醫(yī)用高數(shù)第一章函數(shù)及極限第三節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)變化(biànhuà)的曲線對應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

如同體溫的升降、血液的流動、機(jī)體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)(hánshù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy第二頁，共二十六頁。1.函數(shù)(hánshù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念(gàiniàn)設(shè)函數(shù)在點附近有定義,把附近的點記為,則稱為自變量由變到的增量.為函數(shù)在點的增量.第三頁，共二十六頁。2．函數(shù)(hánshù)連續(xù)性的定義

定義1-9

設(shè)函數(shù)(hánshù)在點及其附近有定義,如果時,也有,即注意故定義中1-9的極限式等價于則稱函數(shù)(hánshù)在點處連續(xù),稱為的連續(xù)點.第四頁，共二十六頁。因此，函數(shù)在一點連續(xù)(liánxù)的充分必要條件是例1-29

討論函數(shù)在的連續(xù)性解所以(suǒyǐ)在連續(xù)．第五頁，共二十六頁。單側(cè)連續(xù)(liánxù)顯然即：第六頁，共二十六頁。解例1-30

設(shè)在點處連續(xù),問、應(yīng)滿足什么關(guān)系?第七頁，共二十六頁。連續(xù)(liánxù)函數(shù)與連續(xù)(liánxù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(yīdiǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形(túxíng)是一條連續(xù)而不間斷的曲線.第八頁，共二十六頁。例1-31證明(zhèngmíng)第九頁，共二十六頁。3．函數(shù)(hánshù)的間斷點函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點,即滿足下列三個條件之一的點為函數(shù)的間斷點.第十頁，共二十六頁。跳躍間斷點例1-32解第十一頁，共二十六頁。可去間斷點例1-33在的連續(xù)性第十二頁，共二十六頁。解

注意

可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)(hánshù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第十三頁，共二十六頁。如例1-33中,跳躍(tiàoyuè)間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點(tèdiǎn)第十四頁，共二十六頁。第二類間斷點例1-34解這種情況稱為無窮(wúqióng)間斷點．第十五頁，共二十六頁。解1-1-0.50.5yx例1-35這種情況(qíngkuàng)稱為振蕩間斷點．第十六頁，共二十六頁。第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點可去型第一類間斷(jiànduàn)點oyx跳躍(tiàoyuè)型無窮(wúqióng)型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第十七頁，共二十六頁。二、初等(chūděng)函數(shù)的連續(xù)性(1)一切(yīqiè)基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的.(2)若函數(shù)與在點連續(xù),則函數(shù)

在連續(xù).(3)若函數(shù)在點處連續(xù),設(shè),而函數(shù)在點處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù).由以上可知:初等函數(shù)(hánshù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.第十八頁，共二十六頁。故對初等函數(shù),求極限就是(jiùshì)求這一點的函數(shù)值．例1-36由于函數(shù)在其連續(xù)點滿足解第十九頁，共二十六頁。解例1-38例1-37解,而函數(shù)在點連續(xù),所以第二十頁，共二十六頁。三、閉區(qū)間(qūjiān)上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)ab

定理1-3（最值定理）若函數(shù)閉區(qū)間(qūjiān)上連續(xù)，則在閉區(qū)間(qūjiān)上必有最大值和最小值．推論（有界性定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上必有界．第二十一頁，共二十六頁。abf(a)f(b)

定理1-4（介值定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則對介于和之間的任何數(shù)，至少存在一個(yīɡè)，使得

其幾何意義為連續(xù)曲線弧與水平(shuǐpíng)直線至少相交于一點．第二十二頁，共二十六頁。

推論（根的存在定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即)，則至少存在一個(yīɡè)，使得即為方程的根．注：根不一定(yīdìng)唯一ba第二十三頁，共二十六頁。例1-39證明在[0，1]內(nèi)至少有一個根.證明在[01]上連續(xù)而由根的存在定理知，存在(0<<1),使得在[0，1]內(nèi)至少有一個根.即第二十四頁，共二十六頁。1．函數(shù)(hánshù)連續(xù)的定義2．間斷(jiànduàn)點類型：第一類第二類可去型跳躍型無窮振蕩３．初等(chūděng)函數(shù)的連續(xù)性４．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)主要內(nèi)容第二十五頁，共二十六頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)一、連續(xù)函數(shù)的概念。連續(xù)變化的曲線對應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。如同體溫的升降、血液的流動、機(jī)體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的