軸線

=0處，

1應(yīng)為有限值；（2）當(dāng)

時(shí)，

2應(yīng)為-E0

cos

；（3）在

=a的圓柱面上，

1=

2和

[例3-5](續(xù))由條件(1)得C2=0、Fn=0，此時(shí)圓柱內(nèi)電位表達(dá)為圓柱外的電位表達(dá)式為[例3-5](續(xù))由條件（3）得上面兩式任意角度都成立，比較sin

和cos

的系數(shù)得聯(lián)立兩組方程解得[例3-5](續(xù))再比較其它正弦和余弦項(xiàng)的系數(shù)得

綜合上述各系數(shù)，可得到圓柱內(nèi)、外的電位為[例3-5](續(xù))分別對(duì)電位函數(shù)求負(fù)梯度，可得相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

可見，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場(chǎng)比原外加電場(chǎng)要小，這是由于介質(zhì)圓柱在外加電場(chǎng)作用下發(fā)生極化，極化后在右半圓柱面上產(chǎn)生正的極化電荷，在左半圓柱面上產(chǎn)生負(fù)的極化電荷，極化電荷在圓柱內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)與外加電場(chǎng)E0反向，因而總電場(chǎng)減弱。外加電場(chǎng)中的介質(zhì)柱3.

球坐標(biāo)系中的分離變量法

在求解球空間或有球面邊界的場(chǎng)問題時(shí)，采用球坐標(biāo)較為方便。球坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為，利用分離變量法求得方程的通解為m階l次第一類連帶勒讓德函數(shù)

球?qū)ΨQ性問題的解具有球?qū)ΨQ性問題的拉普拉斯方程的通解為

勒讓德多項(xiàng)式

[例3-7]

設(shè)有一半徑為a的接地導(dǎo)體球，放置于均勻的外電場(chǎng)E0中，球外為真空，試求空間任一點(diǎn)處的電位和電場(chǎng)分布。

zraOE0分析：靜電平衡狀態(tài)下球面和球內(nèi)電位處處相等，由于導(dǎo)體球接地，所以球面和球內(nèi)電位均為零。由于電位對(duì)極軸對(duì)稱，電位與坐標(biāo)

無(wú)關(guān)，此時(shí)電位函數(shù)的通解應(yīng)為：

[例3-7](續(xù))所以上式展開成如下形式

所以球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

由上式可見：在導(dǎo)體球表面僅有電場(chǎng)的法向分量，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷密度為3

0E0cos

，導(dǎo)體球外的電位（電場(chǎng)）是由均勻電場(chǎng)E0和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。事實(shí)上能用分離變量法進(jìn)行求解的結(jié)構(gòu)是十分有限的，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁場(chǎng)問題，一般采用數(shù)值法求解。

[例3-7](續(xù))外加電場(chǎng)中的接地導(dǎo)體球3.5有限差分法當(dāng)所求問題的邊界比較復(fù)雜，通常采用數(shù)值解法。目前，比較成熟的求解電磁場(chǎng)問題的數(shù)值解法很多，如主要有矩量法、有限差分法、有限元法、邊界元法等等，采用計(jì)算機(jī)求數(shù)值解，理論上可以得到任意要求的精度。本節(jié)要點(diǎn)差分方程的建立簡(jiǎn)單迭代法

超松弛法

1.差分方程的建立1）一般來(lái)說，網(wǎng)格劃分得愈細(xì)所能達(dá)到的精度愈高，但計(jì)算時(shí)間也愈長(zhǎng)；2）網(wǎng)格的劃分有不同的方法，這里僅介紹正方形網(wǎng)格劃分。

首先把求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替。有限差分法是把微分方程在給定點(diǎn)附近用差分代數(shù)方程代替而計(jì)算電位的一種近似方法。差分方程的建立（續(xù)）設(shè)二維平面場(chǎng)中每個(gè)正方形格子的邊長(zhǎng)為h

i-1,j和

i+1,j可以用在點(diǎn)(i,j)附近的泰勒級(jí)數(shù)展開為線與線的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)設(shè)區(qū)域中某點(diǎn)(i,j)的電位為

i,j，則其上下左右四個(gè)點(diǎn)的電位分別為差分方程的建立（續(xù)）同理

i,j+1和

i,j-1在點(diǎn)(i,j)附近的泰勒級(jí)數(shù)展開為在h足夠小的情況下，忽略4階以上的高次項(xiàng),將以上四式相加得泊松方程與拉普拉斯方程的差分形式設(shè)所研究區(qū)域中電荷密度為

