清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQ-Chapter-10能量原理-A復(fù)習(xí)課程課件

馮西橋清華大學(xué)工程力學(xué)系2007.12.19第十章能量原理EnergyMethods馮西橋第十章能量原理能量原理Chapter10

泛函的極值與變分

能量方法的一些基本概念可能功原理和功的互等定理虛功原理和余虛功原理最小勢(shì)能原理和最小余能原理彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程彈性力學(xué)變分問題的直接解法能量原理Chapter10泛函的極值與變分變分與變分法AppendixB泛函極值問題函數(shù)的微分與變分復(fù)合函數(shù)的變分泛函的變分變分法泛函的極值與變分變分與變分法AppendixB泛函極值問題泛函的極值A(chǔ)ppendixB.1泛函極值問題求條件極值的拉格朗日乘子法條件極值問題：求函數(shù)在滿足條件下的極值。引入函數(shù)：

駐值條件：

AppendixB.1泛函極值問題求條件極值的AppendixB.1泛函極值問題如果變量J依賴于在一定約束條件下函數(shù)關(guān)系可以任意變化的函數(shù)y(x)，此y(x)稱為自變函數(shù)，而依賴于自變函數(shù)的變量稱為泛函。泛函泛函：函數(shù)：AppendixB.1泛函極值問題如果變量J依賴于在一AppendixB.1泛函極值問題例1

最短連線問題連接A，B兩點(diǎn)的曲線長度L是隨曲線形狀，即曲線方程y=y(x)而變的，它是自變函數(shù)y(x)的泛函：AppendixB.1泛函極值問題例1最短連線問題AppendixB.1泛函極值問題現(xiàn)在要找函數(shù)L（曲線長度）取極小值的自變函數(shù)（曲線形狀），利用后面的知識(shí)，可以自己證明它就是連接A，B兩點(diǎn)的直線。在本例中容許參加比較長度的任何曲線都必須通過A，B兩點(diǎn)，這就是具體問題對(duì)自變函數(shù)y(x)提出的約束條件。能滿足這約束條件的函數(shù)有無窮多個(gè)，其中每個(gè)都稱為容許函數(shù)。所以，所謂“自變函數(shù)y(x)”并不表示某種固定的函數(shù)關(guān)系，它可以在容許的函數(shù)簇中任意選擇和變化。AppendixB.1泛函極值問題現(xiàn)在要找函數(shù)AppendixB.1泛函極值問題例2懸臂梁問題

懸臂梁-砝碼系統(tǒng)的總勢(shì)能是懸臂梁撓度曲線y(x)的泛函。

可以證明，使總勢(shì)能取極小值的撓度曲線就是懸臂梁處于平衡狀態(tài)時(shí)的實(shí)際撓度曲線。AppendixB.1泛函極值問題例2懸臂梁問題可以AppendixB.1泛函極值問題左端受到約束邊界條件：右端是自由邊界條件。在泛函中容許出現(xiàn)與自變函數(shù)在無約束端處的邊界值y(l)有關(guān)的項(xiàng)，稱為邊界項(xiàng)。

AppendixB.1泛函極值問題左端受到約束邊界條件：AppendixB.1泛函極值問題當(dāng)自變函數(shù)y(x)改變時(shí)，泛函的值也將隨之改變。定義：若泛函在狀態(tài)下的值，比在的鄰域內(nèi)任意狀態(tài)y(x)下的值都?。ɑ蚨即螅?，

即

則稱泛函在狀態(tài)下取極小值（或極大值），統(tǒng)稱取極值?；駻ppendixB.1泛函極值問題當(dāng)自變函數(shù)y(x)改AppendixB.2函數(shù)的微分和變分微分：函數(shù)的微分和變分變分：AppendixB.2函數(shù)的微分和變分微分：函數(shù)函數(shù)的變分：當(dāng)y(x)是某個(gè)泛函的自變函數(shù)時(shí)，函數(shù)本身可以直接變成與它相鄰的容許函數(shù)：其中

和x是無關(guān)的無窮小量，函數(shù)

