數(shù)學(xué)物理方法課件

使用教材：數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼編數(shù)學(xué)物理方法

數(shù)學(xué)物理方法是物理類及其它相關(guān)理工類極為重要的基礎(chǔ)課，數(shù)學(xué)物理方法是連接數(shù)學(xué)與物理學(xué)的橋梁．是通往科學(xué)研究和工程計(jì)算的必經(jīng)之路．因?yàn)樗虒?dǎo)我們怎樣將一個自然現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)方程．它非常充分地體現(xiàn)了科學(xué)的精髓，即：定量化．因而數(shù)學(xué)物理方法在科學(xué)中的地位尤為突出．1使用教材：數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼編數(shù)學(xué)物理方法數(shù)第一篇復(fù)變函數(shù)論

把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度和意義。2第一篇復(fù)變函數(shù)論把微積分延伸到復(fù)域。使微分第一章復(fù)變函數(shù)1.2復(fù)變函數(shù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算§1.5多值函數(shù)3第一章復(fù)變函數(shù)1.2復(fù)變函數(shù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4式中x、y為實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（一）復(fù)數(shù)的基本概念幾何表示：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)：復(fù)平面為復(fù)數(shù)的模為復(fù)數(shù)的輻角1、復(fù)數(shù)表示4式中x、y為實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（一）復(fù)數(shù)的基本概念由于輻角的周期性，輻角有無窮多為輻角的主值，為主輻角，記為5由于輻角的周期性，輻角有無窮多為輻角的主值，為主輻角，記為5例：求的Argz與argz解：z位于第二象限復(fù)數(shù)的三角表示：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示：應(yīng)用：6例：求的Argz與argz解：z位于第二象限復(fù)數(shù)的三角表示：（二）無限遠(yuǎn)點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)：NSzARiemann球面復(fù)球面零點(diǎn)無限遠(yuǎn)點(diǎn)7（二）無限遠(yuǎn)點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)：NSzARiemann球面復(fù)球面零（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加減法有三角關(guān)系：8（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加減法有三角關(guān)系：82、復(fù)數(shù)的乘法92、復(fù)數(shù)的乘法93、復(fù)數(shù)的除法或指數(shù)式：103、復(fù)數(shù)的除法或指數(shù)式：104、復(fù)數(shù)的乘方與方根乘方故：方根故k取不同值，取不同值114、復(fù)數(shù)的乘方與方根乘方故：方根故k取不同值，1212注意：1）、2）、3）、13注意：1）、2）、3）、13例：討論式子在復(fù)平面上的意義解：為圓上各點(diǎn)14例：討論式子在復(fù)平面例：計(jì)算解：令15例：計(jì)算解：令15例：計(jì)算解：令16例：計(jì)算解：令1617171818§1.2復(fù)變函數(shù)（一）、復(fù)變函數(shù)的定義對于復(fù)變集合E中的每一復(fù)數(shù)有一個或多個復(fù)數(shù)值w稱為的z復(fù)變函數(shù)z稱為w的宗量19§1.2復(fù)變函數(shù)（一）、復(fù)變函數(shù)的定義對于復(fù)變集合E中的每（二）、區(qū)域概念由確定的平面點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的

—鄰域（1）、鄰域（2）、內(nèi)點(diǎn)定點(diǎn)z0的

—鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)（3）、外點(diǎn)定點(diǎn)z0及其

—鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn)（4）、鏡界點(diǎn)定點(diǎn)z0的

—鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱z0為點(diǎn)集E的鏡界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)20（二）、區(qū)域概念由確定的平面點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的—鄰域（1內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)（5）、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線連接，且折線上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。（6）、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域（7）、單連通與復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域21內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)（5）、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集（三）、復(fù)變函數(shù)例后面補(bǔ)充詳細(xì)介紹22（三）、復(fù)變函數(shù)例后面補(bǔ)充詳細(xì)介紹22（四）、極限與連續(xù)性設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域有定義對于