V，點(diǎn)(i,j)電位滿足泊松方程

如果所研究的區(qū)域

V=0

，則二維拉普拉斯方程的有限差分形式為

在沒有體電荷分布的區(qū)域，任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。1.簡(jiǎn)單迭代法首先對(duì)待求節(jié)點(diǎn)設(shè)置初值；當(dāng)初值給定后，利用拉普拉斯方程的有限差分形式，按一個(gè)固定的順序（從左到右，從下到上）依次計(jì)算每點(diǎn)的電位，用圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位平均值作為新值，當(dāng)所有的點(diǎn)計(jì)算完后，用它們的新值代替舊值就完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代，直到每一點(diǎn)計(jì)算的新值和舊值之差小于指定的范圍為止。特點(diǎn)是用前一次迭代得到的節(jié)點(diǎn)電位作為下一次迭代的初值。

2.超松弛法

與簡(jiǎn)單迭代法相比，超松弛法有兩點(diǎn)重大改進(jìn)：第一是計(jì)算每一節(jié)點(diǎn)電位時(shí)，把剛才得到的鄰近點(diǎn)第二電位新值代入，即在計(jì)算(i,j)點(diǎn)的電位時(shí)，把它左邊的點(diǎn)和下面的點(diǎn)的電位新值代入，即

第二，再把上式寫成增量的形式由于提前使用了新值，所以加快了收斂速度!

增量超松弛法(續(xù))為了加快收斂，我們引進(jìn)松弛因子s，上式可以表達(dá)為松弛因子s的取值一般在1與2之間，它有一個(gè)最優(yōu)值。如果松弛因子選擇適當(dāng)，收斂速度還將加快。

當(dāng)我們給予每點(diǎn)的增量超過使方程達(dá)到局部平衡所需要的值，將加快收斂速度。[例3-8]長(zhǎng)方形截面的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體槽，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為100V，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。分析：在直角坐標(biāo)系中，矩形槽的電位滿足拉普拉斯方程，利用Laplace方程的差分形式，采用超松弛法即可求得槽內(nèi)的電位。取步長(zhǎng)為1，將長(zhǎng)方形截面劃分成x方向網(wǎng)格數(shù)為16、y方向網(wǎng)格數(shù)為10的格子，共有16×10=160個(gè)網(wǎng)孔、17×11=187個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中槽內(nèi)節(jié)點(diǎn)為15×9=135個(gè)（待求），邊界節(jié)點(diǎn)有187-135=52個(gè)（電位已知）。

設(shè)迭代精度為10-6，利用MATLAB編制程序可以求得結(jié)果。導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布、等位線及電力線這個(gè)問題采用簡(jiǎn)單迭代法需要的迭代次數(shù)為222，而采用超松弛法，當(dāng)松弛因子取1.591時(shí)，在同樣的精度下迭代次數(shù)只有40，顯然超松弛法比簡(jiǎn)單迭代法收斂快。

矩形槽內(nèi)的電位分布是左右對(duì)稱，說明計(jì)算的場(chǎng)域可以縮小一倍。[例3-9]

長(zhǎng)方形截面的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體槽，邊界條件如圖所示，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。

分析：在直角坐標(biāo)系中，矩形槽的電位仍滿足拉普拉斯方程，但這是一個(gè)含第二類邊界條件的問題，仍然利用Laplace方程的差分形式，采用超松弛法求得槽內(nèi)的電位，但須要保證每次迭代后保證第二類邊界上各節(jié)點(diǎn)的取值相等。取步長(zhǎng)為1，將長(zhǎng)方形截面劃分成x方向網(wǎng)格數(shù)為16、y方向網(wǎng)格數(shù)為10的格子，共有16×10=160個(gè)網(wǎng)孔、17×11=187個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中槽內(nèi)節(jié)點(diǎn)為15×9=135個(gè)（待求），邊界節(jié)點(diǎn)有187-135=52個(gè)（電位已知）。

導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布、等位線及電力線矩形槽內(nèi)的電位分布左右不對(duì)稱，且其電位值全部大于零，這是由邊界條件所決定的。

有限差分法第4章恒定電流的磁場(chǎng)