(x)應(yīng)在一定范圍內(nèi)選擇，首先它應(yīng)是y(x)的同類函數(shù)以保證當(dāng)時(shí)，不僅函數(shù)和y(x)本身，而且它們的各階導(dǎo)數(shù)都無限接近。此外，它們還應(yīng)滿足具體問題提出的約束條件，以保證是容許函數(shù)。AppendixB.2函數(shù)的微分和變分函數(shù)的變分：當(dāng)y(x)是某個(gè)泛函的自變函數(shù)時(shí)，函數(shù)本身可AppendixB.2函數(shù)的微分和變分這種因函數(shù)關(guān)系的直接變化引起的自變函數(shù)的增量稱為函數(shù)的一階變分，簡稱變分，記為

y。在變分過程中，函數(shù)y(x)的自變量x保持不變，如圖所示，

y是同一自變量處相鄰兩條曲線的函數(shù)值之差。AppendixB.2函數(shù)的微分和變分這種因函數(shù)關(guān)系的直接AppendixB.2函數(shù)的微分和變分函數(shù)y(x)的一階導(dǎo)數(shù)仍是自變量x的函數(shù)。于是的變分為AppendixB.2函數(shù)的微分和變分函數(shù)y(x)的一AppendixB.2函數(shù)的微分和變分復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的變分微分：AppendixB.2函數(shù)的微分和變分復(fù)合函數(shù)復(fù)AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分設(shè)復(fù)合函數(shù)與自變函數(shù)y(x)及其各階導(dǎo)數(shù)與y(x)的自變量x有關(guān)，由自變函數(shù)的變分

y所引起的函數(shù)增量

F的線性主部稱為復(fù)合函數(shù)的一階變分，記為

F。

若先把看作是函數(shù)F的n＋2個(gè)“獨(dú)立變量”，則根據(jù)多元函數(shù)全微分公式，由這些變量的增量所引起的F的增量主部為：AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分設(shè)復(fù)合函數(shù)AppendixB.2函數(shù)的微分和變分復(fù)合函數(shù)的變分微分：變分：AppendixB.2函數(shù)的微分和變分復(fù)合函數(shù)的變分AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分又∵∴高階變分：AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分又∵∴高階變分AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分由于變分

y可以獨(dú)立選擇，與自變量y及其各階導(dǎo)數(shù)無關(guān)，所以變分

y（及其各階導(dǎo)數(shù)）對(duì)自變量y（及其各階導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即作為自變函數(shù)的增量，

y（及其各階導(dǎo)數(shù)）的高階變分均為零，即AppendixB.3復(fù)合函數(shù)的變分由于變分y可以獨(dú)立選AppendixB.4泛函的變分泛函和復(fù)合函數(shù)的區(qū)別是：復(fù)合函數(shù)依賴于自變量x，而泛函則依賴于自變函數(shù)y(x)。當(dāng)x給定后，立即能算出復(fù)合函數(shù)F的一個(gè)相應(yīng)值，但算不出泛函J的值來，因?yàn)镴和定義域內(nèi)的所有（而不是一個(gè)）x處的函數(shù)值F有關(guān)。泛函的變分AppendixB.4泛函的變分泛函和復(fù)合函數(shù)的區(qū)別是：復(fù)AppendixB.4泛函的變分泛函J的各階變分：由變分

y引起的泛函J的增量為：AppendixB.4泛函的變分泛函J的各階變分：AppendixB.5變分法變分法的基本問題：在滿足約束條件的容許函數(shù)中，求能使泛函J(y(x))取極值的自變函數(shù)，若其中；

y(x)為鄰域內(nèi)的任意容許函數(shù)。AppendixB.5變分法變分法的基本問題：在滿足約束條AppendixB.5變分法泛函極值的必要條件（駐值條件）為泛函的一階變分為零，即泛函的極值的充分條件還需考慮二階變分，即若，則還需看高階變分的性質(zhì)。AppendixB.5變分法泛函極值的必要條件（駐值條件）AppendixB.5變分法變分法的基本預(yù)備定理

設(shè)