>0，存在>0,使有稱z-->z0時A為極限，記為注意：z在全平面，z-->z0須以任意方式1、函數(shù)的極限23（四）、極限與連續(xù)性設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域有定義對于關(guān)于極限的計(jì)算，有下面兩個定理定理一設(shè)：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0那么的充要條件是：證：必要性如果那么根據(jù)極限的定義，就有：當(dāng)即當(dāng)時24關(guān)于極限的計(jì)算，有下面兩個定理定理一設(shè)：f(z)=u(x,y也就是當(dāng)這就是說：充分性如果上面兩式成立，那么當(dāng)所以當(dāng)25也就是當(dāng)這就是說：充分性如果上面兩式成立，那么當(dāng)所以當(dāng)25定理二如果那么：26定理二如果那么：262、函數(shù)的連續(xù)性定義：如果

那么我們稱f(z)在z0處連續(xù)，如果f(z)在區(qū)域B內(nèi)處處連續(xù)，我們就說f(z)在B內(nèi)連續(xù)。

根據(jù)這個定義和上述定理一，容易證明下面的定理定理三：

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)。

例如：

在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)。272、函數(shù)的連續(xù)性定義：如果那么我們稱f(z)在z0處連定理四：1）在z0連續(xù)的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和、差、積、商（分母在z0不為零）在z0處仍連續(xù)。2）如果函數(shù)h=g(z)在z0連續(xù),函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)w=f(g(z))在z0處連續(xù)。

函數(shù)f(z)在曲線C上z0點(diǎn)處連續(xù)的意義是指：

在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)，在曲線上是有界的，即存在一正數(shù)，在曲線上恒有28定理四：1）在z0連續(xù)的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和、差、§1.3導(dǎo)數(shù)w=f(z)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù)在z點(diǎn)存在，并與

z-->0的方式無關(guān)，則29§1.3導(dǎo)數(shù)w=f(z)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù)在z下面討論復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件比較兩式有稱為科西--黎曼條件（C.R.條件）C.R.條件不是可導(dǎo)的充分條件30下面討論復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件比較兩式有稱為科西--黎曼條件例：證明在z=0處滿足C.R.條件，但在z=0處不可導(dǎo)證：滿足C.R.條件在z=0處但在z=0處，若一定，隨而變，故在z=0處不可導(dǎo)31例：證明下面討論f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件證明：1）u,v在z處滿足C.R.條件

2）u,v在z處有連續(xù)的一階偏微商因?yàn)閡,v在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以u,v

的微分存在由C.R.條件

32下面討論f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z點(diǎn)可導(dǎo)的此式

z無論以什么趨于零都存在，C.R.方程的極坐標(biāo)表示：故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

點(diǎn)可導(dǎo)當(dāng)考慮

z沿徑向和沿恒向趨于零時，有33此式z無論以什么趨于零都存在，C.R.方程的極坐標(biāo)表示：故例：試推導(dǎo)極坐標(biāo)下的C.R.方程：方法一：當(dāng)分別考慮

z沿徑向和沿恒向趨于零時，沿徑向趨于零34例：試推導(dǎo)極坐標(biāo)下的C.R.方程：方法一：當(dāng)分別考慮z沿徑沿恒向趨于零35沿恒向趨于零35方法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)36方法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)36同理37同理37例：證明f(z)=zn在復(fù)平面上每點(diǎn)均可導(dǎo)證：38例：證明f(z)=zn在復(fù)平面上每點(diǎn)均可導(dǎo)證：38例：證明f(z)=z*在復(fù)平面上均不可導(dǎo)證：39例：證明f(z)=z*在復(fù)平面上均不可導(dǎo)證：39求導(dǎo)法則40求導(dǎo)法則40例：證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析，且f’(z)=f(z)?！?.4解析函數(shù)若w=f(z)是在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，稱f(z)在z0解析若w=f(z)是在區(qū)域B上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱f(z)在區(qū)域B

