高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題

高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題1.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則有以下哪個(gè)命題成立？（A）F(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是奇函數(shù)。（B）F(x)是奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是偶函數(shù)。（C）F(x)是周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是周期函數(shù)。（D）F(x)是單調(diào)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是單調(diào)函數(shù)。2.設(shè)函數(shù)f(x)=e^(1/(x-1))/(x-1)，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？（A）x=0和x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。（B）x=0和x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)。（C）x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)。（D）x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。3.設(shè)f(x)=x^(1/x)，x≠0,1，則f[f(x)]=（）（A）1-x（B）1-x^2（C）x^(1/x)（D）x^(x^(-1/x))4.下列哪個(gè)極限等于1？（A）lim(1+x)^(1/x)，x→+∞（B）lim(1+x)^(1/x)，x→0+（C）lim(1-x)^(1/x)，x→+∞（D）lim(e^x)/(e^x+1)，x→+∞5.已知f(x)=9，則a=（）（A）1（B）∞（C）ln3（D）2ln36.求lim(x→+∞)(x+1)/(x^3+2)的值。（A）0（B）∞（C）e^(-2)（D）e^27.求lim(x→3)(x/(x-3))的值。（A）1（B）∞（C）0（D）28.求lim(x→0)(sinx/x)的值。（A）0（B）∞（C）不存在（D）19.求lim(x→+∞)(x^2+x-x)/(x^3+2x+1)的值。（A）0（B）∞（C）2（D）110.求lim(x→0)(sinx/tanx)的值。（A）0（B）∞（C）1（D）不存在11.求lim(x→+∞)sin(2x)/(2x+1)的值。12.求lim(x→0)arctan(x)/x的值。13.若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，則lim(x→x0)(f(x)-f(x0))的值為__________；sin(5x)/x的極限為___________；(1-1/n)^n的極限為___________。14.求lim(x→∞)x/(x^2-1)的值。15.求lim(n→∞)√(n)/(n+1)的值。16.若函數(shù)y=2^x，則y=x^log2(2)。1.本題為選擇題，正確答案為A。2.改寫后的內(nèi)容如下：45.求$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{2n}(1+\dfrac{1}{x})$。46.求$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1+kx}$。47.求$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1+kx}{x}$。48.研究函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性。49.判斷函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\sinx,&x\neq1\\x,&x=1\end{cases}$在$x=1$處的連續(xù)性。50.判斷函數(shù)$f(x)=\begin{cases}1,&x=1\\\dfrac{1}{x-1},&x\neq1\end{cases}$在$x=1$處的連續(xù)性。51.判斷函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\neq1\\1,&x=1\end{cases}$在$x=1$處的連續(xù)性。52.證明函數(shù)$f(x)=x^2$是連續(xù)函數(shù)。53.求$\lim\limits_{x\tox_0}\dfrac{\ln(1+x)}{x^2-1}$。54.求$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\lnx}{x-1}$。55.證明方程$2x^3-3x^2+2x-3=0$在區(qū)間$[1,2]$至少有一根。56.求$\lim\limits_{x\to\sin^2x}\tanx$。57.證明正弦函數(shù)$y=\sinx$在$(-\infty,+\infty)$內(nèi)連續(xù)。58.判斷函數(shù)$f(x)=|x|$在$x=0$處的連續(xù)性。59.判斷函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac{1}{x},&x\neq0\\a,&x=0\end{cases}$在$x=0$處的連續(xù)性。60.求$\lim\limits_{x\tox_0}\dfrac{ax-1}{x-1}$。1.改寫后：求極限lim(3x/(x-1)+1)/(2/(x+1)+3x)，當(dāng)x趨近于無窮大時(shí)。2.改寫后：求極限lim(x^2-2)/(x^3-x^2+x-1)，當(dāng)x趨近于無窮大時(shí)。3.改寫后：求極限lim(2sinx)/(1-cosx)，當(dāng)x趨近于0時(shí)。4.改寫后：求極限lim(1+1/n)^n，當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)。5.改寫后：求極限lim((1+kx)/(kx))^(-1)，當(dāng)x趨近于無窮大時(shí)。6.改寫后：證明函數(shù)f(x)=x^2在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上都是連續(xù)函數(shù)。7.刪除此段，因?yàn)闆]有明顯的問題或錯(cuò)誤。8.改寫后：證明函數(shù)f(x)=1/x在x=0處存在第一類間斷點(diǎn)。9.改寫后：證明函數(shù)f(x)=|x|在x=0處存在第二類間斷點(diǎn)。10.改寫后：證明函數(shù)f(x)=1/(x-1)在x=1處存在第二類間斷點(diǎn)。11.刪除此段，因?yàn)闆]有明顯的問題或錯(cuò)誤。12.改寫后：求極限lim(sin3x/x)^3，當(dāng)x趨近于0時(shí)。1.解：ln(1+x)lim=limln(1+x)/x=lnlim(1+x)^x=lne=1x→0x→0x→02.解：[(x+1)lnx]/(x^2-1)=2x/(x+1)lnx=2/[(x+1)/xlnx]=2/[(1+1/x)lnx]→2/ln2(asx→1)3.證明：設(shè)f(x)=2x^3-3x^2+2x-3，則f(x)在[1,2]上連續(xù)，f(1)=-2<0，f(2)=5>0根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)ξ∈(1,2)使f(ξ)=0，則x=ξ就是方程的根。4.原式=lim(1/x^2)tanx(1-cosx)=lim(1/x^2)sinx/(1+cosx)=lim(1/x^2)sinx/(sinx)^2=lim1/(x^2sinx)=1/3(asx→0)5.任給x一個(gè)增量Δx，對(duì)應(yīng)的有函數(shù)y的增量Δy=sin(x+Δx)-sinx=2sin(Δx/2)cos(x+Δx/2).∵|Δy|≤2|sin(Δx/2)|≤2|Δx/2|=|Δx|∴正確，由夾逼準(zhǔn)則知，Δy→0(Δx→0)6.解：注意f(x)是分段函數(shù)，且點(diǎn)x=0兩側(cè)f表達(dá)式不一致?！遞(-x)=|x|，解法1：limf(-x)=lim|x|=0，∴l(xiāng)imf(x)=f(0)=0.x→0-x→0-x→0f(+)=limf(x)=limx=0，∴函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)。x→0+x→0+解法2：limf(x)=lim|x|=0，∴函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)。7.證：雖然f是分段函數(shù)，但點(diǎn)x=0兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式一致。M×limf(x)=limxsin(1/x)=0，∴f(x)在點(diǎn)x=0處