(x)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，

y是該區(qū)間上自變函數(shù)y(x)的變分，如果

y在滿足約束條件的前提下任意變化時(shí)，下式始終成立

則被積函數(shù)

(x)在區(qū)間上處處為零，即AppendixB.5變分法變分法的基本預(yù)備定理

一元自變函數(shù)的泛函駐值問題在域內(nèi)y(x)應(yīng)具有直到四階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。在x=a處為約束邊界，指定：在x=b處為自由邊界。AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件一元自變函數(shù)的泛函駐值問題AppendixB.6歐拉方程AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件根據(jù)兩端的邊界條件，變分

y的邊界值應(yīng)滿足：泛函的駐值條件為：AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件根據(jù)兩端的邊界AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件自然邊界條件歐拉微分方程AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件自然邊界條件歐AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件若令則化為懸臂梁問題的泛函問題。相應(yīng)的歐拉方程為即為材料力學(xué)中梁的撓度微分方程。即AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件若令即AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件自然邊界條件成：這就是自由端處剪力和彎矩的力邊界條件。此外，基本邊界條件就是固支端的位移邊界條件：這時(shí)歐拉方程的解就是圖中所示的懸臂梁的實(shí)際撓度曲線。AppendixB.6歐拉方程和自然邊界條件自然邊界條件成能量原理Chapter10泛函的極值與變分變分提法的基本概念和術(shù)語可能功原理，功的互等定理虛功原理和余虛功原理最小勢(shì)能原理和最小余能原理彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程彈性力學(xué)變分問題的直接解法能量原理Chapter10泛函的極值與變分基本概念和術(shù)語Chapter10.1變分方法（能量法）：考慮整個(gè)系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立泛函變分方程在給定約束條件下，求泛函極值的變分問題彈性力學(xué)的微分提法和變分提法微分方法：從微元入手，建立基本微分方程在給定邊界條件下求解微分方程的邊值問題基本概念和術(shù)語Chapter10.1變分方法（能量法）：基本概念和術(shù)語Chapter10.1

變分問題的兩種解法歐拉法：將變分方程轉(zhuǎn)化為微分方程（稱為歐拉方程）進(jìn)行求解。

直接法：直接求解變分方程?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1變分問題的兩種解法基本概念和術(shù)語Chapter10.1真實(shí)狀態(tài)與可能狀態(tài)彈性力學(xué)的三類基本關(guān)系

變形關(guān)系：幾何方程和位移邊界條件靜力關(guān)系：包括平衡方程和力邊界條件。在靜力關(guān)系中只出現(xiàn)力學(xué)量，而與幾何量無關(guān)。本構(gòu)關(guān)系：把力學(xué)量和幾何量聯(lián)系起來?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1真實(shí)狀態(tài)與可基本概念和術(shù)語Chapter10.1以前各章都致力于直接尋找同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系的真實(shí)狀態(tài)。本章則分兩步來處理：首先尋找滿足部分基本關(guān)系的可能狀態(tài)，然后再從可能狀態(tài)中尋找滿足全部基本關(guān)系的真實(shí)狀態(tài)?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1以前各章都致力于直接尋基本概念和術(shù)語Chapter10.1能量原理中的可能狀態(tài)：變形可能狀態(tài)或運(yùn)動(dòng)可能狀態(tài)：滿足變形關(guān)系，而不管它是否滿足靜力關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系的任何變形狀態(tài)。用右上角加(k)來表示。描述變形可能狀態(tài)的基本量是變形可能位移和變形可能應(yīng)變。