解析證：滿足C.R.條件且一階偏導(dǎo)連續(xù)41例：證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析一些初等函數(shù)的定義及計(jì)算

1、指數(shù)函數(shù)

在復(fù)平面定義一個函數(shù)，滿足下列3個條件:i）

f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析；

我們已經(jīng)證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析，f’(z)=f(z)，且當(dāng)Im(z)=0時，f(z)=ex。故定義該函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，記作：ii）f’(z)=f(z)iii）當(dāng)Im(z)=0時，f(z)=ex,其中x=Re(z)等價于：42一些初等函數(shù)的定義及計(jì)算1、指數(shù)函數(shù)

在復(fù)與ex一樣，expz服從加法定理證：用ez代替expz，但沒有冪的意義，僅僅是符號，因此：特別：當(dāng)x=0，有：此函數(shù)的周期為2πi，因：43與ex一樣，expz服從加法定理證：用ez代替expz，但沒2、對數(shù)函數(shù)：我們把滿足方程:ew=z

的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù)令：則：所以：因此：為多值函數(shù)，記：Argz取主值argz，則：其它各支為：當(dāng)z=x>0時，主值lnz=lnx即為實(shí)變函數(shù)442、對數(shù)函數(shù)：我們把滿足方程:ew=z的函數(shù)w=f例：求Ln2,Ln(-1)以及與它們相應(yīng)的主值Ln2=ln2+i2kπ,k=0、±1、±2…，主值為ln2主值為ln(-1)=iπ不難證明：例：又：45例：求Ln2,Ln(-1)以及與它們相應(yīng)的主值Ln2=ln解析性：就主值而言，由反函數(shù)的求導(dǎo)法則，可知：46解析性：就主值而言，由反函數(shù)的求導(dǎo)法則，可知：463、冪函數(shù)：定義：1）當(dāng)s為整數(shù)時：為單值函數(shù)，否則為多值函數(shù)。2）當(dāng)s=p/q時,(p和q為互質(zhì)的整數(shù)，且q≠0)，則具有q個值，k可取0,1,2,…（q-1）3）當(dāng)s=1/n時：473、冪函數(shù)：定義：1）當(dāng)s為整數(shù)時：為單值函數(shù)，解析性：同理可得：例：求和的值48解析性：同理可得：例：求和的值484、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：由此可得：推廣到復(fù)數(shù)，定義：為周期函數(shù)，周期為2π：同理：容易推出：494、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：由此可得：推廣到復(fù)數(shù)，定義：為周期函解析性：同理：還可得：許多實(shí)數(shù)三角函數(shù)的公式在復(fù)數(shù)領(lǐng)域也成立，例：由此得：50解析性：同理：還可得：許多實(shí)數(shù)三角函數(shù)的公式在復(fù)數(shù)領(lǐng)域也成立由定義，當(dāng)z=iy時：其它三角函數(shù)的定義如下：雙曲函數(shù)的定義如下：為周期函數(shù),周期為2πi,chz為偶函數(shù)，shz為奇函數(shù)51由定義，當(dāng)z=iy時：其它三角函數(shù)的定義如下：雙曲函數(shù)的定義5、反三角函數(shù)：設(shè)：那么稱w為z的反余弦函數(shù)，記作：由：得eiw的二次方程：它的根為：兩端取對數(shù)，得：由于：與互為倒數(shù)，故為多值函數(shù)另：525、反三角函數(shù)：設(shè)：那么稱w為z的反余弦函數(shù)，記作：由：得e例1：求|sinz|的值解：53例1：求|sinz|的值解：53例2：求方程sinz=2解：54例2：求方程sinz=2解：54或55或55解析函數(shù)的性質(zhì)：1、若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則：

u(x,y)=C1

v(x,y)=C2

(

C1,

C2為常數(shù))是B上兩組正交曲線簇。證：曲線u(x,y)=C1v(x,y)=C2的斜率分別為：由柯西-黎曼方程得：故正交56解析函數(shù)的性質(zhì)：1、若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B2、后面可證在某區(qū)域上的解析函數(shù)，在該區(qū)域上有任意階導(dǎo)數(shù)。由C.R.條件前一式對x