4.1節(jié)恒定磁場(chǎng)的基本方程

4.2節(jié)磁介質(zhì)的磁化、磁場(chǎng)強(qiáng)度4.3節(jié)邊界條件

4.4節(jié)自感和互感

4.1真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程磁通密度及其散度磁通連續(xù)性原理磁矢位和磁偶極子磁場(chǎng)強(qiáng)度安培環(huán)路定律矢量泊松方程本節(jié)要點(diǎn)當(dāng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流恒定時(shí)，它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)也不隨時(shí)間變化----恒定磁場(chǎng)(magnetostatics)1.磁通密度(magneticfluxdensity)

安培力定律C1I1C2I2dl2r2dl1Or1R括號(hào)中的量值取決于電流回路C1的電流分布及場(chǎng)點(diǎn)到源點(diǎn)的距離矢量，而與電流回路C2無(wú)關(guān)磁通密度2.畢奧—薩伐爾定律(Biot-Savart’slaw)

三者互相垂直并遵循右手螺旋關(guān)系。用不帶撇的坐標(biāo)表示場(chǎng)點(diǎn)，用帶撇的坐標(biāo)表示源點(diǎn)

磁通密度的單位為T(特斯拉tesla)，或(韋伯/平方米)，工程上，常因這個(gè)單位太大而選用高斯(Gaussion)，1高斯(G)=10-4特斯拉(T)OSrP(x,y,z)線電流元產(chǎn)生的磁通密度,也稱為畢奧——薩伐爾定律[例4-1]

一根沿z軸放置長(zhǎng)度為2l的直導(dǎo)線通過z方向的電流I。求其在周圍產(chǎn)生的磁通密度。

解：

無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁通密度為

選擇柱坐標(biāo)系，源點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,z

)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(,,z)根據(jù)畢奧——薩伐爾定律，則線電流的磁場(chǎng)3.磁通密度的散度利用式及矢量恒等式磁通密度又根據(jù)恒等式

可得由恒定電流產(chǎn)生的場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)或連續(xù)的場(chǎng)4.磁矢位(magneticvectorpotential)由第1章已知，只有當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的散度和旋度同時(shí)確定時(shí)，這個(gè)矢量場(chǎng)才唯一確定。

庫(kù)侖規(guī)范(Coulomb’sgauge)

A稱為磁矢位，單位為Wb/m（韋伯/米）

矢量A的表達(dá)式為（選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)）磁通密度的散度恒等于零,它可以用矢量的旋度來(lái)表示[例4-2]

電流圓環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)求如圖所示的一個(gè)半徑為a的微小電流環(huán)的磁矢位和磁通密度。

解：電流環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁矢位的表達(dá)式為

上式寫成球坐標(biāo)中的表達(dá)式，有

選擇球坐標(biāo)。源點(diǎn)坐標(biāo)為，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為[例4-2]（續(xù)）令小電流環(huán)的面積S的方向與電流的方向成右手螺旋關(guān)系小電流環(huán)的磁矢位可以表達(dá)為小電流環(huán)的磁通密度為

小電流環(huán)也稱為磁偶極子IS=pm5.磁偶極子

帶電流的圓環(huán)所產(chǎn)生的磁力線在磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)中已證實(shí)：一根微小的永久磁針周圍的磁場(chǎng)分布與微小電流環(huán)周圍的磁場(chǎng)分布是相同的。對(duì)偶：

磁偶極子及其磁場(chǎng)與電偶極子及其電場(chǎng)之間存在對(duì)偶關(guān)系。一種解釋是永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負(fù)磁荷。這種虛構(gòu)的磁荷+qm相隔距離d便形成一個(gè)磁偶極子，其磁矩為pm=qmd，也一定等效于電流回路的磁矩pm=IS

電流的磁場(chǎng)6.磁通連續(xù)性原理

通過任意曲面S上的磁通量（magneticflux）定義為

若曲面S為閉合曲面，則穿過閉合曲面S的磁通量為

對(duì)上式應(yīng)用散度定理，有穿過一個(gè)封閉面的磁通量等于離開這個(gè)封閉面的磁通量，換句話說，磁通線永遠(yuǎn)是連續(xù)的，稱為磁通連續(xù)性原理。CS7.磁場(chǎng)強(qiáng)度與安培環(huán)路定律