基本概念和術(shù)語Chapter10.1能量原理中的可能狀態(tài)：基本概念和術(shù)語Chapter10.1經(jīng)典能量原理中的可能狀態(tài)有兩類：可能位移：應(yīng)連續(xù)，且滿足給定的位移邊界條件；可能應(yīng)變：和可能位移應(yīng)滿足幾何方程。變形可能狀態(tài)有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是真實(shí)變形狀態(tài)。真實(shí)變形狀態(tài)是由物體所受載荷引起的，變形可能狀態(tài)則與給定載荷沒有必然的因果關(guān)系?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1經(jīng)典能量原理中的可能狀基本概念和術(shù)語Chapter10.1虛位移：從某一可能位移到相鄰的另一可能位移的微小位移變化，記作基本概念和術(shù)語Chapter10.1虛位移：從某一可能位移基本概念和術(shù)語Chapter10.1靜力可能狀態(tài)：滿足靜力關(guān)系（平衡方程和給定的力邊界條件），而不管它是否滿足變形關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系的任何平衡狀態(tài)。用右上角加(s)的符號(hào)表示，如靜力可能狀態(tài)也有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是真實(shí)狀態(tài)。虛應(yīng)力：可能應(yīng)力場(chǎng)的變分基本概念和術(shù)語Chapter10.1靜力可能狀態(tài)：滿足靜力基本概念和術(shù)語Chapter10.1

小結(jié)真實(shí)狀態(tài)滿足：變形關(guān)系、靜力條件、本構(gòu)關(guān)系

變形（幾何）可能狀態(tài)：只需滿足變形關(guān)系

可能位移：連續(xù)（三階可導(dǎo)），滿足位移邊界條件

可能應(yīng)變：由可能位移，由幾何關(guān)系算得

虛位移：由一種可能位移到相鄰另一種可能位移之間的微小位移變化（變分）基本概念和術(shù)語Chapter10.1小結(jié)基本概念和術(shù)語Chapter10.1

靜力可能狀態(tài)：只需滿足靜力關(guān)系

可能應(yīng)力：滿足靜力平衡條件和力邊值條件

虛應(yīng)力：從一種可能應(yīng)力到相鄰的另一種可能應(yīng)力之間的微小應(yīng)力變化（變分）

虛載荷：與虛應(yīng)力平衡的載荷，基本概念和術(shù)語Chapter10.1靜力可能狀態(tài)：只需滿基本概念和術(shù)語Chapter10.1變形功、可能功與虛功廣義力：某個(gè)按同一比例加載的力系（如：彎矩、扭矩）廣義位移：與所作用的廣義力求內(nèi)積等于功的幾何量（如：轉(zhuǎn)角、扭角）基本概念和術(shù)語Chapter10.1變形功、可能基本概念和術(shù)語Chapter10.1變形功：載荷在其本身所引起的物體準(zhǔn)靜態(tài)彈性變形上所做的功。線彈性情況：

可能功和虛功：載荷在任何運(yùn)動(dòng)可能位移（或虛位移）上所做的功?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1變形功：載荷在其本身載荷P在其本身所引起的撓度w上所做的變形功為：假設(shè)梁產(chǎn)生一個(gè)變形可能位移，在A點(diǎn)出的撓度值為，則載荷P在可能撓度上所做的可能功為：基本概念和術(shù)語Chapter10.1wA載荷P在其本身所引起的撓度w上所做的變形功為：基本基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性應(yīng)變能和彈性應(yīng)變余能U和Uc分別是物體應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的單值泛函，與變形歷史無關(guān)?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1彈性應(yīng)變能和基本概念和術(shù)語Chapter10.1真實(shí)狀態(tài)的W和Wc滿足如下互余關(guān)系

應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：線彈性體：基本概念和術(shù)語Chapter10.1真實(shí)狀態(tài)的W和總勢(shì)能定義為：彈性體的應(yīng)變能和載荷系統(tǒng)的外力勢(shì)之和，即基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性系統(tǒng)的勢(shì)能基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性系統(tǒng)的勢(shì)能基本概念和術(shù)語Chapter10.1為了保證功與路徑無關(guān)，式中的被積函數(shù)應(yīng)為全微分

所以V(ui)也是一個(gè)與路徑無關(guān)的、單值連續(xù)的狀態(tài)函數(shù)，稱為力系Fi的勢(shì)能，簡稱為勢(shì)。勢(shì)能勢(shì)力系所具有的作功能力。