求導(dǎo)，后式對y

求導(dǎo)，相加同理u(x,y)和v(x,y)都滿足二維Laplace

方程又特別稱為共軛調(diào)和函數(shù)572、后面可證在某區(qū)域上的解析函數(shù)，在該區(qū)域上有令：稱為梯度(gradient)矢量二維三維Laplace

方程表示為：58令：稱為梯度(gradient)矢量二維三維Laplace例1：研究函數(shù)f(z)=|z|2的解析性解：當(dāng)z0=0時，這個極限是零。當(dāng)z0≠0時，令z0+Δz沿直線y-y0=k(x-x0)趨于z0由于k的任意性，此式趨于一個不確定的數(shù)，故極限不存在。因此，f(z)=|z|2在z=0處可導(dǎo)，而在其它點(diǎn)都不可導(dǎo)，故處處不解析。59例1：研究函數(shù)f(z)=|z|2的解析性解：當(dāng)z0=0時，這例2：如果w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)，那么它一定能單獨(dú)用z來表示。證：如果把帶入那么w可看作是z和z*的函數(shù)，只要證明60例2：如果w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)，那么它若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：C.R.條件上式為全微分，因?yàn)樵O(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)61若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件，求另一共軛調(diào)和函方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解：故u為調(diào)和函數(shù)62方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法二、湊全微分u(x,y)=x2-y2方法一、曲線積分法63u(x,y)=x2-y2方法一、曲線積分法636464方法二、湊全微分顯式法u(x,y)=x2-y265方法二、湊全微分顯式法u(x,y)=x2-y265方法三、不定積分法例2：已知解析函數(shù)f(z)的虛部求實(shí)部u(x,y)和這個解析函數(shù)改用極坐標(biāo)按照柯西-黎曼方程得：66方法三、不定積分法例2：已知解析函數(shù)f(z)的虛部求實(shí)部u(6767例3：已知解析函數(shù)f(z)實(shí)部

求v(x,y)解：化為極坐標(biāo)求解68例3：已知解析函數(shù)f(z)實(shí)部解：化為極坐標(biāo)求解686969§1.5平面標(biāo)量場

在物理及工程中常常要研究各種各樣的場，如電磁場、聲場等，這些場均依賴于時間和空間變量。若場與時間無關(guān)，則稱為恒定場，如靜電場、流體中的定常流速等。若所研究的場在空間的某方向上是均勻的，從而只需要研究垂直于該方向的平面上的場，這樣的場稱為平面場。

考慮平面靜電場，在沒有電荷的區(qū)域，靜電場的電勢滿足二維拉普拉斯方程，這樣，電場所處區(qū)域上的某一解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

的實(shí)部或虛部就可以被用來表示該區(qū)域上靜電場的電勢，我們把這一解析函數(shù)叫作該平面靜電場的復(fù)勢。70§1.5平面標(biāo)量場在物理及工程中常常要研究各種設(shè)u(x,y)是電勢等勢線簇曲線簇v(x,y)=常數(shù)垂直與等勢線簇u(x,y)=常數(shù)

v(x,y)=常數(shù)v(x,y)=常數(shù)，是電場線簇由解析函數(shù)的性質(zhì)任取兩點(diǎn)A（x1,y1）、B(x2,y2)，作任一曲線聯(lián)接A和B，穿過曲線AB的電通量為：71設(shè)u(x,y)是電勢等勢線簇曲線簇v(x,y)=常數(shù)如右圖所示，曲線AB的切線的方向余弦分別