自由空間中磁場(chǎng)強(qiáng)度H（magneticintensity）：

安培環(huán)路定律(Ampere’scircuitallaw)：應(yīng)用斯托克斯定理，有磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合路徑的線積分等于閉合路徑所包圍的凈電流由恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)J8.恒定磁場(chǎng)的基本方程積分形式微分形式[例4-3]

載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)一根沿z軸放置的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通過方向的電流I。試用安培定律求空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度與磁通密度。解：由對(duì)稱性，該電流產(chǎn)生的磁力線必然是同心圓，對(duì)任意半徑

空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為磁通密度為用安培定律算得的結(jié)果與例4-1相同，但卻簡(jiǎn)便得多。小結(jié)由恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)（連續(xù)的場(chǎng)）求解磁通密度的三種方法1)用矢量積分式直接求磁通密度2)先求磁矢位再求磁通密度3)安培定律求磁場(chǎng)強(qiáng)度9.矢量泊松方程必須指出：這里的后面是矢量，所以稱為矢量拉普拉斯算子，同標(biāo)量拉普拉斯方程中的算子（后面是標(biāo)量稱為標(biāo)量算子）完全不同。

根據(jù)矢量恒等式：

同時(shí)考慮到庫(kù)侖規(guī)范，有對(duì)于無(wú)源區(qū)域

矢量拉普拉斯方程(vectorialLaplaceequation)矢量泊松方程(vectorialPossionequation)直角坐標(biāo)系中的矢量泊松方程在直角坐標(biāo)系中

由于矢量泊松方程可分解為三個(gè)分量(標(biāo)量)的泊松方程

三個(gè)分量方程和靜電場(chǎng)的電位泊松方程形式相同，因此它們的求解方法也相同。4.2磁介質(zhì)的磁化、磁場(chǎng)強(qiáng)度

物質(zhì)的分類磁化強(qiáng)度磁化介質(zhì)的磁矢位束縛電流密度媒質(zhì)的本構(gòu)方程本節(jié)要點(diǎn)1.物質(zhì)的分類抗磁體(diamagnetic)—感受輕微推斥力的物質(zhì)。順磁體(paramagnet)—受到輕微力量拉向中心的物質(zhì)。鐵磁體(ferromagnetic)—被磁力吸進(jìn)去的物質(zhì)。鐵磁物質(zhì)所受磁力可能是順磁物質(zhì)所受磁力的5000倍。如鐵、磁鐵礦等像金屬鋁、銅等由于順磁物質(zhì)與抗磁物質(zhì)所受的力很弱，因此將它們歸在一起，統(tǒng)稱為非磁性物質(zhì)，且非磁性物質(zhì)的磁導(dǎo)率與自由空間的相同。所有的有機(jī)化合物和大部分無(wú)機(jī)化合物是抗磁體2.磁性物質(zhì)的磁化

其磁偶極矩的表達(dá)式為在沒有外加磁場(chǎng)時(shí)，就一般媒質(zhì)而言，由于各分子磁矩的取向隨機(jī)而相互抵消，對(duì)外不呈磁性。在外施磁場(chǎng)作用下，各分子磁矩沿磁場(chǎng)方向排列，媒質(zhì)內(nèi)部磁偶極子的有序排列，相當(dāng)于沿媒質(zhì)表面流動(dòng)的這些電流稱為束縛電流(boundcurrent)它在媒質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)附加場(chǎng)。分子中的電子以恒速圍繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)形成分子電流，它相當(dāng)于一個(gè)微小電流環(huán)可以等效為磁偶極子3.磁化的物理過程

(a)(b)(c)(a)磁偶極子隨機(jī)排列的磁性物質(zhì)(b)外場(chǎng)使磁偶極子有序排列

(c)(b)中排列好的電流環(huán)等效于沿物質(zhì)表面的電流4.磁化強(qiáng)度設(shè)在體積內(nèi)有n個(gè)原子，pmi是第i個(gè)原子的磁矩，于是單位體積的磁矩定義為設(shè)在磁化介質(zhì)中取一個(gè)體積元，其磁矩為，由它所產(chǎn)生的磁矢位為體積V內(nèi)的磁化磁矩所產(chǎn)生的磁矢位為如果M

，表明該物體是已經(jīng)磁化的5.束縛電流密度利用恒等式磁矢位可重寫為束縛體電流密度

束縛面電流密度

6.本構(gòu)方程(constitutiveequations)