基本概念和術(shù)語Chapter10.1為了保證功與路徑無關(guān)，基本概念和術(shù)語Chapter10.1利用全微分公式，將右式寫成：這說明保守力系的三個(gè)分類Fi都是由同一個(gè)勢(shì)函數(shù)V派生出來的，因而保守力系又稱為有勢(shì)力系。

進(jìn)一步考察V的二階偏導(dǎo)數(shù)得：

若已知某力系的三個(gè)分量，可用此式來檢驗(yàn)它是否是保守力系?；靖拍詈托g(shù)語Chapter10.1利用全微分公式，將右式基本概念和術(shù)語Chapter10.1不變力系勢(shì)能的公式

基本概念和術(shù)語Chapter10.1不變力系勢(shì)能的公式基本概念和術(shù)語Chapter10.1應(yīng)變能

體力勢(shì)

面力勢(shì)

外力勢(shì)基本概念和術(shù)語Chapter10.1應(yīng)變能體力勢(shì)面力勢(shì)總余勢(shì)能定義為：彈性體的應(yīng)變余能和支承系統(tǒng)的余能之和，即基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性系統(tǒng)的余能基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性系統(tǒng)的余能彈性系統(tǒng)總余能

c的定義為應(yīng)變余能Uc和支撐系統(tǒng)的余勢(shì)Vc之和，即當(dāng)彈性系統(tǒng)的支撐邊界允許有位移時(shí)，被支撐系統(tǒng)所吸收或通過支撐系統(tǒng)傳遞給其他物體的那部分多余能量稱為支撐系統(tǒng)的余勢(shì)，記為Vc，它等于邊界給定位移在反力Ri上所做功(稱為余功)的負(fù)值。注意到Ri是靜力可能的反力，與邊界給定位移無關(guān)，則基本概念和術(shù)語Chapter10.1彈性系統(tǒng)總余能c的定義為應(yīng)變余能Uc和支撐系統(tǒng)的余勢(shì)Vc之基本概念和術(shù)語Chapter10.1設(shè)圖中位移邊界Su上的反力為pi，則支撐系統(tǒng)的余勢(shì)為系統(tǒng)總余能

基本概念和術(shù)語Chapter10.1設(shè)圖中位移邊界Su上的能量原理Chapter10泛函的極值和變分基本概念和術(shù)語

可能功原理，功的互等定理虛功原理和余虛功原理最小勢(shì)能原理和最小余能原理彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程彈性力學(xué)變分問題的直接解法能量原理Chapter10泛函的極值和變分

可能功原理可能功原理&功的互等定理Chapter10.2第一狀態(tài)(s)第二狀態(tài)(k)可能功原理可能功原理&功的互等定理Chapte可能功原理&功的互等定理Chapter10.2這里的體力和面力不一定和物體所受的實(shí)際載荷相同，它們是由任選的某個(gè)可能應(yīng)力場(chǎng)按上述兩式算出來的可能外力，所以是一種別上節(jié)中定義的靜力可能狀態(tài)更為廣泛的廣義靜力可能狀態(tài)，簡稱狀態(tài)(s)。在此狀態(tài)中，不考慮物體的材料性能，也不管是否存在協(xié)調(diào)的應(yīng)變場(chǎng)和連續(xù)的位移場(chǎng)。第二狀態(tài)完全用幾何量(應(yīng)變和位移)來描述，見圖。它在域內(nèi)滿足幾何方程：可能功原理&功的互等定理Chapter10.2這里的體可能功原理&功的互等定理Chapter10.2并且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場(chǎng)在邊界處的值，而沒有力邊界。這里的邊界位移可以和物體所受的實(shí)際約束無關(guān)，所以是一種廣義變形可能狀態(tài)，簡稱狀態(tài)(k)。在此狀態(tài)中，不考慮物體的材料性能，也不管是否存在平衡的應(yīng)力場(chǎng)。

應(yīng)該指出，狀態(tài)(s)和狀態(tài)(k)是相互獨(dú)立的，可以根據(jù)方便的原則自由選擇?？赡芄υ?功的互等定理Chapter10.2并且要求可能功原理&功的互等定理Chapter10.2考慮狀態(tài)(s)中的體力、面力和可能應(yīng)力在狀態(tài)(k)的相應(yīng)可能位移和可能應(yīng)變上所做的功，分別為：利用邊界條件和高斯積分定理，把面力功Ap改寫成可能功原理&功的互等定理Chapter10.2考慮狀態(tài)可能功原理&功的互等定理Chapter10.2

可能功原理即：可能功原理&功的互等定理Chapter10.2可能功原理&功的互等定理Chapter10.2即即可能外力(體力和面力)在可能位移上所做的功等于可能應(yīng)力在相應(yīng)可能應(yīng)變上所做的功，這稱為可能功原理?？赡芄υ?功的互等定理Chapter10.2即即可能可能功原理&功的互等定理Chapter10.2

物理意義外力與內(nèi)力構(gòu)成自平衡力系，它們?cè)诳赡芪灰粕献龅目偣榱?/p>

適用性

靜力可能狀態(tài)和幾何可能狀態(tài)是完全獨(dú)立的；

與本構(gòu)關(guān)系無關(guān)，適用于任何連續(xù)介質(zhì)

可能應(yīng)力和位移不要求是微小量，但要求可能功原理&功的互等定理Chapter10.2物理意可能功原理&功的互等定理Chapter10.2

功的互等定理（Betti互等定理）把可能功原理用于線彈性體就可導(dǎo)出功的互等定理。第二狀態(tài)(2)第一狀態(tài)(1)可能功原理&功的互等定理Chapter10.2可能功原理&功的互等定理Chapter10.2

功的互等定理（Betti互等定理）把可能功原理用于線彈性體就可導(dǎo)出功的互等定理?？紤]同一物體的兩種不同真實(shí)狀態(tài)，設(shè)第一狀態(tài)的體力和面力為和，相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)為，和；第二狀態(tài)則為，和，，。由于都是真實(shí)狀態(tài)，所以兩個(gè)狀態(tài)都同時(shí)是靜力可能狀態(tài)和變形可能狀態(tài)，并且都滿足廣義虎克定理可能功原理&功的互等定理Chapter10.2可能功原理&功的互等定理Chapter10.2先把第一狀態(tài)選作狀態(tài)(s)，第二狀態(tài)選作狀態(tài)(k)，則根據(jù)可能功原理有：再把第二狀態(tài)選作狀態(tài)(s)，第一狀態(tài)選作狀態(tài)(k)，同理有：可能功原理&功的互等定理Chapter10.2先把第一可能功原理&功的互等定理Chapter10.2對(duì)于線彈性體，由彈性張量的對(duì)稱性得這稱為內(nèi)功互等定理。這稱為外功互等定理或Betti互等定理?？赡芄υ?功的互等定理Chapter10.2對(duì)于線彈可能功原理&功的互等定理Chapter10.2Betti互等定理：若線彈性體受兩組不同的力作用，則第一組力在第二組力引起的位移上所做的功等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功。優(yōu)點(diǎn)：可以避免求解物體內(nèi)應(yīng)力、應(yīng)變和位移場(chǎng)的復(fù)雜過程，而直接從整體變形的角度來處理問題。適用性：線彈性體

可能功原理&功的互等定理Chapter10.2Bett可能功原理&功的互等定理Chapter10.2例可能功原理&功的互等定理Chapter10.2例能量原理Chapter10基本概念和術(shù)語可能功原理，功的互等定理

虛功原理和余虛功原理最小勢(shì)能原理和最小余能原理彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程彈性力學(xué)變分問題的直接解法能量原理Chapter10基本概念和術(shù)語虛功原理和余虛功原理Chapter10.3對(duì)可能位移取變分，即假想發(fā)生一個(gè)約束允許的、無限小的虛位移，根據(jù)可能功原理，有