對(duì)于線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)，有比例常數(shù)稱為磁化率(magneticsusceptibility)

本構(gòu)方程——

媒質(zhì)的磁導(dǎo)率(permeability)——

在計(jì)算磁化后總的合成磁場(chǎng)時(shí)，可以把媒質(zhì)所占空間視為真空，由束縛電流和自由電流在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行疊加討論對(duì)于順磁物質(zhì)，

m數(shù)量級(jí)為10-3的正數(shù)；對(duì)于抗磁物質(zhì)，

m數(shù)量級(jí)為10-610-9的負(fù)數(shù)；對(duì)于上述兩種物質(zhì)的

r都接近于1。一般工程中常把這些物質(zhì)的磁性質(zhì)看作與真空相同。鐵磁物質(zhì)的B與H不成線性關(guān)系，且B與H的函數(shù)關(guān)系隨鐵磁物質(zhì)的結(jié)構(gòu)而異，但仍滿足B=

H，只是其中的

不再是常數(shù)。BrHm-HmBm-BmBr為剩余磁通硬磁材料----永久磁鐵（直流電機(jī)）軟磁材料----交流電磁滯回線-----每周磁滯損耗磁滯回線4.3

邊界條件

磁通密度的邊界條件磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條件兩種媒質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的方向本節(jié)要點(diǎn)1.邊界條件表達(dá)式兩種磁介質(zhì)的分界面在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，有如果分界面上的面電流密度為零，則2.兩種特殊情況

磁介質(zhì)2磁介質(zhì)1

鐵磁體非磁物質(zhì)

磁場(chǎng)垂直穿過兩種磁介質(zhì)的分界面時(shí)，磁場(chǎng)的方向不改變，且數(shù)值相等磁場(chǎng)由鐵磁體物質(zhì)穿出進(jìn)入一個(gè)非磁性物質(zhì)的區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)幾乎垂直于鐵磁體物質(zhì)的表面[例4-4]

設(shè)x<0的半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻媒質(zhì)，x>0的半空間的磁導(dǎo)率為，現(xiàn)有一無(wú)限長(zhǎng)直電流沿z軸正向流動(dòng)，且處在兩種媒質(zhì)的分界面上，如圖所示。求兩種媒質(zhì)中的磁通密度和磁化電流的分布。兩種媒質(zhì)中的磁通密度解：根據(jù)安培定律在兩種媒質(zhì)的交界面上磁通密度的法向分量連續(xù)再利用媒質(zhì)的本構(gòu)方程可以求得兩種媒質(zhì)中的磁通密度為[例4-4]（續(xù)）由于導(dǎo)磁媒質(zhì)是均勻的，所以媒質(zhì)內(nèi)部無(wú)磁化電流。

在兩種媒質(zhì)的分界面上，由于磁場(chǎng)與界面垂直，故也沒有磁化電流。

在電流與媒質(zhì)相接觸的媒質(zhì)分界面上，存在磁化電流

Ib磁化電流為

現(xiàn)以z軸為中心軸作一圓，并用安培定律，得[例4-4]中的磁場(chǎng)強(qiáng)度與磁通密度分布4.4自感和互感磁通和全磁通磁鏈自感和互感本節(jié)要點(diǎn)1.自感(self-inductance)

在線性媒質(zhì)中，一個(gè)電流回路在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度的大小與其電流成正比，因而穿過回路的磁通量也與回路電流成正比；

如果一個(gè)回路是由一根導(dǎo)線密繞成N匝，則穿過這個(gè)回路的總磁通（稱為全磁通）等于與單匝線圈交鏈的磁通和匝數(shù)的乘積；全磁通又稱為磁鏈(magneticfluxlinkage)。

自感——穿過回路的磁鏈?zhǔn)怯苫芈繁旧淼碾娏鳟a(chǎn)生的，則磁鏈與電流的比值稱為自感。自感取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導(dǎo)率。

2.互感(mutualinductance)若有兩個(gè)彼此靠近的回路C1和C2，電流分別為I1和I2，如果回路C1中電流I1所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C2相交鏈的磁鏈為

12C1C2I1I2S1S2M12和M21均稱為回路與的互感，且有M12=M21

如果回路C2中電流I2所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C1相交鏈的磁鏈為

21，則

21與I2的比值定義為互感則互