虛功原理（虛位移原理）或其中:虛功原理和余虛功原理Chapter10.3對(duì)可能位移取變分正定理：外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功，即逆定理：凡是總能滿足虛功原理的應(yīng)力場(chǎng)，必定是與外力相平衡，且滿足力邊界條件的靜力可能應(yīng)力場(chǎng)。（滿足虛功原理與滿足平衡方程和力邊界條件是等價(jià)的）虛功原理和余虛功原理Chapter10.3虛功原理的兩種敘述方式虛功原理和余虛功原理Chapter10.3虛功原理的兩虛功原理和余虛功原理Chapter10.3用虛功原理解題的步驟：假設(shè)可能位移場(chǎng)，它包含n個(gè)待定參數(shù)。由幾何方程和本構(gòu)方程得到由對(duì)應(yīng)的應(yīng)力把求變分，得到虛位移和虛應(yīng)變。由虛功原理解出各待定參數(shù)。虛功原理和余虛功原理Chapter10.3用虛功原理解題的虛功原理和余虛功原理Chapter10.3例2：求簡支梁的撓度取：■■對(duì)位移變分：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3例2：求簡支梁的虛功原理和余虛功原理Chapter10.3■求內(nèi)力：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3■求內(nèi)力：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3代入虛功方程，求待定系數(shù)：得到問題的解:■■虛功原理和余虛功原理Chapter10.3代入虛功方程，求虛功原理和余虛功原理Chapter10.3時(shí)精確解：0.07%0.020818230.23%0.020785421.45%0.02053191n虛功原理和余虛功原理Chapter10.3時(shí)精確解：0.0虛功原理和余虛功原理Chapter10.3

余虛功原理可能功有兩種變分形式:它對(duì)位移(應(yīng)變)的變分稱為虛功，對(duì)力(應(yīng)力)的變分則稱為余虛功。把可能功原理對(duì)可能應(yīng)力取變分，即假定應(yīng)力發(fā)生在一個(gè)靜力允許的、無限小的虛變化。則可導(dǎo)出稱為余虛功原理或虛應(yīng)力原理。虛功原理和余虛功原理Chapter10.3余虛功原理和余虛功原理Chapter10.3

余虛功原理的兩種敘述方式正定理：位移邊界上的虛反力在給定位移上做的余虛功等于虛應(yīng)力在可能應(yīng)變上做的余虛功。逆定理：凡是能滿足余虛功原理的變形狀態(tài)，必定是滿足位移邊界條件的協(xié)調(diào)的變形狀態(tài)。（滿足余虛功原理與滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件是等價(jià)的。）虛功原理和余虛功原理Chapter10.3余虛功原理的虛功原理和余虛功原理Chapter10.3例

求雙跨梁B點(diǎn)處的反力R。假設(shè)一個(gè)與外載相平衡的靜力可能反力－內(nèi)力系

相應(yīng)梁內(nèi)彎矩為(左段)：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3例求雙跨梁B虛功原理和余虛功原理Chapter10.3令每個(gè)力參數(shù)相互獨(dú)立地發(fā)生微小變化，相應(yīng)的梁內(nèi)虛彎矩為：用本構(gòu)關(guān)系求用力參數(shù)表示的靜力可能廣義應(yīng)變。靜力可能曲率為虛功原理和余虛功原理Chapter10.3令每個(gè)力參數(shù)相虛功原理和余虛功原理Chapter10.3在位移邊界上給定三個(gè)支點(diǎn)的位移為對(duì)每個(gè)力參數(shù)的微小變化可由與虛功原理導(dǎo)出一個(gè)方程，共得m個(gè)余虛功方程。由m個(gè)余虛功方程解出力參數(shù)：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3在位移邊界上給定虛功原理和余虛功原理Chapter10.3假設(shè)一個(gè)滿足靜力平衡條件和力邊界條件的可能應(yīng)力場(chǎng)，它包含n個(gè)待定參數(shù)。由本構(gòu)方程得到由導(dǎo)出的靜力可能應(yīng)變。把對(duì)各待定參數(shù)求變分，得到虛應(yīng)力。（一般給定位移為零，不用求虛力，否則“靜力可能位移”很難求。）由余虛功原理解出各待定參數(shù)。注：如果假設(shè)的包含了真實(shí)解，則由余虛功原理得到的解就是精確的，而且n和結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)相等；如果n小于結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，則得到的一定是近似解；此方法其實(shí)是一種應(yīng)力解法。用余虛功原理解題的步驟：虛功原理和余虛功原理Chapter10.3假設(shè)一個(gè)滿足靜力能量原理Chapter10基本概念和術(shù)語可能功原理，功的互等定理虛功原理和余虛功原理

最小勢(shì)能原理和最小余能原理彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程彈性力學(xué)變分問題的直接解法能量原理Chapter10基本概念和術(shù)語最小勢(shì)能原理最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4假設(shè)該彈性系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，存在總勢(shì)能。最小勢(shì)能原理最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4真實(shí)狀態(tài)的總勢(shì)能為變形可能狀態(tài)由和描述，僅滿足變形關(guān)系它的總勢(shì)能為■■最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4真實(shí)狀態(tài)的總勢(shì)能為最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4兩種狀態(tài)的總勢(shì)能之差為利用可能功原理，有：■■最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4兩種狀態(tài)的總勢(shì)能之最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4只要應(yīng)變能函數(shù)W是凸函數(shù)，則有：最小勢(shì)能原理：在一切變形可能的狀態(tài)中，真實(shí)狀態(tài)的總勢(shì)能最小。最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4只要應(yīng)變能函數(shù)W最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4可以是有限量，并沒有引進(jìn)無限小位移變分

u的概念，所以最小勢(shì)能原理是一個(gè)大范圍極值原理。

最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4這也是虛功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。

最小勢(shì)能原理的變分形式：

最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4這也是虛功原理在彈最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4使用最小勢(shì)能原理的解題方法：

直接法：假設(shè)容許位移函數(shù)，用最小勢(shì)能原理求其中的待求參數(shù)。如果假設(shè)的位移函數(shù)不完備，則解是近似的，相當(dāng)于多加了位移約束，結(jié)構(gòu)偏剛硬，近似解小于真實(shí)位移。

歐拉法：用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出等效的平衡方程和力邊界條件，求解微分方程的邊值問題。最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4

最小余能原理真實(shí)狀態(tài)

ui，

ij，

ij

滿足彈性力學(xué)基本關(guān)系和用余能表示的逆彈性關(guān)系它的總余能為最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4■最小余能原理最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4■最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4靜力可能狀態(tài)僅滿足靜力關(guān)系它的總余能為：在V內(nèi)在Su內(nèi)在S

內(nèi)■最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4靜力可能狀態(tài)僅滿足最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4兩種狀態(tài)的總余能之差為：■■利用可能功原理，則有：最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4兩種狀態(tài)的總余能之最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4只要應(yīng)變余能函數(shù)Wc是凸函數(shù)，必有最小余能原理：在一切靜力可能狀態(tài)中，真實(shí)狀態(tài)的總余能最小。最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4只要應(yīng)變余能函數(shù)W最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4以上證明適用于小變形彈性力學(xué)范圍內(nèi)的任何靜力可能狀態(tài)，真實(shí)的是大范圍內(nèi)的極小值。

這也是虛余功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。

最小余能原理的變分形式：

最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4以上證明適用于小變兩個(gè)原理的關(guān)系對(duì)于真實(shí)狀態(tài)有：最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4由可得兩個(gè)原理的關(guān)系最小勢(shì)(余)能原理Chapter10最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4于是有：最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4于是有：最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4凸函數(shù)的性質(zhì)凸函數(shù)即下凸函數(shù)。對(duì)于一維情況如圖所示。設(shè)自變量從x變到x(k)，則函數(shù)y=f(x)的增量為A點(diǎn)處切線的增量為由于f(x)向下凸，函數(shù)曲線始終位于切線的上方，所以對(duì)一切x(k)有凸函數(shù)的重要性質(zhì)

最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4凸函數(shù)的性最小勢(shì)(余)能原理Chapter10.4下面來證明線彈性體的應(yīng)變能函數(shù)滿足凸函數(shù)的性質(zhì)：其中令其中代入(1)式左端得到：最小勢(shì)(余